Cosinus hyperbolique réciproque

La fonction cosinus hyperbolique réciproque, ou argument cosinus hyperbolique[1], notée arcosh[2] (ou argch),

${\displaystyle \operatorname {arcosh}$ :\left[1,+\infty \right[\to \mathbb {R} }

est définie à l'aide du cosinus hyperbolique par :

${\displaystyle y=\operatorname {arcosh} x\quad \Longleftrightarrow \quad x=\cosh y\;{\text{ et }}\;y\geq 0}$.

Cette fonction est injective et son image est ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$. Elle est continue, strictement croissante et concave.

Sa valeur en 1 est 0 et sa limite en +∞ est +∞.

Elle est dérivable sur ]1, +∞[ et sa dérivée est donnée par :

${\displaystyle \forall x>1\quad \operatorname {arcosh} 'x={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}}$.

On en déduit la primitive de arcosh qui s'annule en 1 :

${\displaystyle \forall x\geq 1\quad \int _{1}^{x}\operatorname {arcosh} u\,\mathrm {d} u=x\operatorname {arcosh} x-{\sqrt {x^{2}-1}}}$.

La composée de arcosh par la fonction sinus hyperbolique est donnée par :

${\displaystyle \forall x\geq 1\quad \sinh \left(\operatorname {arcosh} x\right)={\sqrt {x^{2}-1}}}$.

Par conséquent :

• la fonction arcosh s'exprime à l'aide du logarithme naturel par :

  ${\displaystyle \forall x\geq 1\quad \operatorname {arcosh} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)}$ ;

• la somme et la différence de deux arguments cosinus hyperbolique s'expriment par :

  ${\displaystyle \forall u\geq v\geq 1\quad \operatorname {arcosh} u\pm \operatorname {arcosh} v=\operatorname {arcosh} \left(uv\pm {\sqrt {\left(u^{2}-1\right)\left(v^{2}-1\right)}}\right)}$.

(en) Eric W. Weisstein, « Inverse Hyperbolic Cosine », sur MathWorld

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