Ci-dessous se trouvent, dans l’ordre croissant des degrés sur ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ des nombres, les polynômes minimaux sur ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$ (ou sur ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ lorsque rien n'est précisé) de quelques entiers algébriques de la forme

${\displaystyle 2\cos(2k\pi /n)}$ pour ${\displaystyle 0<k<n/2}$ et k premier avec n.

Lorsque n est pair, la fraction ${\displaystyle 2k/n}$ sera écrite simplifiée par 2.

Rappelons (cf. chap. 1) que le degré (sur ${\displaystyle \mathbb {Q} }$) de ${\displaystyle \cos {\frac {2k\pi }{n}}}$, avec ${\displaystyle k}$ et ${\displaystyle n}$ premiers entre eux et ${\displaystyle n\geq 3}$, vaut ${\displaystyle {\frac {\varphi (n)}{2}}}$ (${\displaystyle \neq 7,9}$). Lorsque ${\displaystyle \varphi (n)}$ est divisible par 4, le polynôme minimal sur ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ se factorisera en produit de deux polynômes de degré ${\displaystyle {\frac {\varphi (n)}{4}}}$ sur un ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$, d'autant de façons qu'il y a de sous-groupes d'indice 2 dans le groupe quotient ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }/\{\pm 1\}}$ (donc une seule si et seulement si ce groupe est cyclique, donc plusieurs si n est divisible par 8). De plus, l'entier ${\displaystyle d}$ (positif et sans facteur carré) — et même ${\displaystyle 4d}$, si ${\displaystyle d\not \equiv 1{\bmod {4}}}$ — divise ${\displaystyle n}$ car le discriminant de ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$ divise celui de l'extension cyclotomique ℚ(ζ_n).

Nous éviterons les redondances en remarquant que si

${\displaystyle X^{m}+a_{m-1}X^{m-1}+a_{m-2}X^{m-2}+\dots +a_{0}}$ est le polynôme minimal sur K de ${\displaystyle 2\cos {\frac {2k\pi }{n}}}$,

alors

${\displaystyle X^{m}-a_{m-1}X^{m-1}+a_{m-2}X^{m-2}+\dots +(-1)^{m}a_{0}}$ est le polynôme minimal sur K de son opposé, ${\displaystyle 2\cos {\frac {(n-2k)\pi }{n}}}$.

Le cas ${\displaystyle n=2n'}$ avec ${\displaystyle n'}$ impair se ramène ainsi au cas ${\displaystyle n=n'}$.

Exemple : n = 40

Le polynôme minimal (sur ${\displaystyle \mathbb {Q} }$) des nombres ${\displaystyle 2\cos {\frac {2k\pi }{40}}}$ pour ${\displaystyle k=1,3,7,9}$ et de leurs opposés est

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{40}(X)&=P_{20}(X^{2}-2)\\&=P_{10}((X^{2}-2)^{2}-2)\\&=P_{5}(2-(X^{2}-2)^{2})\\&=P_{5}(-X^{4}+4X^{2}-2)\\&=(-X^{4}+4X^{2}-2)^{2}+(-X^{4}+4X^{2}-2)-1\\&=X^{8}-8X^{6}+19X^{4}-12X^{2}+1.\end{aligned}}}$

En posant ${\displaystyle x=y+2}$, l'équation ${\displaystyle x^{4}-8x^{3}+19x^{2}-12x+1=0}$ devient ${\displaystyle y^{4}-5y^{2}+5=0}$. On trouve ainsi :

${\displaystyle 2\cos {\frac {\pi }{20}}={\sqrt {2+{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}}},\quad 2\cos {\frac {3\pi }{20}}={\sqrt {2+{\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}}},\quad 2\cos {\frac {7\pi }{20}}={\sqrt {2-{\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}}},\quad 2\cos {\frac {9\pi }{20}}={\sqrt {2-{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}}}}$,

soit

${\displaystyle 2\cos {\frac {\pi }{20}}={\frac {1+{\sqrt {5}}+a-b}{2{\sqrt {2}}}},\quad 2\cos {\frac {3\pi }{20}}={\frac {-1+{\sqrt {5}}+a+b}{2{\sqrt {2}}}},\quad 2\cos {\frac {7\pi }{20}}={\frac {1-{\sqrt {5}}+a+b}{2{\sqrt {2}}}},\quad 2\cos {\frac {9\pi }{20}}={\frac {1+{\sqrt {5}}-a+b}{2{\sqrt {2}}}}}$

avec

${\displaystyle a={\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}},\quad b={\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}$.

Le groupe ${\displaystyle \left(\mathbb {Z} /40\mathbb {Z} \right)/\{1,-1\}}$, d'ordre ${\displaystyle \varphi (40)/2=8}$, a trois sous groupes d'indice 2.

Le premier, ${\displaystyle H_{1}}$, est l'ensemble des nombres (pris modulo 40 et au signe près) puissances de ±7 (ou, ce qui revient au même : de son inverse ±17 dans ${\displaystyle \left(\mathbb {Z} /40\mathbb {Z} \right)/\{1,-1\}}$), ce que nous noterons

• ${\displaystyle H_{1}=\{\pm 1,\pm 7,\pm 9,\pm 17\}}$.

Avec les mêmes notations, les deux autres sont :

• ${\displaystyle H_{2}=\{\pm 1,\pm 3,\pm 9,\pm 13\}}$ (cyclique comme le précédent)
• ${\displaystyle H_{3}=\{\pm 1,\pm 9,\pm 11,\pm 19\}}$ (de Klein).

Ils fournissent trois factorisations,

${\displaystyle P_{40}(X)=Q_{1}(X)Q_{1}(-X)=Q_{2}(X)Q_{2}(-X)=Q_{3}(X)Q_{4}(X)}$,

avec

${\displaystyle {\begin{aligned}Q_{1}(X)&=\left(X-2\cos {\frac {\pi }{20}}\right)\left(X-2\cos {\frac {7\pi }{20}}\right)\left(X-2\cos {\frac {9\pi }{20}}\right)\left(X-2\cos {\frac {17\pi }{20}}\right)\\&=\left(X-{\frac {1+{\sqrt {5}}+a-b}{2{\sqrt {2}}}}\right)\left(X-{\frac {1-{\sqrt {5}}+a+b}{2{\sqrt {2}}}}\right)\left(X-{\frac {1+{\sqrt {5}}-a+b}{2{\sqrt {2}}}}\right)\left(X+{\frac {-1+{\sqrt {5}}+a+b}{2{\sqrt {2}}}}\right)\\&=X^{4}-X^{3}{\sqrt {2}}-3X^{2}+3X{\sqrt {2}}-1\end{aligned}}}$

et (par des calculs analogues) :

${\displaystyle Q_{2}(X)=X^{4}-{\sqrt {10}}X^{3}+X^{2}+{\sqrt {10}}X-1,\quad Q_{3}(X)=X^{4}-4X^{2}+{\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}},\quad Q_{4}(X)=X^{4}-4X^{2}+{\frac {3+{\sqrt {5}}}{2}}}$.

Nombres rationnels

${\displaystyle \varphi (n)=2}$ pour ${\displaystyle n=3,4,6}$.

Les polynômes minimaux des nombres

${\displaystyle 2\cos {\frac {2\pi }{3}},\quad 2\cos {\frac {\pi }{2}}}$

sont respectivement :

${\displaystyle X+1,\qquad X}$.

Irrationnels quadratiques

${\displaystyle \varphi (n)=4}$ pour ${\displaystyle n=5,8,10,12}$.

${\displaystyle X^{2}+X-1}$ est le polynôme minimal des nombres : ${\displaystyle 2\cos {\frac {2\pi }{5}}}$ et ${\displaystyle 2\cos {\frac {4\pi }{5}}}$.	${\displaystyle X^{2}-2}$ est le polynôme minimal des nombres : ${\displaystyle 2\cos {\frac {\pi }{4}}}$ et son opposé.
${\displaystyle X^{2}-3}$ est le polynôme minimal des nombres : ${\displaystyle 2\cos {\frac {\pi }{6}}}$ et son opposé.

Nombres de degré 3

${\displaystyle \varphi (n)=6}$ pour ${\displaystyle n=7,9,14,18}$.

${\displaystyle X^{3}+X^{2}-2X-1}$ est le polynôme minimal des nombres : ${\displaystyle 2\cos {\frac {2\pi }{7}},\quad 2\cos {\frac {4\pi }{7}},\quad 2\cos {\frac {6\pi }{7}}}$.

${\displaystyle X^{3}-3X+1}$ est le polynôme minimal des nombres : ${\displaystyle 2\cos {\frac {2\pi }{9}},\quad 2\cos {\frac {4\pi }{9}},\quad 2\cos {\frac {8\pi }{9}}}$.

Nombres de degré 4

${\displaystyle \varphi (n)=8}$ pour ${\displaystyle n=15,16,20,24,30}$.

${\displaystyle X^{2}-{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}X-{\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}}$ est le polynôme minimal sur ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {5}})}$ des nombres : ${\displaystyle 2\cos {\frac {2\pi }{15}},\quad 2\cos {\frac {8\pi }{15}}}$.	${\displaystyle X^{2}+{\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}X-{\frac {3+{\sqrt {5}}}{2}}}$ est le polynôme minimal sur ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {5}})}$ des nombres : ${\displaystyle 2\cos {\frac {4\pi }{15}},\quad 2\cos {\frac {14\pi }{15}}}$.
${\displaystyle X^{2}-2-{\sqrt {2}}}$ est le polynôme minimal sur ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$ des nombres : ${\displaystyle 2\cos {\frac {\pi }{8}}}$ et son opposé.	${\displaystyle X^{2}-2+{\sqrt {2}}}$ est le polynôme minimal sur ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$ des nombres : ${\displaystyle 2\cos {\frac {3\pi }{8}}}$ et son opposé.
${\displaystyle X^{2}-{\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}$ est le polynôme minimal sur ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {5}})}$ des nombres : ${\displaystyle 2\cos {\frac {\pi }{10}}}$ et son opposé.	${\displaystyle X^{2}-{\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}$ est le polynôme minimal sur ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {5}})}$ des nombres : ${\displaystyle 2\cos {\frac {3\pi }{10}}}$ et son opposé.
${\displaystyle X^{2}-{\sqrt {2}}X-1}$ est le polynôme minimal sur ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$ des nombres : ${\displaystyle 2\cos {\frac {\pi }{12}}}$ et ${\displaystyle 2\cos {\frac {7\pi }{12}}}$.	${\displaystyle X^{2}-2-{\sqrt {3}}}$ est le polynôme minimal sur ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {3}})}$ des nombres : ${\displaystyle 2\cos {\frac {\pi }{12}}}$ et son opposé.
${\displaystyle X^{2}-{\sqrt {6}}X+1}$ est le polynôme minimal sur ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {6}})}$ des nombres : ${\displaystyle 2\cos {\frac {\pi }{12}}}$ et ${\displaystyle 2\cos {\frac {5\pi }{12}}}$.

Nombres de degré 5

${\displaystyle \varphi (n)=10}$ pour ${\displaystyle n=11,22}$.

${\displaystyle X^{5}+X^{4}-4X^{3}-3X^{2}+3X+1}$ est le polynôme minimal des nombres : ${\displaystyle 2\cos {\frac {2^{k}\pi }{11}},\quad k=1,2,3,4,5}$.

Nombres de degré 6

${\displaystyle \varphi (n)=12}$ pour ${\displaystyle n=13,21,26,28,36,42}$.

${\displaystyle X^{3}+{\frac {1-{\sqrt {13}}}{2}}X^{2}-X-{\frac {3-{\sqrt {13}}}{2}}}$ est le polynôme minimal sur ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {13}})}$ des nombres : ${\displaystyle 2\cos {\frac {2\pi }{13}},\quad 2\cos {\frac {6\pi }{13}},\quad 2\cos {\frac {8\pi }{13}}}$.	${\displaystyle X^{3}+{\frac {1+{\sqrt {13}}}{2}}X^{2}-X-{\frac {3+{\sqrt {13}}}{2}}}$ est le polynôme minimal sur ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {13}})}$ des nombres : ${\displaystyle 2\cos {\frac {4\pi }{13}},\quad 2\cos {\frac {10\pi }{13}},\quad 2\cos {\frac {12\pi }{13}}}$.
${\displaystyle X^{3}-{\frac {1+{\sqrt {21}}}{2}}X^{2}-{\frac {1-{\sqrt {21}}}{2}}X-{\frac {5-{\sqrt {21}}}{2}}}$ est le polynôme minimal sur ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {21}})}$ des nombres : ${\displaystyle 2\cos {\frac {2\pi }{21}},\quad 2\cos {\frac {8\pi }{21}},\quad 2\cos {\frac {10\pi }{21}}}$.	${\displaystyle X^{3}-{\frac {1-{\sqrt {21}}}{2}}X^{2}-{\frac {1+{\sqrt {21}}}{2}}X-{\frac {5+{\sqrt {21}}}{2}}}$ est le polynôme minimal sur ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {21}})}$ des nombres : ${\displaystyle 2\cos {\frac {4\pi }{21}},\quad 2\cos {\frac {16\pi }{21}},\quad 2\cos {\frac {20\pi }{21}}}$.
${\displaystyle X^{3}-X^{2}{\sqrt {7}}+{\sqrt {7}}}$ est le polynôme minimal sur ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {7}})}$ des nombres : ${\displaystyle 2\cos {\frac {\pi }{14}},\quad 2\cos {\frac {3\pi }{14}},\quad 2\cos {\frac {9\pi }{14}}}$.	${\displaystyle X^{3}-3X-{\sqrt {3}}}$ est le polynôme minimal sur ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {3}})}$ des nombres : ${\displaystyle 2\cos {\frac {\pi }{18}},\quad 2\cos {\frac {11\pi }{18}},\quad 2\cos {\frac {13\pi }{18}}}$.

Nombres de degré 8

${\displaystyle \varphi (n)=16}$ pour ${\displaystyle n=17,32,34,40,48,60}$.

${\displaystyle X^{4}+{\frac {1-{\sqrt {17}}}{2}}X^{3}-{\frac {3+{\sqrt {17}}}{2}}X^{2}+(2+{\sqrt {17}})X-1}$ est le polynôme minimal sur ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {17}})}$ des nombres : ${\displaystyle 2\cos {\frac {2^{k}\pi }{17}},\quad k=1,2,3,4}$.	${\displaystyle X^{4}+{\frac {1+{\sqrt {17}}}{2}}X^{3}-{\frac {3-{\sqrt {17}}}{2}}X^{2}+(2-{\sqrt {17}})X-1}$ est le polynôme minimal sur ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {17}})}$ des nombres : ${\displaystyle 2\cos {\frac {2^{k}\times 3\pi }{17}},\quad k=1,2,3,4}$.
${\displaystyle X^{4}-4X^{2}+2-{\sqrt {2}}}$ est le polynôme minimal sur ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$ des nombres : ${\displaystyle 2\cos {\frac {\pi }{16}},\quad 2\cos {\frac {7\pi }{16}}}$ et leurs opposés.	${\displaystyle X^{4}-4X^{2}+2+{\sqrt {2}}}$ est le polynôme minimal sur ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$ des nombres : ${\displaystyle 2\cos {\frac {3\pi }{16}},\quad 2\cos {\frac {5\pi }{16}}}$ et leurs opposés.
${\displaystyle X^{4}-X^{3}{\sqrt {2}}-3X^{2}+3X{\sqrt {2}}-1}$ est le polynôme minimal sur ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$ des nombres : ${\displaystyle 2\cos {\frac {7^{k}\pi }{20}},\quad k=0,1,2,3}$.	${\displaystyle X^{4}-{\sqrt {10}}X^{3}+X^{2}+{\sqrt {10}}X-1}$ est le polynôme minimal sur ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {10}})}$ des nombres : ${\displaystyle 2\cos {\frac {3^{k}\pi }{20}},\quad k=0,1,2,3}$.
${\displaystyle X^{4}-4X^{2}+{\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}}$ est le polynôme minimal sur ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {5}})}$ des nombres : ${\displaystyle 2\cos {\frac {\pi }{20}},\quad 2\cos {\frac {9\pi }{20}}}$ et leurs opposés.	${\displaystyle X^{4}-4X^{2}+{\frac {3+{\sqrt {5}}}{2}}}$ est le polynôme minimal sur ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {5}})}$ des nombres : ${\displaystyle 2\cos {\frac {3\pi }{20}},\quad 2\cos {\frac {7\pi }{20}}}$ et leurs opposés.
${\displaystyle X^{4}-4X^{2}+2-{\sqrt {3}}}$ est le polynôme minimal sur ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {3}})}$ des nombres : ${\displaystyle 2\cos {\frac {\pi }{24}},\quad 2\cos {\frac {11\pi }{24}}}$ et leurs opposés.	${\displaystyle X^{4}-4X^{2}+2+{\sqrt {3}}}$ est le polynôme minimal sur ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {3}})}$ des nombres : ${\displaystyle 2\cos {\frac {5\pi }{24}},\quad 2\cos {\frac {7\pi }{24}}}$ et leurs opposés.
${\displaystyle X^{4}-X^{3}{\sqrt {15}}+4X^{2}-1}$ est le polynôme minimal sur ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {15}})}$ des nombres : ${\displaystyle 2\cos {\frac {7^{k}\pi }{30}},\quad k=0,1,2,3}$.

Nombres de degré 10

${\displaystyle \varphi (n)=20}$ pour ${\displaystyle n=25,33,44,50,66}$.

${\displaystyle X^{5}-5X^{3}+5X-{\frac {\sqrt {5}}{2}}+{\frac {1}{2}}}$ est le polynôme minimal sur ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {5}})}$ des nombres : ${\displaystyle 2\cos {\frac {4^{k}\times 2\pi }{25}},\quad k=0,1,2,3,4}$.	${\displaystyle X^{5}-5X^{3}+5X+{\frac {\sqrt {5}}{2}}+{\frac {1}{2}}}$ est le polynôme minimal sur ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {5}})}$ des nombres : ${\displaystyle 2\cos {\frac {4^{k}\times \pi }{25}},\quad k=1,2,3,4,5}$.
${\displaystyle X^{10}-X^{9}-10X^{8}+10X^{7}+34X^{6}-34X^{5}-43X^{4}+43X^{3}+12X^{2}-12X+1}$ est le polynôme minimal des nombres : ${\displaystyle 2\cos {\frac {5^{k}\times 2\pi }{33}},\quad k=0,1,\dots ,9}$ (à factoriser sur ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {33}})}$) Cette section est vide, pas assez détaillée ou incomplète. Votre aide est la bienvenue !	${\displaystyle X^{5}-X^{4}{\sqrt {11}}+3X^{2}{\sqrt {11}}-11X+{\sqrt {11}}}$ est le polynôme minimal sur ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {11}})}$ des nombres : ${\displaystyle 2\cos {\frac {5^{k}\pi }{22}},\quad k=0,1,2,3,4}$.