Anticoïndicateur

En mathématiques, un anticoïndicateur^{[réf. nécessaire]} est un entier strictement positif n qui ne peut pas être exprimé comme la différence entre un entier m > 0 et le nombre des entiers compris entre 1 et m et premiers avec m. Exprimé algébriquement, pour un tel n, l'équation m – φ(m) = n ne possède pas de solution, où m est l'inconnue, et φ désigne la fonction indicatrice d'Euler.

Il a été conjecturé que tous les anticoïndicateurs sont pairs, ou formulé de manière équivalente qu'aucun nombre impair ne peut être anticoïndicateur[1]. Ceci découle d'une forme modifiée de la conjecture de Goldbach : si le nombre pair n peut être représenté comme une somme de deux nombres premiers distincts p et q, alors

${\displaystyle pq-\varphi (pq)=pq-(p-1)(q-1)=p+q-1=n-1~.}$

Plus précisément, en supposant que chaque nombre pair plus grand que 6 soit une somme de nombres premiers distincts, on démontrerait ainsi que tout nombre impair plus grand que 5 présente une solution à l'équation et qu'aucun n'est anticoïndicateur. Les nombres impairs restants sont couverts par les observations suivantes : 1 = 2 – φ(2), 3 = 9 – φ(9) et 5 = 25 – φ(25).

La suite des anticoïndicateurs (suite A005278 de l'OEIS) commence par : 10, 26, 34, 50, 52.

Paul Erdős et Wacław Sierpiński se sont demandé s'il existe une infinité d'anticoïndicateurs. Ceci fut finalement résolu par l'affirmative par Jerzy Browkin (en) et Andrzej Schinzel (1995), qui ont montré que tout entier de la forme 2^k.509 203 est un anticoïndicateur. Depuis, Flammenkamp et Luca[2] ont trouvé d'autres suites infinies, analogues, d'anticoïndicateurs.