Constante de Landau-Ramanujan

En théorie des nombres, la constante b de Landau-Ramanujan apparaît dans le résultat de Landau de 1908 qui établit que le nombre d'entiers naturels inférieurs à x qui sont la somme de deux carrés est asymptotiquement équivalent à

${\displaystyle {\frac {bx}{\sqrt {\ln x}}}}$,

lorsque x tend vers l'infini[1]. Cette constante a été redécouverte indépendamment par Ramanujan en 1913[2].

Cette constante se développe en produit eulérien :

${\displaystyle b={\frac {1}{\sqrt {2}}}\quad \prod _{p\equiv 3{\bmod {4}}}\quad \left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right)^{-1/2}\approx 0{,}764~223}$ (suite A064533 de l'OEIS).

Puisque ζ(2) = π²/6, une expression équivalente est :

${\displaystyle b={\frac {\pi }{4}}\quad \prod _{p\equiv 1{\bmod {4}}}\quad \left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right)^{1/2}}$.