Conjecture d'Iliev-Sendov

La conjecture d'Iliev-Sendov est une relation entre les racines d'un polynôme à coefficients complexes, et les racines du polynôme dérivé, et doit son nom à Blagovest Sendov (en) et Lyubomir Iliev, deux mathématiciens bulgares[1].

Elle énonce que, si P est un polynôme dont les racines r1, ..., rn sont dans le disque unité fermé (c'est-à-dire, de module au plus 1), alors chaque racine rk est à une distance inférieure ou égale à 1 d'une racine de P'.

À noter que d'après le théorème de Gauss-Lucas, les racines de P' sont dans l'enveloppe convexe des rk, et donc a fortiori dans le disque unité.

La conjecture a été publiée pour la première fois en 1967, dans le livre Research problems in function theory de Walter Hayman[1],[2]. Elle a été démontrée pour les polynômes de degré au plus 6 en 1991[3], puis de degré au plus 8 en 1999[4], mais n'est toujours pas complètement démontrée en 2020. Entre 2002 et 2003, Gerald Schmieder a présenté plusieurs démonstrations de cette conjecture, qui ont toutes été ensuite invalidées[5],[6]. En 2020, une importante avancée a été obtenue par Terence Tao, démontrant le résultat pour des polynômes de degré suffisamment grand[7].

Notes et références
  1. Blagovest Sendov Hausdorff geometry of polynomials, Advances in Mathematics: Scientific Journal 1 (2012), no.1, pp. 23-26 [PDF]
  2. Walter Kurt Hayman, Research problems in function theory, The Athlone Press, 1967
  3. Johnny E. Brown, On the Sendov conjecture for sixth degree polynomials, Proceedings of the American Mathematical Society, Volume 113, Number 4, December 1991 [PDF]
  4. Johnny E. Brown, Guangping Xiang, Proof of the Sendov conjecture for polynomials of degree at most eight, J. Math. Anal. Appl., 232(2) (1999), pp. 272-292 [PDF]
  5. Blagovest Sendov, A Conjecture in the Geometry of Polynomials, Abstract [PDF]
  6. Gerald Schmieder A proof of Sendov's conjecture, sur arXiv [PDF]
  7. (en) Terence Tao, « Sendov's conjecture for sufficiently high degree polynomials », sur arXiv (consulté le )

Voir aussi
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