Caractère (mathématiques)

En mathématiques, un caractère est une notion associée à la théorie des groupes.

Un caractère sur un groupe G est un morphisme de G dans le groupe multiplicatif K* d'un corps commutatif K.

Les caractères permettent une généralisation de l'analyse harmonique à de nombreux groupes.

Définitions

Un caractère complexe d'un groupe G est un morphisme de G dans le groupe multiplicatif ℂ* des complexes non nuls.

Il correspond à un cas particulier de représentation, celle complexe de degré 1.

Par exemple, un « caractère de Dirichlet modulo n » est un caractère du groupe fini (ℤ/nℤ)^×.

Le groupe dual de G est l'ensemble des caractères du groupe, muni de la multiplication des fonctions. Il est naturellement isomorphe au groupe dual de l'abélianisé de G.

Si le groupe G est topologique, alors un caractère est par définition continu, si G est un groupe de Lie, alors un caractère est différentiable.

La notion de caractère se généralise aux structures d'algèbres (i.e. un espace vectoriel muni d'une structure d'anneau).

Un caractère sur une K-algèbre A est un morphisme d'algèbres de A dans K.

Dans le cas où l'algèbre est l'algèbre d'un groupe, les deux notions sont équivalentes.

Un caractère d'une représentation est une notion associée aux représentations d'un groupe, elle correspond à la trace de l'image d'un élément du groupe par la représentation.

Théorème d'indépendance de Dedekind

Pour tout corps commutatif K, les caractères d'un groupe G à valeurs dans K* sont K-linéairement indépendants[1]^,[2]. Il en est de même, plus généralement, pour les caractères d'un monoïde G, c'est-à-dire les morphismes de monoïdes de G dans (K, ×)[3].

Démonstration

Démontrons par récurrence que pour tout entier $r > 0$ , $r$ caractères distincts sont toujours indépendants. Pour $r = 1$ c'est immédiat car les caractères sont non nuls. Soit $n > 1$ , supposons la propriété vraie pour $r = n - 1$ et montrons-la pour $r = n$ . Soient donc $χ 1, \dots , χ n$ des caractères distincts et $λ 1, \dots , λ n$ des scalaires tels que $\sum λ k χ k = 0$ , donc tels que

\forall g,h\in G,\quad \sum _{k=1}^{n}\lambda _{k}(\chi _{k}(g)-\chi _{1}(g))\chi _{k}(h)=\left(\sum _{k=1}^{n}\lambda _{k}\chi _{k}(gh)\right)-\chi _{1}(g)\sum _{k=1}^{n}\lambda _{k}\chi _{k}(h)=0,

autrement dit :

\forall g\in G,\quad \sum _{k=2}^{n}\lambda _{k}(\chi _{k}(g)-\chi _{1}(g))\chi _{k}=0.

Par hypothèse de récurrence et puisque les $χ k$ pour $k > 1$ sont distincts de $χ 1$ , on en déduit que $λ 2 = \dots = λ n = 0$ . L'équation $\sum λ k χ k = 0$ se réduit alors à $λ 1 χ 1 = 0$ , si bien que $λ 1$ est nul aussi, ce qui conclut.

En particulier[4] pour tous corps commutatifs k et K, les plongements de k dans K sont K-linéairement indépendants.

Groupe fini

Structure du groupe dual

Dans le cas d'un groupe fini, le groupe dual est aussi fini. Il s'identifie au caractères de l'algèbre du groupe complexe associé et forme une famille orthogonale incluse dans le centre de l'algèbre.

Si le groupe est de plus abélien, alors le groupe dual est isomorphe à G, les caractères forment alors une base orthonormale de l'algèbre.

Analyse harmonique sur un groupe abélien fini

Dans le contexte d'un groupe abélien fini, la théorie de l'analyse harmonique est relativement simple à établir. La transformée de Fourier correspond à une somme finie et le groupe dual est isomorphe à G.

En conséquence, les résultats classiques comme l'égalité de Parseval, le théorème de Plancherel ou la formule sommatoire de Poisson s'appliquent.

Dualité de Pontriaguine

L'objectif de la théorie de la dualité de Pontriaguine est la généralisation de l'analyse harmonique au cas où le groupe est abélien et localement compact.

Associée à la mesure de Haar introduite par John von Neumann, André Weil et d'autres, elle permet d'établir les principaux résultats associés à la transformée de Fourier.

Notes et références

(en) Michael Artin, Galois Theory, 1944, 2^e éd., 86 p. (lire en ligne), p. 34-35, Theorem 12.
(en) Henri Cohen, Number Theory : Volume I : Tools and Diophantine Equations, New York, Springer, coll. « GTM » (n^o 239), 2007, 596 p. (ISBN 978-0-387-49922-2, lire en ligne), p. 117.
(en) Ray Mines et Fred Richman, A Course in Constructive Algebra, Springer, 1988 (lire en ligne), p. 172.
Cohen 2007, p. 118.

Jean-Pierre Serre, Cours d'arithmétique, 1970 [détail des éditions]
Jean-Pierre Serre, Représentations linéaires des groupes finis [détail des éditions]
André Warusfel, Structures algébriques finies, Hachette, 1971
G. Peyré, L'Algèbre discrète de la transformée de Fourier, Ellipses, 2004
Jacques Dixmier, Les C*-algèbres et leurs représentations, Gauthier-Villars, 1969
(en) Walter Rudin, Fourier Analysis on Groups, 1962

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[1] (en) Michael Artin, Galois Theory, 1944, 2^e éd., 86 p. (lire en ligne), p. 34-35, Theorem 12.

[2] (en) Henri Cohen, Number Theory : Volume I : Tools and Diophantine Equations, New York, Springer, coll. « GTM » (n^o 239), 2007, 596 p. (ISBN 978-0-387-49922-2, lire en ligne), p. 117.

[3] (en) Ray Mines et Fred Richman, A Course in Constructive Algebra, Springer, 1988 (lire en ligne), p. 172.

[4] Cohen 2007, p. 118.