Algèbre sur un anneau

Soient A un anneau commutatif et E un module sur A muni d'une opération binaire ${\displaystyle \times :E\times E\to E,(x,y)\mapsto x\times y}$. Si cette opération binaire est bilinéaire, ce qui signifie que pour tous ${\displaystyle x,y,z\in E\,}$ (éléments du module) et pour tout ${\displaystyle a\in A}$ (scalaires), ces identités sont vraies :

• ${\displaystyle (x+y)\times z=(x\times z)+(y\times z)~;}$
• ${\displaystyle x\times (y+z)=(x\times y)+(x\times z)~;}$
• ${\displaystyle (a\cdot x)\times y=a\cdot (x\times y)=x\times (a\cdot y),}$

alors E est une algèbre sur A. On dit aussi que E est une A-algèbre où A est la base de l'algèbre E. L'opération bilinéaire est appelé la multiplication dans l'algèbre E[1].

Lorsque A est un corps commutatif, (E,+,.) est un espace vectoriel sur A.

Un morphisme entre deux A-algèbres E et F est un morphisme ${\displaystyle \,f\,:\,E\to F}$ pour les lois internes (addition et multiplication) et le produit par des scalaires :

${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y),~f(x\times y)=f(x)\times f(y)~{\text{et}}~f(a\cdot x)=a\cdot f(x)}$

pour tous ${\displaystyle x,y\in E}$ et tout ${\displaystyle a\in A}$.

Un morphisme est un isomorphisme si et seulement s'il est bijectif (son inverse est alors automatiquement un morphisme d'algèbres). Deux A-algèbres sont dites isomorphes s'il existe un isomorphisme de A-algèbres de l'une vers l'autre.

• On trouve un grand nombre d'exemples d'algèbres dans les algèbres associatives, celles pour laquelle la seconde loi interne est associative. C'est ainsi le cas des anneaux ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ et des pseudo-anneaux ${\displaystyle n\mathbb {Z} }$ qui sont des ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-algèbres. Dans cette grande famille des algèbres associatives, on trouve aussi des ensembles qui sont munis de deux lois internes qui font d'eux des anneaux et d'une loi externe qui en font des espaces vectoriels sur un corps ou des modules sur un anneau. C'est le cas de l'ensemble des matrices carrées de dimension n sur un anneau ou de l'ensemble des polynômes sur un anneau.

• Parmi les algèbres non associatives, on peut citer :
  • les algèbres de Lie qui sont des algèbres non associatives sur un corps ;
  • pour un anneau ${\displaystyle A}$, la ${\displaystyle A}$-algèbre non associative ${\displaystyle (A^{3},+,\cdot ,\wedge )}$ où ${\displaystyle \cdot }$ est la multiplication externe et ${\displaystyle \wedge }$ le produit vectoriel.

• Algèbre sur un corps
• Algèbre de Clifford

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