Équation quintique

Trouver les racines d'un polynôme donné à coefficients rationnels a été un problème essentiel en mathématiques.

Résoudre les équations linéaires, quadratiques, cubiques et quartiques en factorisant par radicaux est relativement direct lorsque les racines sont rationnelles et réelles ; il existe aussi des formules qui fournissent les solutions cherchées. Par contre, il n'existe pas de formule pour les équations quintiques générales sur les rationnels en termes de radicaux ; ceci fut d'abord démontré par le théorème d'Abel-Ruffini découvert par Paolo Ruffini et Niels Henrik Abel. Publié en 1824, ce fut une des premières applications de la théorie des groupes en algèbre. Ce résultat est aussi valable pour les équations de degrés plus élevés. Cela est assez surprenant ; même s'il y a des racines, il n'y a pas d'expression algébrique finie de +, –, ×, / et ^.√. qui puisse les produire à partir des coefficients pour toutes les quintiques.

Certaines équations de degré 5 peuvent être résolues par factorisation en radicaux, par exemple :

${\displaystyle x^{5}-x^{4}-x+1=0,\,}$

qui peut être écrit sous la forme

${\displaystyle (x^{2}+1)(x+1)(x-1)^{2}=0.\,}$

D'autres quintiques, comme

${\displaystyle x^{5}-x+1=0,\,}$

ne peuvent pas être factorisées facilement et résolues de cette manière.

Évariste Galois développa des techniques pour déterminer si une équation donnée peut être résolue par radicaux, qui ont fondé la théorie de Galois. En utilisant la théorie de Galois, John Stuart Glashan, George Paxton Young et Carl Runge montrèrent en 1885 qu'une quintique irréductible dans la forme de Bring-Jerrard,

${\displaystyle x^{5}+ax+b=0\,}$

est résoluble si et seulement si a = 0 ou si l'équation est de la forme suivante :

${\displaystyle x^{5}+{\frac {5\mu ^{4}(4\nu +3)}{\nu ^{2}+1}}x+{\frac {4\mu ^{5}(2\nu +1)(4\nu +3)}{\nu ^{2}+1}}=0}$

où μ et ν sont rationnels. En 1994, Blair Spearman et Kenneth S. Williams donnèrent l'autre forme :

${\displaystyle x^{5}+{\frac {5e^{4}(3-4c\varepsilon )}{c^{2}+1}}x+{\frac {-4e^{5}(11\varepsilon +2c)}{c^{2}+1}}=0}$

avec ε = ± 1. Puisqu'avec un usage judicieux de la transformation de Tschirnhaus, il est possible de transformer toute quintique en une forme de Bring-Jerrard, ceci donne une condition nécessaire et suffisante sur une quintique quelconque pour qu'elle soit résoluble par radicaux. La relation entre les paramétrisations de 1885 et 1994 peut être vue en définissant l'expression

${\displaystyle b={\frac {4}{5}}\left(a+20\pm 2{\sqrt {(20-a)(5+a)}}\right)}$

où

${\displaystyle a={\frac {5(4v+3)}{v^{2}+1}}}$

et en utilisant le cas négatif de la racine carrée, cela fournit, après ajustement des variables, la première paramétrisation tandis que le cas positif donne la seconde. C'est alors une condition nécessaire (mais non suffisante) pour que la quintique résoluble irréductible

${\displaystyle z^{5}+a\mu ^{4}z+b\mu ^{5}=0\,}$

avec des coefficients rationnels doit satisfaire la simple courbe quadratique^[pas clair]

${\displaystyle y^{2}=(20-a)(5+a)\,}$

pour certains rationnels a, y.

La plupart des équations quintiques n'étant pas résolubles par radicaux, autrement dit, en exprimant les solutions à l'aide de fonctions racines et polynomiales des coefficients de l'équation, des mathématiciens ont cherché à exprimer les racines à l'aide d'autres fonctions.

Aux environs de 1835, Jerrard montra que les quintiques peuvent être résolues en utilisant les ultraradicaux (aussi connus sous le nom radicaux de Bring), les racines réelles de t⁵ + t – a pour les nombres réels a.

En 1858, Charles Hermite montra que les radicaux de Bring pouvaient être caractérisés en termes de fonctions thêta de Jacobi et leurs fonctions modulaires elliptiques associées, en utilisant une approche similaire à l'approche familière de résolution des équations cubiques par rapports de fonctions trigonométriques. Leopold Kronecker, en utilisant la théorie des groupes, développa une manière plus simple dérivant des résultats d'Hermite, comme Francesco Brioschi. Plus tard, Felix Klein intervint avec une méthode particulièrement élégante qui relie les symétries de l'icosaèdre, la théorie de Galois et les fonctions elliptiques modulaires qui interviennent dans la solution d'Hermite, donnant une explication sur la raison de leur apparition, et développa sa propre solution en termes de fonctions hypergéométriques généralisées.

Les méthodes numériques telles que la méthode de Newton avec essais et erreurs donnent des résultats très rapidement si l'on ne cherche que des valeurs approchées des racines, ou s'il est connu que les solutions comprennent seulement des expressions simples (telles que celles des examens). D'autres méthodes telles que la méthode de Laguerre ou celle de Jenkins-Traub (en) peuvent aussi être utilisées pour trouver numériquement de manière plus fiable les racines d'équations quintiques.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Quintic equation » (voir la liste des auteurs).
• (en) Jörg Bewersdorff, Galois Theory for Beginners: A Historical Perspective, AMS 2006, Chapter 8 (The solution of equations of the fifth degree).
• (en) Jeremy Gray, Linear Differential Equations and Group Theory from Riemann to PoincarŽé, Boston, BirkhäŠuser, 2000, 2^e éd..
• Charles Hermite, « Sur la résolution de l'équation du cinquième degré », Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences, vol. 46,‎ 1858 ; Charles Hermite, « Sur l'équation du cinquième degré », Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences, vol. 61,‎ 1865, p. 877-882, 965-972, 1073-1081 ; Charles Hermite, « Sur la résolution de l'équation du cinquième degré », Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences, vol. 62,‎ 1866, p. 65-72, 157-162, 245-252, 715-722, 919-924, 959-966, 1054-1059, 1161-1167, 1213-1215. Reproduit dans Charles Hermite et Émile Picard (éditeur), Œuvres, vol. 2, Paris, Gauthier-Villars, 1908, p. 5-21, 347-424.
• Christian Houzel, « L'équation générale du cinquième degré », dans La Géométrie algébrique : Recherches historiques, Paris, Blanchard, 2003.
• (de) Felix Klein, Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade, Leipzig, Teubner, 1884, réimpr. Birkhäuser, 1993 (ISBN 978-3-76432454-4), traduction en anglais.
• Ian Stewart, Galois Theory, 2^e éd., Chapman et Hall, 1989 (ISBN 978-0-412-34550-0).