Indicateur de position

En statistique, un indicateur de position est un nombre réel permettant de situer les valeurs d’une série statistique d’une variable quantitative. Il peut s’agir d’un indicateur de tendance centrale ou d’une valeur décentrée comme le maximum ou le minimum de la série.

Les indicateurs de position sont le plus souvent des moyennes (arithmétique, géométrique, quadratique...) ou des quantiles comme la médiane et les quartiles. Ils se distinguent des indicateurs de dispersion qui décrivent la variabilité des valeurs de la série.

En pratique, le choix de l'une ou l'autre des différentes mesures de la tendance centrale est souvent préliminaire à toute analyse statistique. Il est en effet souvent impossible de manipuler ou représenter l'intégralité des centaines voire des milliers de valeurs observées pour en tirer des conclusions. Il faut donc « résumer » l'information formée par ce grand nombre de mesures en un petit nombre de valeurs suffisamment représentatives. Dans de nombreux domaines, on utilise la moyenne arithmétique comme mesure de la tendance centrale, avec parfois l'écart-type pour évaluer la dispersion due par exemple à l'erreur de mesure.

Les paramètres de position d'une distribution sont les paramètres qui influent sur la tendance centrale de la fonction de répartition. C'est par exemple le paramètre μ qui mesure l'espérance d'une loi normale.

Valeur maximum et valeur minimum

La valeur maximale est la plus grande valeur prise par le caractère statistique.

La valeur minimale est la plus petite valeur prise par le caractère statistique.

Médiane

La médiane tend à partager la population en deux populations de taille égale. Si m est la médiane, le nombre d'individus dont le caractère statistique est inférieur à m doit correspondre au nombre d'individus dont le caractère statistique est supérieur à m. Si cette définition s'accorde bien avec le cas d'une variable continue, elle n'est pas adaptée au cas d'une variable discrète où une autre définition est donnée. Si les valeurs du caractère statistique sont toutes différentes, la médiane, telle qu'elle est définie dans le cas discret, partage bien la population en deux, mais ce n'est pas toujours le cas si certaines valeurs du caractère statistique sont prises plusieurs fois.

Cas de la variable discrète

On trie les valeurs par ordre croissant.

Si la population comporte n individus et si n est impair alors n = 2p+1, la médiane sera la (p+1)^e valeur du caractère statistique.

Exemple: série de 13 notes 4, 5, 7, 8, 8, 9, 10, 10, 10, 11,12, 13, 16.

Médiane = M = 10

Si la population comporte n individus et si n est pair alors n = 2p, la médiane sera la moyenne entre la p^e et (p+1)^e valeur du caractère statistique.

Exemple: série de 12 notes: 4, 5, 7, 8, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 13, 16.

Médiane = M = 9,5

Cas de la variable continue

On utilise le polygone des fréquences cumulées croissantes et le tableau correspondant et on détermine graphiquement ou par interpolation linéaire la valeur M pour laquelle la fréquence de l'intervalle [valeur min, M] vaut 50 %.

Par le polygone des fréquences cumulées croissantes

Dans l'exemple développé dans statistiques élémentaires continues, le polygone des fréquences cumulées est le suivant :

La droite d'équation y = 50 coupe le polygone environ au point d'abscisse 21, ce qui donne une estimation de la médiane : M ≈ 21.

Remarque : Le polygone des fréquences cumulées croissantes et celui des fréquences cumulées décroissantes se coupent exactement en un point dont l'abscisse est la médiane.

Par le tableau des fréquences cumulées croissantes

Dans l'exemple précédent, le tableau des fréquences cumulées croissantes est :

$x i$	0	8	12	16	20	30	40	60
fréquences cumulées croissantes	0	7	12,3	21,1	48,1	81,7	94,7	100

Les 50 % sont atteints entre 20 et 30 donc pour une valeur M que l'on estime à $20+(30-20){\dfrac {50-48,1}{81,7-48,1}}=20,56$ par interpolation linéaire.

Moyenne

Valeurs

Les articles Statistiques élémentaires discrètes et Statistiques élémentaires continues expliquent ces formules.

Cas de la série statistique discrète triée mais non regroupée

On a alors la formule usuelle d'une moyenne

{\overline {x}}={\dfrac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}

Cas de la série statistique discrète regroupée

On a la formule d'une moyenne pondérée

{\overline {x}}={\dfrac {\sum _{i=1}^{N}n_{i}x_{i}}{\sum _{i=1}^{N}n_{i}}}=\sum _{i=1}^{N}f_{i}x_{i}

Cas de la série continue

On a la formule usuelle d'une moyenne pondérée de moyennes

*{\overline {x}}={\dfrac {\sum _{i=1}^{N}n_{i}m_{i}}{\sum _{i=1}^{N}n_{i}}}=\sum _{i=1}^{N}f_{i}m_{i}

Stabilité par transformation affine

La moyenne est stable par transformation affine, c'est-à-dire : si $y i = ax i + b$ , si $x$ est la moyenne de la série $x$ alors la moyenne de la série $y$ est $y = a x + b$ .

Cette propriété est utile pour changer d'unité: si on connaît une moyenne de température en degré Fahrenheit, il est inutile de convertir toutes les valeurs en degrés Celsius pour calculer la moyenne en degrés Celsius, il suffit de ne convertir que la moyenne.

Il est aussi intéressant, pour limiter la taille des nombres, de partir d'un moyenne estimée et de calculer la moyenne des $d i = x i - M estim$ . Alors $x = M estim + d$ .

Découpage en sous-population

Si la population est découpée en deux sous-populations $P 1$ et $P 2$ de tailles $n 1$ et $n 2$ , si la moyenne du caractère statistique pour la population $P 1$ est ${\overline {x_{1}}}$ et la moyenne pour la population $P 2$ est ${\overline {x_{2}}}$ alors la moyenne pour la population $P$ est ${\overline {x}}={\dfrac {n_{1}{\overline {x_{1}}}+n_{2}{\overline {x_{2}}}}{n_{1}+n_{2}}}$ .

Sensibilité aux valeurs extrêmes

La moyenne est sensible aux valeurs extrêmes ou aberrantes.

Exemple : dans une entreprise, 9 salariés sont payés 2 000 € mensuels. Le patron se paie 22 000 € mensuels.

Le calcul du salaire moyen dans ces conditions conduit à une valeur non représentative :

{\overline {x}}={\dfrac {9\times 2000+22000}{10}}=4000.

Pour éviter ce genre de piège, il arrive que l'on tronque volontairement la population et qu'on élimine 10 % des valeurs les plus basses et 10 % des valeurs les plus hautes.

Mode

Le mode est la valeur du caractère statistique qui apparaît le plus fréquemment.

Note des élèves de la classe 1
Notes	5	8	9	10	11	12	13	14	16	Total
Effectifs	1	1	2	4	3	2	1	1	1	16

Le mode vaut ici 10. La distribution est dite unimodale.

Note des élèves de la classe 2
Notes	5	8	9	10	11	12	13	14	16	Total
Effectifs	1	1	4	2	2	4	1	1	1	16

Cette série est dite série bimodale car on voit apparaître deux modes : 9 et 12.

Dans le cas d'une variable continue, on peut entendre parler de classe modale qui serait la classe de plus grand effectif. Mais il faut se méfier de cette notion car, plus la classe est de grande amplitude, plus son effectif est important sans pour autant que cela soit significatif. Cette notion de classe modale définie par les effectifs de la classe n'a de sens que si les classes ont même amplitude. Si les amplitudes sont différentes, il faut aller chercher sur l'histogramme la classe associée au rectangle de plus grande hauteur.

Répartition des revenus annuels en k€ dans une population de 4370 personnes.
Salaires	entre 0 (inclus) et 8 exclus	entre 8 (inclus) et 12 exclus	entre 12 (inclus) et 16 exclus	entre 16 (inclus) et 20 exclus	entre 20 (inclus) et 30 exclus	entre 30 (inclus) et 40 exclus	entre 40 (inclus) et 60 exclus	Total
Effectifs	306	231	385	1180	1468	568	232	4370

L'observation de ce tableau laisse penser que la classe modale serait la classe [20;30[. Mais une observation de l'histogramme corrige cette idée fausse en rendant compte du fait que certaines classes sont plus larges : La classe modale est la classe [16; 20[.

Histogramme de la répartition des revenus annuels

Quartiles

Les quartiles sont les trois valeurs qui partagent la population en 4 sous-populations de même taille.

Cas de la variable discrète

On range les valeurs par ordre croissant.

On détermine le second quartile qui correspond à la médiane. Puis on cherche la médiane de la première moitié de la population qui correspond au 1^er quartile. On cherche la médiane de la seconde moitié de la population qui correspond au troisième quartile.

Si la population est de taille $n$ , on distingue 4 cas.

Une méthode de calcul différente est sur l'article dédié : quartile.

Si n = 4p

Q1 correspond à la moyenne entre la p^e et (p+1)^e valeur.
Q2 correspond à la moyenne entre la (2p)^e valeur et la (2p+1)^e valeur.
Q3 correspond à la moyenne entre la (3p)^e valeur et la (3p+1)^e valeur.

Exemple : série de 12 notes : 4, 5, 7, 8, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 13, 16

Q1 = 7,5 ; Q2 = 9,5 ; Q3 = 10,5

Si n = 4p+1

Q1 correspond à la (p+1)^e valeur.
Q2 correspond à la (2p+1)^e valeur.
Q3 correspond à la (3p+1)^e valeur.

Exemple : série de 13 notes 4, 5, 7, 8, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 12, 13, 16

Q1 = 8 ; Q2 = 10 ; Q3 = 11

Si n = 4p+2

Q1 correspond à la (p+1)^e valeur.
Q2 correspond à la moyenne entre la (2p+1)^e valeur et la (2p+2)^e valeur.
Q3 correspond à la (3p+2)^e valeur.

Exemple : série de 14 notes 4, 5, 7, 8, 8, 9, 9, 10, 10, 10, 11, 12,13, 16

Q1 = 8 ; Q2 = 9,5 ; Q3 = 11

Si n = 4p+3

Q1 correspond à la (p+1)^e valeur.
Q2 correspond à la (2p+2)^e valeur.
Q3 correspond à la (3p+3)^e valeur.

Exemple : série de 15 notes 4, 5, 7, 8, 8, 9, 9, 10, 10, 10, 11,11, 12, 13, 16

Q1 = 8 ; Q2 = 10 ; Q3 = 11

Approximation utile pour une variable discrète

On range les valeurs de la série $x$ par ordre croissant et on repère la plus petite $x min$ .

Le premier quartile Q1 est la première valeur pour laquelle l'intervalle $[x min, Q1]$ regroupe au moins 25 % de la population.
Le deuxième quartile Q2 est la première valeur pour laquelle l'intervalle $[x min, Q2]$ regroupe au moins 50 % de la population.
Le troisième quartile Q3 est la première valeur pour laquelle l'intervalle $[x min, Q3]$ regroupe au moins 75 % de la population.

On peut remarquer que cette approximation rend dissymétrique la définition, que le second quartile ne correspond plus forcément à la médiane et que les valeurs obtenues diffèrent de celles de la définition précédente. Son avantage est de rendre la recherche des quartiles (approchés) plus facile sans que l'on soit obligé de distinguer 4 cas. Les différences obtenues par l'une ou l'autre des méthodes se révèlent négligeables et justifient l'usage de cette approximation.

Cas de la variable continue

On calcule les quartiles comme la médiane, graphiquement grâce au polygone des fréquences cumulées croissantes, et par interpolation linéaire grâce au tableau correspondant.

Par le polygone des fréquences cumulées croissantes

Les droites d'équation $y = 25$ , $y = 50$ , $y = 75$ coupent le polygone en des points dont les abscisses valent environ 17, 21, 28.

Par le tableau des fréquences cumulées croissantes

Le tableau des fréquences cumulées croissantes est :

$x i$	0	8	12	16	20	30	40	60
fréquences cumulées croissantes	0	7	12,3	21,1	48,1	81,7	94,7	100

25 % est atteint dans l'intervalle [16;20] soit pour une valeur de Q1 obtenue par interpolation linéaire

\mathrm {Q} 1=16+(20-16){\dfrac {25-21,1}{48,1-21,1}}=16,57.

Le second quartile correspond à la médiane estimée plus tôt

\mathrm {Q} 2=M=120,56

.

75 % est atteint dans l'intervalle [20;30] soit pour une valeur de Q3 obtenue par interpolation linéaire

\mathrm {Q} 3=20+(30-20){\dfrac {75-48,1}{81,7-48,1}}=28,00.

Déciles

Les déciles sont les 9 valeurs qui partagent la population en 10 sous-populations de même taille.

Cas de la variable discrète

On travaillera ici par approximation : le n^e décile $D n$ est la première valeur du caractère tel que l'intervalle $[x min, D n]$ regroupe au moins $n$ dixièmes de la population.

Exemple Série de 30 notes, 9^e décile = 27^e valeur.

4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 10, 10,10, 10, 10, 11, 11, 11, 12, 12, 12, 13, 13, 14, 14, 15, 16

Ainsi, $D 9 = 14$ .

Cas de la variable continue

On calcule les déciles comme la médiane et les quartiles, graphiquement grâce au polygone des fréquences cumulées croissantes, et par interpolation linéaire grâce au tableau correspondant.

Utilisation du polygone des fréquences cumulées croissantes

Les droites d'équation $y = 10$ , $y = 20$ , ... , $y = 90$ coupent le polygone en des points dont les abscisses valent environ $D 1 = 10,5$ , $D 2 = 15,5$ , ..., $D 9 = 36,5$

Utilisation du tableau des fréquences cumulées croissantes

Le tableau des fréquences cumulées croissantes est :

$x i$	0	8	12	16	20	30	40	60
fréquences cumulées croissantes	0	7	12,3	21,1	48,1	81,7	94,7	100

10 % est atteint dans l'intervalle [8;12] soit pour une valeur de $D 1$ obtenue par interpolation linéaire

D_{1}=8+4{\dfrac {10-7}{12,3-7}}=10,26

.

20 % est atteint dans l'intervalle [12;16] soit pour une valeur de $D 2$ obtenue par interpolation linéaire

D_{2}=12+4{\dfrac {20-12,3}{21,1-12,3}}=15,50

.

90 % est atteint dans l'intervalle [30;40] soit pour une valeur de $D 9$ obtenue par interpolation linéaire

D_{9}=30+10{\dfrac {90-81,7}{94,7-81,7}}=36,38

.

Voir aussi

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