Anneau ℤ/nℤ

La division euclidienne dans ℤ montre que cet ensemble est un anneau euclidien, en conséquence ℤ est un anneau principal. Cela signifie que pour tout idéal I de ℤ, il existe un entier n tel que I est égal à nℤ. Comme les idéaux nℤ et -nℤ sont confondus, il est toujours possible de choisir n positif. Dans toute la suite de l'article, n désigne un entier positif.

La construction de ℤ/nℤ correspond à la construction générale des anneaux quotients. Ici la relation d'équivalence correspond à la classique congruence sur les entiers. Un élément de ℤ/nℤ est la classe des éléments ayant tous le même reste par la division euclidienne par n.

Un élément est identifié par un membre de sa classe, souvent l'entier compris entre 0 et n - 1. Il est parfois noté ${\displaystyle {\dot {a}}}$ ou ${\displaystyle {\bar {a}}}$, ainsi dans ℤ/6ℤ, 2 désigne la classe contenant les éléments 2, 8, 14 etc. Quand il n'existe pas d'ambigüité, on utilise simplement la lettre a.

Les éléments de ℤ/nℤ sont appelés classes modulo n ou résidus.

L'anneau ℤ/nℤ est parfois noté ℤ_n, lorsque le contexte élimine l'ambiguïté avec l'anneau ℤ_n des entiers n-adiques.

La théorie des anneaux permet directement de démontrer certaines propriétés de l'anneau.

• L'anneau ℤ/nℤ est unitaire.
  C'est une conséquence directe du fait que ℤ l'est.
• Les idéaux de l'anneau ℤ/nℤ sont principaux.
  C'est une conséquence directe du fait que tous les idéaux de ℤ le sont. En pratique et comme pour ℤ, tous les sous-groupes additifs et tous les sous-anneaux sont aussi des idéaux principaux. Si m est un diviseur de n alors il existe un unique ideal de ℤ/nℤ isomorphe à ℤ/mℤ, ce résultat est une conséquence directe de la troisième proposition du paragraphe Théorème fondamental de l'article « Groupe cyclique ».

Si n est non nul et non premier, alors l'anneau ℤ/nℤ n'est pas intègre, ce n'est donc pas un anneau principal. En revanche, on verra plus loin que lorsque n est premier, ℤ/nℤ est un corps (donc principal).

La structure du groupe (ℤ/nℤ,+) est celle d'un groupe cyclique (ou : monogène), c'est-à-dire engendré par un seul élément (si n est égal à 0 on obtient un groupe isomorphe à ℤ ; si n est différent de 0, alors le groupe est fini). La classe de 1 est en effet un générateur du groupe. Ce n'est d'ailleurs pas le seul :

• Les générateurs du groupe (ℤ/nℤ, +) sont les éléments inversibles de l'anneau ℤ/nℤ.

Ce sont par conséquent (cf. article « Inverse modulaire ») les classes d'entiers premiers avec n.

La caractérisation ci-dessus des générateurs résulte du fait que dans tout anneau unitaire cyclique – c'est-à-dire dont le groupe additif est cyclique – les générateurs de ce groupe sont les inversibles de l'anneau. Comme 1 en fait partie, ceci prouve de plus que :

• Les ℤ/nℤ sont (à isomorphisme près) les seuls anneaux unitaires cycliques[1]^,[2].

La logique du théorème chinois s'applique encore, ainsi les propriétés du paragraphe Théorème chinois de l'article « Groupe cyclique ». Il suffit pour les vérifier de valider que le morphisme de groupes utilisé est aussi un morphisme d'anneaux.

• Soient u et v deux entiers premiers entre eux non nuls, alors l'anneau ℤ/uvℤ est isomorphe au produit des anneaux ℤ/uℤ et ℤ/vℤ.

Note : L'anneau produit ne contient pas d'élément d'ordre supérieur au ppcm de u et de v. Donc si u et v ne sont pas premiers entre eux, cet anneau n'est pas isomorphe à l'anneau ℤ/uvℤ.

Cette proposition entraîne, pour tout n > 0, une décomposition unique de ℤ/nℤ en facteurs premiers. Le théorème fondamental de l'arithmétique montre que n se décompose de la manière unique suivante :

${\displaystyle n=\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{\alpha _{i}}\;}$

où (p_i) est une famille de k nombres premiers tous distincts et α_i des entiers supérieurs ou égaux à un. Les puissances des nombres premiers du produit sont tous premiers entre eux. Une simple récurrence montre :

• ℤ/nℤ se décompose de manière unique en un produit d'anneaux quotients de ℤ dont chacun a pour cardinal une puissance d'un nombre premier.

• ℤ/nℤ est un corps si et seulement si n est un nombre premier.

En effet, la classe d'un entier m est inversible dans ℤ/nℤ si et seulement si m est premier avec n (voir l'article « Inverse modulaire »). Dans ℤ/nℤ avec n ≠ 1, la classe nulle est donc la seule classe non inversible si et seulement si les multiples de n sont les seuls entiers non premiers avec n, c'est-à-dire si et seulement si n est premier.

Soit A un anneau unitaire; il existe un unique morphisme d'anneaux φ de ℤ dans A qui à 1_ℤ associe 1_A. Soit n l'entier positif tel que le noyau de φ soit égal à nℤ. Le premier théorème d'isomorphisme montre qu'il existe un sous-anneau de A isomorphe à ℤ/nℤ, à savoir le sous-anneau Im φ.

• L'entier n est appelé caractéristique de l'anneau A.

Ainsi, tout anneau unitaire contient un sous-anneau isomorphe soit à ℤ dans le cas où n est égal à 0, soit à ℤ/nℤ. C'est une des raisons qui rend cette famille d'anneaux intéressante.

Dans le cas où n est premier c'est-à-dire si l'anneau est un corps, le groupe des inversibles est d'ordre n – 1. Sa structure est simple :

Si n est un nombre premier, le groupe des inversibles du corps ℤ/nℤ est cyclique.

En effet, le groupe multiplicatif de tout corps fini est cyclique (voir l'article détaillé ; la preuve repose sur deux propriétés : l'exposant d'un groupe abélien fini est égal à l'ordre d'au moins un élément du groupe, et dans un corps commutatif, le nombre de racines d'un polynôme non nul est au plus égal à son degré).

Étudions d'abord le cas où n est de la forme p^r, pour un nombre premier p et un entier r ≥ 2 (le cas r = 1 vient d'être étudié). Le groupe des unités de ℤ/p^rℤ est alors toujours cyclique, sauf si p = 2 et r ≥ 3. Plus précisément :

• Si p = 2 (et r ≥ 2), le groupe des inversibles de ℤ/p^rℤ est le produit direct interne du sous-groupe d'ordre 2 engendré par la classe de –1 et du sous-groupe d'ordre 2^r–2 engendré par la classe de 5.
• Si p ≠ 2, le groupe des inversibles est cyclique.

Le cas général se ramène aux précédents grâce au théorème fondamental de l'arithmétique. En effet, d'après le théorème chinois :

• Soient n et m deux entiers premiers entre eux non nuls, le groupe des inversibles de ℤ/nmℤ est isomorphe au produit direct des groupes des unités de ℤ/nℤ et de ℤ/mℤ.

En particulier, (ℤ/nℤ)^× est cyclique si et seulement si n = 4, ou une puissance d'un premier impair, ou le double d'une telle puissance[4].

Serge Lang, Algèbre [détail des éditions]

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