Carré latin

Un carré latin est un tableau carré de n lignes (donc de n colonnes) remplies de n éléments distincts dont chaque ligne et chaque colonne ne contient qu'un seul exemplaire. L'exemple historique du carré latin est le carré Sator ; la construction de telles curiosités combinatoires se transpose facilement à l'arithmétique en substituant un nombre à une lettre : la plupart du temps, les n éléments utilisés sont les entiers compris entre 0 et n-1.

Voici un exemple de carré latin : ${\begin{bmatrix}0&1&2&3\\1&2&3&0\\2&3&0&1\\3&0&1&2\\\end{bmatrix}}$

Histoire

Le carré SATOR a été commenté par Albert le Grand[1] et Jérôme Cardan[2] qui lui attribuaient des vertus thérapeutiques. Le dénombrement d'arrangements sans répétition de n entiers dans un carré $n\times n$ semble être une création du mathématicien suisse Leonhard Euler (1707 - 1783)[3]^,[4]. Euler a pu être inspiré autant par l'énigme du carré latin SATOR et les Récréations de Jacques Ozanam (1725), que par les études de Frénicle et Fermat sur les carrés magiques.

Aujourd'hui, le carré latin est très populaire sous la forme du Sudoku[4].

En mathématiques

En permutant deux lignes ou deux colonnes d'un carré latin, on obtient encore un carré latin.

À une bijection près sur les n éléments, et à des permutations près sur les lignes et les colonnes, il n'existe qu'un seul carré latin d'ordre 3

Carré latin correspondant au groupe cyclique (Z/3Z; +)

${\begin{bmatrix}0&1&2\\1&2&0\\2&0&1\\\end{bmatrix}}\quad \quad$

En revanche il existe deux carrés latins d'ordre 4 (si l'on ne tient pas compte des permutations ou des éventuelles bijections sur les n éléments) :

Carré latin correspondant au groupe cyclique (Z/4Z; +)	${\begin{bmatrix}0&1&2&3\\1&2&3&0\\2&3&0&1\\3&0&1&2\\\end{bmatrix}}$
Carré latin correspondant au groupe de Klein	${\begin{bmatrix}0&1&2&3\\1&0&3&2\\2&3&0&1\\3&2&1&0\\\end{bmatrix}}$

Les carrés latins sont les tables de Cayley de quasigroupes finis et ont un lien étroit avec les carrés magiques.

Héraldique

Le carré latin apparaît dans le blason de la Société statistique du Canada[5] ainsi que dans le logo de la Société biométrique internationale[6].

Références

Albertus Magnus, Bewährte Und Approbirte Sympathetische und Natürliche, Egyptische Geheimnisse für Menschen und Vieh, Reading, Louis Enßlin (réimpr. 1852, 1890)
Jérôme Cardan, De Rerum Varietate, Milan, 1557
L. Euler, Recherches sur une nouvelle espèce de quarrés magiques, E530, présenté à l'Académie de Saint-Pétersbourg le 8 mars 1779. Fait remarquable, cet article d'Euler est écrit en français, et est le seul publié dans un journal néerlandais (en 1782).
Sudoku Anleitung
Letters Patent Confering the SSC Arms
The International Biometric Society

Voir aussi

Articles connexes

Carré magique
Carré gréco-latin - la combinaison de deux carrés latins orthogonaux
Sudoku (jeu qui s'inspire des carrés latins)
Échantillonnage par hypercube latin

Lien externe

Carrés latins et gréco-latins, un début vers les carrés magiques, sur villemin.gerard.free.fr

Arithmétique et théorie des nombres
Portail des jeux

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[AlbertGd-1] Albertus Magnus, Bewährte Und Approbirte Sympathetische und Natürliche, Egyptische Geheimnisse für Menschen und Vieh, Reading, Louis Enßlin (réimpr. 1852, 1890)

[2] Jérôme Cardan, De Rerum Varietate, Milan, 1557

[Euler-3] L. Euler, Recherches sur une nouvelle espèce de quarrés magiques, E530, présenté à l'Académie de Saint-Pétersbourg le 8 mars 1779. Fait remarquable, cet article d'Euler est écrit en français, et est le seul publié dans un journal néerlandais (en 1782).

[:0-4] Sudoku Anleitung

[5] Letters Patent Confering the SSC Arms

[6] The International Biometric Society