Si A = B = 0, alors

${\displaystyle C={\frac {-A{\frac {c}{6}}+B{\frac {b}{4}}}{a}}=0}$

et

${\displaystyle {\begin{cases}c&={\frac {3b^{2}}{8a}}\\d&={\frac {bc}{6a}}={\frac {b^{3}}{16a^{2}}}\end{cases}}}$

donc

${\displaystyle {\begin{aligned}f(X)&=aX^{4}+bX^{3}+{\frac {3b^{2}}{8a}}X^{2}+{\frac {b^{3}}{16a^{2}}}X+e\\&=a\left[\left(X+{\frac {b}{4a}}\right)^{4}-\left({\frac {b}{4a}}\right)^{4}+{\frac {e}{a}}\right].\end{aligned}}}$

Soit β la quatrième racine de f (différente de α dans le premier cas et égale à α dans le second). Alors,

${\displaystyle f(X)=a(X-\alpha )^{3}(X-\beta )=ax^{4}-a(3\alpha +\beta )X^{3}+3a\alpha (\alpha +\beta )X^{2}-a\alpha ^{2}(\alpha +3\beta )X+a\alpha ^{3}\beta }$

donc

${\displaystyle R(X)=9a^{2}(\alpha -\beta )^{2}X^{2}-18a^{2}\alpha (\alpha -\beta )^{2}X+9a^{2}\alpha ^{2}(\alpha -\beta )^{2}=9a^{2}(\alpha -\beta )^{2}(X-\alpha )^{2}}$.

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta _{R}&=36(bc-6ad)^{2}-4\times 3(3b^{2}-8ac)(4c^{2}-9bd)\\&=12(3b^{2}c^{2}-36abcd+108a^{2}d^{2}-12b^{2}c^{2}+32ac^{3}+27b^{3}d-72abcd)\\&=12(-9b^{2}c^{2}-108abcd+108a^{2}d^{2}+32ac^{3}+27b^{3}d)\\&=-3\Delta '\end{aligned}}}$

car

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta '&=(3b)^{2}(2c)^{2}+18(4a)(3b)(2c)d-27(4a)^{2}d^{2}-4(4a)(2c)^{3}-4(3b)^{3}d\\&=4(9b^{2}c^{2}+108abcd-108a^{2}d^{2}-32ac^{3}-27b^{3}d).\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}3(bc-6ad)^{2}+(36ae-c^{2})(3b^{2}-8ac)&=8ac^{3}+108a^{2}d^{2}+108ab^{2}e-36abcd-288a^{2}ce\\&=4a(2c^{3}+27ad^{2}+27b^{2}e-9bcd-72ace)\\&=4a\Psi .\end{aligned}}}$

Par hypothèse, A = 0 et Ψ = 0 donc bB = 4aC et 6dB = 4cC, si bien que

${\displaystyle B^{2}=6(cb-6ad)B=6(4caC-4acC)=0}$

donc B = 0, et C = bB/(4a) = 0.

Par hypothèse, A ≠ 0, B = 0 et Ψ = 0 donc

${\displaystyle c=-{\frac {6aC}{A}},\quad d=-{\frac {bC}{A}},\quad e=-{\frac {cC}{6A}}={\frac {aC^{2}}{A^{2}}}}$,

si bien que

${\displaystyle ad^{2}={\frac {ab^{2}C^{2}}{A^{2}}}=eb^{2}}$.

f n'a pas de racine quadruple, sinon R serait nul.

La suite ${\displaystyle \left(a,{\frac {-b}{4}},{\frac {c}{6}},{\frac {-d}{4}},e\right)}$ obéit à la récurrence linéaire d'ordre 2 de polynôme caractéristique R, donc elle est de la forme ${\displaystyle \lambda \alpha ^{k}-\mu \beta ^{k}}$ si ${\displaystyle \beta \neq \alpha }$, et de la forme ${\displaystyle \lambda \alpha ^{k}+k\mu \alpha ^{k-1}}$ si ${\displaystyle \beta =\alpha }$.

Dans le premier cas,

${\displaystyle {\begin{aligned}f(X)&=(\lambda -\mu )X^{4}-4(\lambda \alpha -\mu \beta )X^{3}+6(\lambda \alpha ^{2}-\mu \beta ^{2})X^{2}-4(\lambda \alpha ^{3}-\mu \beta ^{3})X+\lambda \alpha ^{4}-\mu \beta ^{4}\\&=\lambda (X-\alpha )^{4}-\mu (X-\beta )^{4}\end{aligned}}}$

donc ${\displaystyle \lambda }$ et ${\displaystyle \mu }$ sont non nuls et sont déterminés par ${\displaystyle \lambda -\mu =a}$ et ${\displaystyle \lambda \alpha -\mu \beta =-b/4}$ :

${\displaystyle \lambda ={\frac {b/4+a\beta }{\beta -\alpha }}\quad {\text{et}}\quad \mu ={\frac {b/4+a\alpha }{\beta -\alpha }}}$.

Les racines de f sont alors les solutions de

${\displaystyle \left({\frac {x-\alpha }{x-\beta }}\right)^{4}={\frac {\mu }{\lambda }}}$,

qui sont bien les racines annoncées car

${\displaystyle {\frac {\mu }{\lambda }}={\frac {b+4a\alpha }{b+4a\beta }}}$

et

${\displaystyle {\frac {x-\alpha }{x-\beta }}=\gamma \Leftrightarrow x={\frac {\alpha -\beta \gamma }{1-\gamma }}}$.

Dans le second cas, il suffit de vérifier que α est racine d'ordre au moins 3 de f :

${\displaystyle {\begin{aligned}f(X)&=\lambda X^{4}-4(\lambda \alpha +\mu )X^{3}+6(\lambda \alpha ^{2}+2\mu \alpha )X^{2}-4(\lambda \alpha ^{3}+3\mu \alpha ^{2})X+\lambda \alpha ^{4}+4\mu \alpha ^{3}\\&=(X-\alpha )^{3}(\lambda X-\lambda \alpha -4\mu ).\end{aligned}}}$