Quartile

Le quartile est calculé en tant que 4-quartiles.

• le 1^er quartile est la donnée de la série qui sépare les 25 % inférieurs des données (notation Q1) ;
• le 2^e quartile est la donnée de la série qui sépare les 50 % inférieurs des données (notation Q2) ; il est également appelé médiane ;
• le 3^e quartile est la donnée de la série qui sépare les 75 % inférieurs des données (notation Q3) ;
• Par extension : le 0^e quartile est la donnée de la série qui sépare les 0 % inférieurs des données (notation Q0, c'est le minimum) et le 4^e quartile est la donnée de la série qui sépare les 0 % supérieurs des inférieurs des données (notation Q4, c'est le maximum)

La différence entre le troisième quartile et le premier quartile s'appelle écart interquartile ; c'est un critère de dispersion de la série.

Pour le détail des différentes méthodes de calcul, voir l'article quantile,

Dans le cas discret, on range les données par ordre croissant : s'il y a N valeurs :

• le quartile zéro (minimum) est celui qui a le rang 1
• le premier quartile est celui qui a le rang (N)/4
• le deuxième quartile (médiane) est celui qui a le rang (2N+2)/4 que l'on simplifie en (N+1)/2
• le troisième quartile est celui qui a le rang (3N)/4
• le quatrième quartile est celui qui a le rang N

Exemple :

Les valeurs dans l'ordre croissant 1, 11, 15, 19, 20, 24, 28, 34, 37, 47, 50, 61, 68.

Le nombre de valeurs est N = 13.

Calcul de Q1 : on divise (l'effectif total plus 3) par 4 (quartile)

${\displaystyle {N+3 \over 4}={16 \over 4}=4}$

Le 1^er quartile est la 4^e valeur, c'est-à-dire 19.

Calcul de Q3 : Pour Q3 on procède de la même façon mais on multiplie le rang obtenu par 3 :

${\displaystyle {3N+1 \over 4}={3\times 13+1 \over 4}={40 \over 4}=10}$

La 10^e valeur est 47 donc Q3 = 47.

Calcul de la médiane : on divise (l'effectif total plus 1) par 2 (quartile)

${\displaystyle {N+1 \over 2}={13+1 \over 2}={14 \over 2}=7}$
La médiane est la 7^e valeur soit 28 (c'est la valeur du milieu).

Les cinq quartiles : finalement, les cinq quartiles de la série sont 1, 19, 28, 47 et 68.

Quand le rang d'un quartile n'est pas une valeur entière : quand les fractions (N+3)/4, (N+1)/2 ou (3N+1)/4 ne sont pas des valeurs entières, on procède par interpolation linéaire. On fait la moyenne de la valeur situé au-dessus du rang et de celle situé au dessous du rang, en affectant chaque valeur d'un coefficient. Plus précisément, on note R_inf la valeur située en dessous du rang et R_sup la valeur situé au-dessus :

• Si le rang se termine par 0,25, alors le quartile est la moyenne entre R_inf affecté du coefficient 3 et de R_sup affecté du coefficient 1.
• Si le rang se termine par 0,5, alors le quartile est la moyenne entre R_inf et R_sup (sans coefficient).
• Si le rang se termine par 0,75, alors le quartile est la moyenne entre R_inf affecté du coefficient 1 et de R_sup affecté du coefficient 3.

Exemple :

Les valeurs dans l'ordre ascendant 1, 11, 15, 19, 20, 24, 28, 34, 37, 47, 50, 61.

Le nombre de valeurs est N = 12.

Calcul de Q1 : on divise (l'effectif total plus 3) par 4 (quartile)

${\displaystyle {N+3 \over 4}={15 \over 4}=3.75}$

Le 1^er quartile est la moyenne entre 15 affecté du coefficient 1 et 19 affecté du coefficient 3.

${\displaystyle {15\times 1+19\times 3 \over 1+3}={72 \over 4}=18}$

Le quartile Q1 est 18.

Calcul de Q3 : Pour Q3 on procède de la même façon :

${\displaystyle {3N+1 \over 4}={3\times 12+1 \over 4}={37 \over 4}=9.25}$

Le 3^e quartile est la moyenne entre 37 affecté du coefficient 3 et 47 affecté du coefficient 1.

${\displaystyle {37\times 3+47\times 1 \over 3+1}={158 \over 4}=39.5}$

Le quartile Q3 est 39,5.

Calcul de la médiane : on divise (l'effectif total plus 1) par 2 (quartile)

${\displaystyle {N+1 \over 2}={12+1 \over 2}={13 \over 2}=6.5}$
La médiane est la moyenne entre la 6^e et la 7^e valeur soit la moyenne entre 24 et 28 et donc Q2 = 26.

Les cinq quartiles : finalement, les cinq quartiles de la série sont 1 ; 18 ; 26 ; 39,5 et 61.

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