Constante de Foias

Ce réel, pour lequel on ne connaît pas de formule explicite, admet pour valeur approchée[2] ${\displaystyle 1{,}187}$.

La suite ${\displaystyle (x_{n})}$ correspondante est équivalente à ${\displaystyle \left({\frac {n}{\ln n}}\right)}$ donc aussi (mais c'est un hasard[1]) à ${\displaystyle \left(\pi (n)\right)}$, où π est la fonction de compte des nombres premiers.

L'étude de cette question vient d'une coquille dans un énoncé plus simple[1] : une suite ${\displaystyle (x_{n})}$ telle que

${\displaystyle x_{1}>0\quad {\text{et}}\quad \forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad x_{n+1}=\left(1+{\frac {1}{x_{n}}}\right)^{x_{n}}}$

peut-elle tendre vers l'infini ?

La réponse est « non », car[3] toutes les suites de cette forme convergent vers la racine (qui vaut approximativement[4] ${\displaystyle 2{,}293}$) de l'équation ${\displaystyle x=\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}}$. Un autre argument consiste à remarquer que ${\displaystyle \ln x_{n+1}=x_{n}\ln \left(1+{\frac {1}{x_{n}}}\right)}$ et que ${\displaystyle \ln \left(1+{\frac {1}{x}}\right)\sim {\frac {1}{x}}}$ lorsque ${\displaystyle x}$ tend vers l'infini, de sorte que si la suite tendait vers l'infini, la suite ${\displaystyle (\ln x_{n+1})}$ tendrait vers 1, ce qui est absurde.

• (en) S. R. Finch, Mathematical Constants, Cambridge University Press, 2003 (lire en ligne), p. 430, « Foias' constant »
• (ro) Andrei Vernescu, « Constante de tip Euler generalizate », Gazeta Matematică, a : Revistă de cultură Matematica, Anul XXV(CIV) n^o 1,‎ 2007, p. 11-16 (lire en ligne), p. 14

• Arithmétique et théorie des nombres