Carte autoadaptative

Ces structures intelligentes de représentation de données sont inspirées, comme beaucoup d’autres créations de l’intelligence artificielle, par la biologie. Il s'agit de reproduire le principe neuronal du cerveau des vertébrés : des stimuli de même nature excitent une région du cerveau bien particulière. Les neurones sont organisés dans le cortex de façon à interpréter tous les types de stimuli imaginables. De la même manière, la carte autoadaptative se déploie de façon à représenter un ensemble des données, et chaque neurone se spécialise pour représenter un groupe bien particulier des données selon les points communs qui les rassemblent. Elle permet une visualisation en dimension multiple de données croisées.

Techniquement, la carte réalise une « quantification vectorielle » de l'espace de données. Cela signifie « discrétiser l'espace » ; c'est-à-dire le diviser en zones, et affecter à chaque zone un point significatif dit « vecteur référent ».

Architecture des cartes autoorganisatrices. L'espace d'entrée V est divisé en plusieurs zones. ${\displaystyle w_{r}}$ représente un vecteur référent associé à une petite zone de l'espace ${\displaystyle V_{r}^{M}}$ et r(2,3) représente son neurone associé dans la grille A. Chaque zone peut être adressée facilement par les index des neurones dans la grille.

D'un point de vue architectural, les cartes auto-organisatrices de Kohonen sont constituées d'une grille (le plus souvent uni- ou bidimensionnelle). Dans chaque nœud de la grille se trouve un « neurone ». Chaque neurone est lié à un vecteur référent, responsable d'une zone dans l'espace des données (appelé encore espace d'entrée).

Dans une carte auto-organisatrice, les vecteurs référents fournissent une représentation discrète de l'espace d'entrée. Ils sont positionnés de telle façon qu'ils conservent la forme topologique de l'espace d'entrée. En gardant les relations de voisinage dans la grille, ils permettent une indexation facile (via les coordonnées dans la grille). Ceci s'avère utile dans divers domaines, comme la classification de textures, l'interpolation entre des données, la visualisation des données multidimensionnelles.

Soit A la grille neuronale rectangulaire d'une carte auto-organisatrice. Une carte de neurones affecte à chaque vecteur d'entrée ${\displaystyle v\in V}$ un neurone ${\displaystyle r\in A}$ désigné par son vecteur de position ${\displaystyle {\vec {r}}}$, tel que le vecteur référent ${\displaystyle w_{r}}$ soit le plus proche de v.

Mathématiquement, on exprime cette association par une fonction : ${\displaystyle \phi _{w}:V\rightarrow A}$

${\displaystyle r=\phi _{w}(v)=\arg \min _{r\in A}\left\|v-w_{r}\right\|.}$

Cette fonction permet de définir les applications de la carte.

• quantificateur vectoriel: on approxime chaque point dans l'espace d'entrée par le vecteur référent le plus proche par

${\displaystyle w_{r}=\phi _{w}^{-1}(\phi _{w}(v))}$

• classificateur en utilisant la fonction ${\displaystyle r=\phi _{w}(v)}$

on affecte à chaque neurone de la grille une étiquette correspondant à une classe ; tous les points de l'espace d'entrée qui se projettent sur un même neurone appartiennent à la même classe. Une même classe peut être associée à plusieurs neurones.

• Similitude des densités dans l'espace d'entrée : la carte reflète la distribution des points dans l'espace d'entrée. Les zones dans lesquelles les vecteurs d'entraînement v sont tirés avec une grande probabilité d'occurrence sont cartographiées avec une meilleure résolution que les zones dans lesquelles les vecteurs d'entraînement v sont tirés avec une petite probabilité d'occurrence.
• Préservation des relations topologiques : des neurones voisins dans la grille occupent des positions voisines dans l'espace d'entrée (préservation des voisinages de la grille) ; et des points proches dans l'espace d'entrée se projettent sur des neurones voisins dans la grille (préservation de la topologie de l'espace d'entrée). Les neurones ont tendance à discrétiser l'espace de façon ordonnée.

Les ancêtres des cartes auto-organisatrices, les algorithmes comme « k-moyennes », réalisent la discrétisation de l'espace d'entrée en ne modifiant à chaque cycle d'adaptation qu'un seul vecteur référent. Leur processus d'apprentissage est donc très long.

L'algorithme de Kohonen profite des relations de voisinage dans la grille pour réaliser une discrétisation dans un temps très court. On suppose que l'espace n'est pas constitué de zones isolées, mais de sous-ensembles compacts. Donc en déplaçant un vecteur référent vers une zone, on peut se dire qu'il y a probablement d'autres zones dans la même direction qui doivent être représentées par des vecteurs référents. Cela justifie le fait de déplacer les neurones proches du vainqueur dans la grille dans cette même direction, avec une amplitude de déplacement moins importante. L'algorithme comporte des opérations simples ; il présente donc l'avantage d'un faible de coût de calculs.

Le voisinage dans les cartes autoadaptatives est malheureusement fixe, et une liaison entre neurones ne peut être cassée même pour mieux représenter des données discontinues. Les Growing Cell Structure, ou Growing Neural Gas sont la solution à ce problème. Des neurones et les liaisons entre neurones peuvent y être supprimés ou ajoutés quand le besoin s'en fait sentir.