Système de Ponzi

Imaginons que quelqu'un propose un investissement à 100 % d'intérêts : vous lui donnez 10 euros, il vous en rend 20 en utilisant l'argent déposé par les clients suivants (il lui suffit d'ailleurs de proposer un rendement double des rendements connus du marché pour s'attirer de la clientèle et pour durer). Le système est viable tant que la clientèle afflue, attirée en masse par les promesses financières (et d'autant plus tentantes que les premiers investisseurs sont satisfaits et font une formidable publicité au placement). Les premiers clients, trop heureux de ce placement mirifique, replacent leur argent eux aussi, s'ajoutant à tous ceux qu'ils ont réussi à convaincre.

Le phénomène fait alors boule de neige, entretenu tant que l'argent est versé et permet de payer à 100 % les nouveaux investisseurs. L'organisateur prend une commission, bien compréhensible lorsque l'on voit les promesses qu'il fait, et qu'il tient. Le système peut durer tant que la demande suit la croissance exponentielle imposée par ce système, les clients arrivant par 2, 4, 8, 16, 32, etc. Lorsque les nouveaux arrivants se raréfient, la dynamique de la chaîne se brise, la bulle éclate : les derniers et nombreux investisseurs sont spoliés. Les rares gagnants sont ceux qui ont quitté le navire à temps (et l'organisateur...).

Le mathématicien Marc Artzrouni modélise les systèmes de Ponzi en utilisant des équations différentielles linéaires du premier ordre[2].

Soit un fonds avec un dépôt initial ${\displaystyle K>0}$ au temps ${\displaystyle t=0}$, un flux de capitaux entrant de ${\displaystyle s(t)}$, un taux de rendement promis ${\displaystyle r_{p}}$ et un taux de rendement effectif ${\displaystyle r_{n}}$. Si ${\displaystyle r_{n}\geq r_{p}}$ alors le fonds est légal et possède un taux de profit de ${\displaystyle r_{n}-r_{p}}$. Si par contre ${\displaystyle r_{n}<r_{p}}$, alors le fonds promet plus d'argent qu'il ne peut en obtenir. Dans ce cas, ${\displaystyle r_{p}}$ est appelé le taux de Ponzi.

Il faut aussi modéliser les retraits faits par les investisseurs. Pour ce faire, nous définissons un taux de retrait constant ${\displaystyle r_{w}}$, appliqué à tout temps ${\displaystyle t}$ sur le capital accumulé promis. Le retrait au temps ${\displaystyle t}$ vaut donc ${\displaystyle r_{w}Ke^{(r_{p}-r_{w})t}}$. Il faut aussi ajouter les retraits des investisseurs qui sont arrivés entre le temps ${\displaystyle 0}$ et le temps ${\displaystyle t}$, à savoir ceux qui ont investi ${\displaystyle s(u)}$ au temps ${\displaystyle u}$. Le retrait pour ces investisseurs est donc de ${\displaystyle r_{w}s(u)e^{(r_{p}-r_{w})(t-u)}}$. En intégrant ces retraits entre ${\displaystyle 0}$ et ${\displaystyle t}$ et en ajoutant les retraits des investisseurs initiaux, nous obtenons : ${\displaystyle W(t)=r_{w}(Ke^{(r_{p}-r_{w})t}+\int _{0}^{t}s(u)e^{(r_{p}-r_{w})(t-u)}du)}$

Si ${\displaystyle S(t)}$ est la valeur du fonds au temps ${\displaystyle t}$, alors ${\displaystyle S(t+dt)}$ est obtenu en ajoutant à ${\displaystyle S(t)}$ l'intérêt nominal ${\displaystyle r_{n}S(t)dt}$, le flux de capitaux entrant ${\displaystyle s(t)dt}$ et en soustrayant les retraits ${\displaystyle W(t)dt}$. Nous obtenons donc ${\displaystyle S(t+dt)=S(t)+(r_{n}S(t)+s(t)-W(t))dt}$, ce qui conduit à l'équation différentielle linéaire ${\displaystyle dS(t)/dt=r_{n}S(t)+s(t)-W(t)}$.

• Notices d'autorité :

  • Bibliothèque nationale de France (données)
  • Bibliothèque du Congrès
• Notices dans des dictionnaires ou encyclopédies généralistes :

  • Encyclopædia Britannica
  • Gran Enciclopèdia Catalana
• (en) Présentation du Ponzi scheme par l'US Securities and Exchange Commission
• (fr) Dette publique – Du risque d'insoutenabilité au risque d'illiquidité - Revue économique, juillet 2003

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