Équation du quatrième degré/Méthodes particulières de résolution

Dans cette leçon, nous allons étudier quelques méthodes particulières de résolution des équations du quatrième degré. Nous attirons d'emblée l'attention du lecteur sur le fait que ces méthodes ne marchent que dans des cas très particuliers. L'avantage de ces méthodes sur les méthodes générales que nous verrons dans les chapitres suivants sera qu’elles sont plus simples à utiliser et donnent la plupart du temps les racines sous une forme plus agréable.

Élimination du terme de degré 3

Une technique standard (et préliminaire aux méthodes de Ferrari, Descartes et Lagrange des chapitres suivants) est de commencer par simplifier l'équation de la façon suivante :

Propriété

L'équation générale de degré 4 :

ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0

est équivalente, par le changement de variable

x=z-{\frac {b}{4a}}

,

à une équation sans terme de degré 3 :

z^{4}+pz^{2}+qz+r=0

.

Démonstration

\left(z-{\frac {b}{4a}}\right)^{4}+{\frac {b}{a}}\left(z-{\frac {b}{4a}}\right)^{3}+{\frac {c}{a}}\left(z-{\frac {b}{4a}}\right)^{2}+{\frac {d}{a}}\left(z-{\frac {b}{4a}}\right)+{\frac {e}{a}}

est de la forme $z^{4}+pz^{2}+qz+r$ car le coefficient de $z^{3}$ est $-4{\frac {b}{4a}}+{\frac {b}{a}}=0$ .

Résolution par la recherche d'une racine évidente

Nous commençons par rechercher une racine évidente et une fois celle-ci trouvée, nous nous ramenons, grâce à elle, à la résolution d’une équation du troisième degré.

Recherche d'une racine évidente (12)

Rechercher une racine évidente, c’est essayer de trouver une racine sans utiliser de méthodes sophistiquées. On essaye de remplacer x par des nombres simples jusqu'à ce que l’équation soit vérifiée. Heureusement, cette recherche est facilitée par la propriété suivante :

Propriété

Si l'équation à coefficients entiers :

$ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0$

admet une racine sous forme de fraction irréductible p/q, alors p divise e et q divise a.

Démonstration

En posant $x=p/q$ , on a :

${\frac {ap^{4}}{q^{4}}}+{\frac {bp^{3}}{q^{3}}}+{\frac {cp^{2}}{q^{2}}}+{\frac {dp}{q}}=-e\quad \Leftrightarrow \quad {\frac {ap^{4}+bqp^{3}+cq^{2}p^{2}+dq^{3}p}{q^{4}}}=-e$ $\Leftrightarrow \quad ap^{4}+bqp^{3}+cq^{2}p^{2}+dq^{3}p=-eq^{4}$ .

On obtient alors :

$p(ap^{3}+bqp^{2}+cq^{2}p+dq^{3}p^{2})=-eq^{4}$ .

Du fait que pgcd(p,q) = 1 et par le lemme de gauss (arithmétique) on en déduit :

$p\nmid -q\Rightarrow p\nmid -q^{4}\Rightarrow p\mid e$

De même :

$ap^{4}=q(-bp^{3}-cqp^{2}-dq^{2}p-eq^{3})$ .

$q\nmid p\Rightarrow q\nmid p^{4}\Rightarrow q\mid a$

Par exemple, pour l’équation :

$x^{4}+5x^{3}-x^{2}+x-6=0$ ,

nous essayerons seulement les nombres : 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6, qui sont les diviseurs du terme constant 6.

Pour l’équation :

$2x^{4}-7x^{3}+3x^{2}+13x+6=0$ ,

nous rajouterons, en plus des nombres précédents, les nombres :

${\frac {1}{2}}\qquad {\frac {-1}{2}}\qquad {\frac {3}{2}}\qquad {\frac {-3}{2}}$ .

Factorisation du premier membre (12)

Soit l'équation :

$ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0$ .

Supposons que l’on ait réussi à lui trouver une racine simple sous la forme :

$x={\frac {p}{q}}$ .

On peut alors utiliser le théorème suivant :

Théorème

Si l’équation :

$ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0$

admet une racine sous la forme :

$x={\frac {p}{q}}$

elle peut alors se factoriser sous la forme :

$(qx-p)Q(x)=0$

avec $Q(x)$ polynôme du troisième degré.

Démonstration

Posons :

$P(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0$ .

Effectuons la division euclidienne de P(x) par qx - p. Il existe un unique polynôme Q(x) et un unique polynôme R(x) tel que :

$P(x)=(qx-p)Q(x)+R(x)$

avec :

$\deg \left(R(x)\right)<\deg(qx-p)=1$ .

On en déduit que le degré de R(x) est 0 et par conséquent R(x) est une constante r.

On aura donc :

$P(x)=(qx-p)Q(x)+r$ .

Calculons la constante r. Pour cela, remplaçons x par p/q.

$P\left({\frac {p}{q}}\right)=(q\times {\frac {p}{q}}-p)Q(x)+r$ ,

soit :

$0=0+r$ .

On obtient donc :

$P(x)=(qx-p)Q(x)$ .

L'équation :

$ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0$

Se factorise donc sous la forme :

$(qx-p)Q(x)=0$ .

De plus, de la relation :

$P(x)=(qx-p)Q(x)$

on déduit :

$\deg \left(P(x)\right)=\deg(qx-p)+\deg \left(Q(x)\right)$

et donc :

$\deg \left(Q(x)\right)=\deg \left(P(x)\right)-\deg(qx-p)=4-1=3$ .

Il ne nous reste plus qu’à résoudre l'équation :

$Q(x)=0$

qui est du troisième degré pour trouver les trois racines manquantes.

On aura ainsi complètement résolu une équation du quatrième degré.

Équation bicarrée

Définition

L'équation du quatrième degré :

ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0

est dite bicarrée si :

b=0

et

d=0

.

L'usage veut qu'on la note plus simplement :

ax^{4}+bx^{2}+c=0

.

Les équations bicarrées :

ax^{4}+bx^{2}+c=0

se résolvent simplement en posant : $X=x^{2}$ .

Nous voyons qu’elles s'écrivent alors :

aX^{2}+bX+c=0

et nous nous sommes simplement ramenés à la résolution d'une équation de second degré.

Théorème

Par le changement de variable :

x=z-{\frac {b}{4a}}

,

l'équation du quatrième degré :

ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0

se ramène à une équation bicarrée si et seulement si :

b^{3}-4abc+8a^{2}d=0

.

Démonstration

Notons $\sigma _{i}$ les polynômes symétriques élémentaires en les $x_{i}$ et $\sigma '_{i}$ ceux en les $z_{i}:=x_{i}+k$ avec $k=-{\frac {\sigma _{1}}{4}}$ (donc $\sigma '_{1}=0$ ). Alors,

{\begin{aligned}\sigma '_{3}&=(x_{1}+k)(x_{2}+k)(x_{3}+k)+(x_{1}+k)(x_{2}+k)(x_{4}+k)+(x_{1}+k)(x_{3}+k)(x_{4}+k)+(x_{2}+k)(x_{3}+k)(x_{4}+k)\\&=\sigma _{3}+2k\sigma _{2}+3k^{2}\sigma _{1}+4k^{3}\\&=\sigma _{3}-{\frac {\sigma _{1}}{2}}\sigma _{2}+{\frac {\sigma _{1}^{3}}{8}}\\&=-{\frac {1}{8a^{3}}}\left(8a^{2}d-4abc+b^{3}\right)\end{aligned}}

donc la nouvelle équation est bicarrée si et seulement si

b^{3}-4abc+8a^{2}d=0

.

Équations réciproques du quatrième degré

Équations symétriques

Elles sont de la forme :

$ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+bx+a=0$ .

En divisant tous les termes par x², on obtient :

$ax^{2}+bx+c+{\frac {b}{x}}+{\frac {a}{x^{2}}}=0$

que l’on peut écrire :

$a\left(x^{2}+{\frac {1}{x^{2}}}\right)+b\left(x+{\frac {1}{x}}\right)+c=0$ .

Posons alors :

$z=x+{\frac {1}{x}}$ .

On a alors :

$x^{2}+{\frac {1}{x^{2}}}=x^{2}+2x{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{x^{2}}}-2=\left(x+{\frac {1}{x}}\right)^{2}-2=z^{2}-2$ .

L'équation devient alors :

$a\left(z^{2}-2\right)+bz+c=0$

c'est-à-dire :

$az^{2}+bz+c-2a=0$

et nous nous sommes ramenés à une équation du second degré qui nous donnera deux valeurs pour z. En portant respectivement ces deux valeurs de z dans :

$z=x+{\frac {1}{x}}$ ,

nous obtiendrons deux équations du second degré de la forme :

$x^{2}-zx+1=0$ ,

chacune des deux équations nous donnant deux valeurs de x, soit en tout quatre valeurs de x, qui sont les solutions de l'équation que l’on avait à résoudre initialement.

Équations antisymétriques

Elles sont de la forme :

$ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}-bx+a=0$ .

En divisant tous les termes par x², on obtient :

$ax^{2}+bx+c-{\frac {b}{x}}+{\frac {a}{x^{2}}}=0$

que l’on peut écrire :

$a\left(x^{2}+{\frac {1}{x^{2}}}\right)+b\left(x-{\frac {1}{x}}\right)+c=0$ .

Posons alors :

$z=x-{\frac {1}{x}}$ .

On a alors :

$x^{2}+{\frac {1}{x^{2}}}=x^{2}-2x{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{x^{2}}}+2=\left(x-{\frac {1}{x}}\right)^{2}+2=z^{2}+2$ .

L'équation devient alors :

$a\left(z^{2}+2\right)+bz+c=0$ ,

c'est-à-dire :

$az^{2}+bz+c+2a=0$

et nous nous sommes ramenés à une équation du second degré qui nous donnera deux valeurs pour z. En portant respectivement ces deux valeurs de z dans :

$z=x-{\frac {1}{x}}$ ,

nous obtiendrons deux équations du second degré de la forme :

$x^{2}-zx-1=0$ ,

chacune des deux équations nous donnant deux valeurs de x, soit en tout quatre valeurs de x, qui sont les solutions de l'équation que l’on avait à résoudre initialement.

Équations quasisymétriques

Elles généralisent les deux cas précédents et répondent à la définition suivante :

Définition

L'équation du quatrième degré :

$ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0$

est dite quasisymétrique (ou plus simplement réciproque) si elle vérifie la condition :

$a.d^{2}=e.b^{2}$

avec b non nul.

En posant $k={\frac {d}{b}}$ , ces équations peuvent s'écrire :

ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+kbx+k^{2}a=0

.

En divisant tous les termes par x², on obtient :

ax^{2}+bx+c+b{\frac {k}{x}}+a{\frac {k^{2}}{x^{2}}}=0

que l’on peut écrire :

a\left(x^{2}+{\frac {k^{2}}{x^{2}}}\right)+b\left(x+{\frac {k}{x}}\right)+c=0

.

Posons alors :

z=x+{\frac {k}{x}}

.

On a alors :

x^{2}+{\frac {k^{2}}{x^{2}}}=x^{2}+2x{\frac {k}{x}}+{\frac {k^{2}}{x^{2}}}-2k=\left(x+{\frac {k}{x}}\right)^{2}-2k=z^{2}-2k

.

L'équation devient alors :

a\left(z^{2}-2k\right)+bz+c=0

,

c'est-à-dire :

az^{2}+bz+c-2k=0

,

et nous sommes ramenés à une équation du second degré qui nous donnera deux valeurs pour $z$ . En portant respectivement ces deux valeurs de $z$ dans :

z=x+{\frac {k}{x}}

,

nous obtiendrons deux équations du second degré de la forme :

x^{2}-zx+k=0

,

chacune des deux équations nous donnant deux valeurs de $x$ , soit en tout quatre valeurs de $x$ , qui sont les solutions de l'équation que l’on avait à résoudre initialement.

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