Recherche:Décomposition en poids × niveau + saut

Décomposition en poids × niveau + saut

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arXiv:0711.0865 [math.NT]: Decomposition into weight * level + jump and application to a new classification of primes, 2007 - 2010, Rémi Eismann.

Principes

Principe de décomposition : on choisit le plus petit poids tel que dans la division euclidienne d'un nombre par son poids, le reste est le saut (première différence, écart). Le quotient sera le niveau.

Principes de classification: si le nombre n'est pas décomposable, il n'est pas classé. Si le poids est plus grand que le niveau alors le nombre est classé par niveau, sinon il est classé par poids.

Définitions

Soit ${\{a(n)\}}_{n=i_{\min }}^{\infty }$ , une suite strictement croissante d'entiers positifs.

Saut

Le saut (première différence, écart) de $a(n)$ est défini par

d(n):=a(n+1)-a(n).\,

l(n)

l(n) est défini par

l(n):={\begin{cases}a(n)-d(n)&{\text{si }}a(n)-d(n)>d(n),\\0{\rm {~sinon}}.\end{cases}}\,

Définition alternative avec la fonction mod

l(n):={\rm {plus~grand~}}l{\rm {~tel~que~}}a(n+1)=a(n)+a(n){\rm {~}}mod{\rm {~}}l,{\rm {~ou~}}0{\rm {~si~un~tel~}}l{\rm {~n'existe~pas.~}}

Poids

Le poids de $a(n)$ est défini par

k(n):={\begin{cases}{\rm {plus~petit~}}k>d(n){~t.q.~}k|l(n),\\0{\rm {~si~}}l(n)=0.\end{cases}}\,

Définition alternative avec la fonction mod

k(n):={\rm {plus~petit~}}k{\rm {~tel~que~}}a(n+1)=a(n)+a(n){\rm {~}}mod{\rm {~}}k,{\rm {~ou~}}0{\rm {~si~un~tel~}}k{\rm {~n'existe~pas.~}}

Niveau

Le niveau de $a(n)$ est défini par

L(n):={\begin{cases}{\frac {l(n)}{k(n)}}&{\text{si }}k(n)>0,\\0&{\text{si }}k(n)=0.\end{cases}}\,

Critère de décomposition

Un nombre $a(n)$ d'une suite strictement croissante d'entiers positifs, ${\{a(n)\}}_{n=i_{\min }}^{\infty }$ peut être décomposé en poids × niveau + saut quand $l(n)$ est différent de 0 ce qui peut être réécrit en :

a(n)-d(n)>d(n),\,

ou

d(n)<{\frac {1}{2}}\times a(n),\,

ou

a(n+1)<{\frac {3}{2}}\times a(n)\,

Une décomposition unique

Le poids $k(n)$ est le plus petit tel que dans la division euclidienne de $a(n)$ par son poids $k(n)$ , le quotient est le niveau $L(n)$ , et le reste est le saut $d(n)$ . Nous avons donc la décomposition unique

a(n)=k(n)\times L(n)+d(n)={\rm {poids}}\times {\rm {niveau}}+{\rm {saut}}\,

Principes de classification

Si pour $a(n)$ ,

l(n)=k(n)=L(n)=0\,

alors $a(n)$ n'est pas classé.

Si pour $a(n)$ ,

k(n)>L(n)\,

alors $a(n)$ est classé par niveau, sinon il est classé par poids.

Algorithmes

Algorithme naïf (PARI/GP):


decompnaive(n,n1)={
	/*strictly increasing*/
	if(n>=n1,print("n1 must be greater than n");return);
	/*jump*/
	d=n1-n;
	/*l=n-d if n>2*d else the number is not decomposable*/
	if(n>2*d,l=n-d,print(d, ", 0, 0");return);
	/*we look for the weight to jump+1 until l*/
	for(k=d+1,l,if(n%k==d,print(n," = ",k," * ",l/k," + ",d);return));
}

Algorithme "newSieve":


decompsieve(n,n1)={
	/*strictly increasing*/
	if(n>=n1,print("n1 must be greater than n");return);
	/*jump*/
	d=n1-n;
	/*l=n-d if n>2*d else the number is not decomposable*/
	if(n>2*d,l=n-d,print(d, ", 0, 0");return);
	/*we look for the weight to jump+1 until sqrt(l)*/
	for(k=d+1,sqrt(l),if(n%k==d,print(n," = ",k," * ",l/k," + ",d);return));
	/*we look for the level to jump until 1 (--)*/
	forstep(le=d,1,-1,if(n%floor(l/le)==d,print(n," = ",l/le," * ",le," + ",d);return));
}

L'algorithmes "newSieve" est le plus rapide pour les nombres classés par niveaux.

Remarques générales

La suite avec la plus grande croissance qui peut être décomposée est A003312.

A travers cette page, le saut est la première différence mais on peut prendre la seconde, la troisième... Voir A133346 et A133347 pour les nombres premiers.

Décomposition des entiers naturel et le théorème fondamental de l'arithmétique

Si la décomposition est possible (si $n>2$ ), on a :

A000027(n) = A020639(n-1) × A032742(n-1) + 1 (l(n) = A000027(n-1))

Le poids est le plus petit facteur premier de $n-1$ et le niveau est le plus grand diviseur propre de $n-1$ . Les entiers naturel classé par poids sont les composés + 1 et les entiers naturels classés par niveau sont les premiers +1. Comme le saut est constant la décomposition des entiers naturels peut se résumer à la décomposition de $l(n)$ en poids × niveau. Et en décomposant successivement les niveaux on retombe sur la décomposition unique en facteurs premiers du théorème fondamental de l'arithmétique.

Graphe de log(A020639) vs log(A032742) pour n ≤ 10^4, (graphe sur OEIS):

Décomposition des nombres premiers

$p(1)=2$ , $p(2)=3$ et $p(4)=7$ sont les seuls nombres premiers non décomposables^[1]. Execpté pour $p(1)=2$ , $p(2)=3$ et $p(4)=7$ , la décomposition en poids × niveau + saut des nombres premiers est :

A000040(n) = A117078(n) × A117563(n) + A001223(n) (l(n) = A118534(n)).

Graphe de log(A117078) vs log(A117563) pour n ≤ 10^4 (graphe sur OEIS):

Une classification des nombres premiers connectée à l'OEIS

Nombres premiers de niveau (1;i)

Principe de classification pour les nombres premiers de niveau 1:

Si pour

p(n)

,

l(n)

est un premier dit

p(n-i)

alors

p(n)

est de niveau (1;i).

Les nombres premiers de niveau (1;1) sont les balanced primes: (A006562);
Les nombres premiers de niveau (1;2): A117876;
Les nombres premiers de niveau (1;3): A118467;
...

Relations directes

Pour $p(n)$ différent de 2, 3 and 7, on a:

$l(n)=p(n)-g(n)=2\times p(n)-p(n+1)=k(n)\times L(n),\,$

$p(n)=l(n)+g(n)=k(n)\times L(n)+g(n),\,$

${\text{pgcd}}(g(n),2)=2,\,$

${\text{pgcd}}(p(n),g(n))={\text{pgcd}}(p(n)-g(n),g(n))={\text{pgcd}}(l(n),g(n))={\text{pgcd}}(L(n),g(n))={\text{pgcd}}(k(n),g(n))=1,\,$

$3\leq k(n)\leq l(n),\,$

$1\leq L(n)\leq l(n)/3,\,$

$2\leq g(n)\leq k(n)-1,\,$

$2\times g(n)+1\leq p(n).\,$

Nombres premiers classés par poids

Pour les nombres premiers classés par poids (Cf. A162175) (premiers pour lesquels $k(n)\leq L(n)$ ), on a:

$g(n)+1\leq k(n)\leq {\sqrt {l(n)}}\leq L(n)\leq {\frac {l(n)}{3}}.\,$

82,89 % des nombres premiers $p(n)$ sont classés par poids pour $n\leq 5\cdot 10^{7}$ .

On peut voir que par définition les nombres premiers classés par poids suivent la conjecture de Legendre et la conjecture d'Andrica.

Nombres premiers classés par niveau

Pour les nombres premiers classés par niveau (Cf. A162174) (premiers pour lesquels $k(n)>L(n)$ ), on a:

$L(n)<{\sqrt {l(n)}}<k(n)\leq l(n),\,$

$L(n)+2\leq g(n)+1\leq k(n)\leq l(n).\,$

17,11 % des nombres premiers $p(n)$ sont classés par niveau pour $n\leq 5\cdot 10^{7}$ .

Sachant que les nombres premiers se raréfient parmi les entiers naturels et d'après les données numériques, nous faisons la conjecture suivante:

Conjecture 9: Les premiers classés par niveau se raréfient parmi les nombres premiers.

Plus petit des nombres premiers jumeaux

Si $p(n)$ est un plus petit nombre premier jumeau plus grand que $3$ alors $p(n)$ a un poids de $3$ . Si $p(n)$ a un poids de $3$ alors $p(n)$ est un plus petit nombre premier jumeau $>3$ ^[1]. (voir A001359)

Conjectures

La célèbre conjecture sur l’existence d'une infinité de nombres premiers jumeaux peut être reformulée en :

Conjecture 1: Le nombre de premiers avec un poids de 3 est infini.

Pour étendre cette conjecture, nous faisons les deux conjectures suivantes :

Conjecture 2: Le nombre de premiers avec un poids de $k$ est infini pour tout $k\geq 3$ impair;

Conjecture 3: Le nombre de premiers avec un niveau de $L$ est infini pour tout $L\geq 1$ impair.

Conjecture 4: Excepté pour p(6) = 13, p(11) = 31, p(30) = 113, p(32) = 131 et p(154) = 887, les premiers classés par niveau on un poids qui est lui-même premier.

La conjecture sur l’existence d'une infinité de "balanced primes" peut être reformulée en :

Conjecture 5: Le nombres de premiers de niveau(1,1) est infini.

Qui peut être facilement généralisée en :

Conjecture 6: Le nombres de premiers de niveau(1,i) est infini pour tout $i\geq 1$ .

Sachant que les nombres premiers se raréfient parmi les entiers naturels et suivant les données numériques, nous faisons la conjecture suivante:

Conjecture 9: Les premiers classés par niveau se raréfient parmi les nombres premiers.