Cardinal quantitatif

Travaux de recherche en mathématiques

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Notion, en rapport avec la théorie des ensembles et des infinis mathématiques, et notion, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble et en particulier, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble infini.

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Guillaume FOUCART 612BRJMDLO5XLHC

https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/mes-mathematiques-et-cardinal-quantitatif-8-200/
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https://www.fichier-pdf.fr/2019/02/01/formulairegeometriedifferentielle-10/
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Frappes philosophiques et sociétales 3.0/Mes mathématiques et Cardinal quantitatif

Soit $n\in \mathbb {N} ^{*}$ .

Cardinal quantitatif sur ${\mathbb {R} }^{n}$ et sur ${\mathbb {R} ''}^{n}$

Introduction

J'utiliserai une terminologie personnelle, en renommant parfois autrement certaines notions existantes.

En particulier, je désignerai par :

PV (comme « petite variété ») les sous-variétés compactes, convexes, (connexes) de $\mathbb {R} ^{n}$ , de classe ( $C^{0}$ ) et ( $C^{1}$ par morceaux),

et on posera :

${PV}(\mathbb {R} ^{n})=\{A\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})\,\,{\Big |}\,\,A\,\,sous{\mbox{-}}vari{\acute {e}}t{\acute {e}}\,\,compacte,\,\,convexe,\,\,(connexe)\,\,de\,\,\mathbb {R} ^{n},\,\,de\,\,classe\,\,(C^{0})\,\,et\,\,(C^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}$

$=\{A\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})\,\,|A\,\,PV\}$ ;

La notion de "cardinal quantitatif" (CQ) est la notion optimale ou la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, qui est une notion au moins définie et construite sur ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$ . C'est une mesure définie sur ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$ , qui ne néglige aucun point et pour laquelle le nombre ou la quantité d'éléments d'un singleton vaut $1$ et qui s'exprime en fonction des mesures de Lebesgue généralisées ou de Hausdorff, de dimension $i\,\,(0\leq i\leq n)$ , sur $\mathbb {R} ^{n}$ . C'est une notion qui conserve le caractère intuitif que l'on a déjà de la notion de cardinal (de Cantor) dans le cas des ensembles finis, dans le cas des ensembles infinis (en tout cas, au moins dans le cas des ensembles infinis de ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$ ) c-à-d qui vérifie le principe du tout et de la partie : "Le tout est nécessairement strictement plus grand que chacune de ses sous-parties strictes". C'est une notion pour laquelle je cherche à aller plus loin. Par opposition à la notion de cardinal de Cantor c-à-d la notion usuelle de cardinal (Autre lien 1 et Autre lien 2), que j'appelle "cardinal équipotentiel", et qui est définie pour toutes les parties de $\mathbb {R} ^{n}$ et qui est la notion optimale de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles finis, mais qui est un ordre de grandeur du nombre ou de la quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles infinis et qui ne vérifie pas le principe du tout et de la partie. Donc la notion de "cardinal quantitatif" se veut être une notion plus fine que celle de "cardinal équipotentiel" c-à-d que celle de cardinal (de Cantor). Les notions de CQ et de "cardinal équipotentiel" se confondent, dans le cas des parties finies.

Cette notion est définie sur ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$ . Le problème se pose, en dehors de $PV(\mathbb {R} ^{n})$ , car je me suis permis quelques audaces avec les "plafonnements à l'infini" [Cf. définition dans mes travaux], notamment afin d'éviter les contradictions, quitte à faire certaines concessions. Peut-être qu'on peut généraliser "ma" théorie, à toutes les parties bornées et aux parties non bornées de $\mathbb {R} ^{n}$ .

Si l'on veut inclure le cas des parties non bornées de $\mathbb {R} ^{n}$ c-à-d si l'on veut étendre cette notion à des classes de sous-ensembles non bornés de $\mathbb {R} ^{n}$ (sous réserve de compatibilité des axiomes de définition et de non-contradiction), on doit abandonner l'axiome de la $\sigma$ -additivité, du moins avec la théorie classique, mais on peut le récupérer, avec une théorie non classique (avec des changements minimes par rapport à la théorie classique) et considérer que la notion de CQ, dans le cas des parties non bornées n'est plus une notion universelle, mais une notion relative au repère orthonormé direct de $\mathbb {R} ^{n}$ , et au plafonnement sphérique ou autre, à l'infini, associé, que l'on s'est fixé.

Entre autre, j'essaie d'étendre et de généraliser cette notion aux parties de ${PV2}(\mathbb {R} ^{n})$ , voire à celles de ${PV2}({\mathbb {R} ''}^{n})$ [Cf. définitions dans mes travaux], quitte à tenter d'introduire et de définir le nouvel espace ${\mathbb {R} ''}$ , qui me semble, vu de très loin, avoir des points communs avec l'espace $*\mathbb {R}$ de l'analyse non standard. Dans une section, j'ai essayé de définir des nombres $+\infty _{f}$ où $f\in {\cal {F}}(\mathbb {R} )$ , en utilisant une relation d'équivalence et une relation d'ordre totale, et une fois cette définition donnée, on peut alors définir l'ensemble $\mathbb {R} ''$ par : $\displaystyle {\mathbb {R} ''=-\infty _{{\cal {F}}(\mathbb {R} )}\bigcup \mathbb {R} \bigcup +\infty _{{\cal {F}}(\mathbb {R} )}=\{-\infty _{f}|f\in {\cal {F}}(\mathbb {R} )\}\bigcup \mathbb {R} \bigcup \{+\infty _{f}|f\in {\cal {F}}(\mathbb {R} )\}}$ .

NB : Je ne suis pas un de ces farfelus qui postent en pensant avoir résolu en quelque pages des conjectures célèbres qui résistent depuis longtemps : Le problème que je souhaite résoudre ou faire progresser est plus raisonnable et est moins connu, même s'il revient, ni plus ni moins, à faire "péter" de la quantité infinie, encore plus fou, plus fort et plus finement, que Cantor.

La notion de cardinal quantitatif (ou au sens de la quantité), est une notion qui existe, mais (trompeusement) sous d'autres appellations et qui est bel et bien, et parfaitement, définie de manière générale, dans la littérature, du moins, sur une classe de parties bornées de $\mathbb {R} ^{n}$ (Cf. interventions de Michel COSTE), mais qui y est très peu présente :

Il reste à la généraliser à des classes de parties, de plus en plus larges.

La notion de cardinal (de Cantor) est valable pour toutes les parties de $\mathbb {R} ^{n}$ , alors que concernant la notion de cardinal quantitatif, on ne sait pas, pour le moment, aller au delà des parties de ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$ , mais il fallait le dire avant de dire qu'une telle généralisation était impossible, au delà des parties finies.

Voici cette notion présentée par Michel COSTE qui n'aime pas trop l'appellation "cardinal" : (voir supra)

(Historiquement, avant Cantor, la notion de "cardinal" désignait la véritable notion de quantité d'éléments d'un ensemble. Depuis Cantor, cela n'est plus vrai, il désigne l'équipotence. Alors trouvant la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble, plus importante, plus fondamentale et plus fine, que la notion d'équipotence, c'est celle à qui on devrait et à qui on doit attribuer le qualificatif de "cardinal". Mais comme ce mot était déjà utilisé mais maladroitement, j'ai dû inventer les terminologies "cardinal quantitatif" et "cardinal équipotentiel", pour les distinguer.)

Voici des extraits du livre de Berger2 intitulé "Cedic-Nathan (vol 3): (voir supra)

Quant à l'extrait de livre de Jean Dieudonné : (voir supra)

Je pense que les notions de quantité d'éléments et d'équipotence, doivent être distinguées :

Car, par exemple, on a bien $[-1,1]\subsetneq [-2,2]$ et $[-1,1]$ peut être mis en bijection avec $[-2,2]$ .

La notion de cardinal quantitatif (ou au sens de la quantité), présentée par Michel COSTE, concerne la classe de parties de $\mathbb {R} ^{n}$ , ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$ .

Je pense qu'on peut comparer, entre eux, les cardinaux quantitatif (ou au sens de la quantité) de parties bornées quelconques de $\mathbb {R} ^{n}$ , ayant une décomposition en un nombre fini de sous-variétés ouvertes, bornées, simplement connexes et/ou (?) connexes, de classe $C^{0}$ , et de dimension $i\,\,(1\leq i\leq n)$ , ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons ;

Décomposition d'une partie bornée de $\mathbb {R} ^{2}$ (voir infra)

Exemples 2 ("Suite 1 CQ de parties de $\mathbb {R} ^{n}$ (26)") (voir infra)

Remarque : J'ai dit plus haut qu'on savait comparer, entre eux, les cardinaux quantitatif (ou au sens de la quantité), des parties bornées de $\mathbb {R} ^{n}$ , ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés comme détaillé ci-dessus (en particulier en un nombre fini de variétés, compactes, convexes, connexes) :

Mais je pense qu'en fait, il doit être possible de comparer, entre eux, ceux des parties bornées quelconques et même ceux de parties non bornées quelconques de ${\mathbb {R} ''}^{n}$ (respectivement de $\mathbb {R} ^{n}$ ), ayant une décomposition analogue en remplaçant « fini » par « au plus dénombrable ».

En effet, une fois qu'on s'est occupé de l'adhérence ou de l'intérieur d'une partie, on s'occupe ensuite de l'adhérence sans la partie, ou de la partie sans l'intérieur, et on refait la même chose, avec ces dernières.

Les mesures de Lebesgue généralisées ou de Hausdorff de dimension $i$ dans $\mathbb {R} ^{n}$ , ${vol}^{i}$

(Le cas $i=0$ étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document "Théorie de la mesure/Cf. Mesures de Hausdorff"

https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~demange/integration/2013/poly_integration_mai2013.pdf

Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/ III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de Hausdorff

Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de Lebesgue et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de Lebesgue/II.1 Mesures de Hausdorff/Définition 5

Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de Lebesgue et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de Lebesgue/II.3 Définition alternative de la mesure de Lebesgue/Théorème 3

Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de Lebesgue et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de Lebesgue/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de $\mathbb {R} ^{d}$ /Définition 7

Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires

Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées

Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées),

sont telles que si $i\in \mathbb {N} _{n}^{*}$ , elles négligent chacune, respectivement, des points isolés, respectivement, des points isolés et des points de courbes, respectivement, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces, respectivement, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension $3$ , …, respectivement, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension $3$ , …, et des points d'espaces de dimension $n-1$ .

La "mesure" cardinal quantitatif, qui ne veut négliger aucun point, se doit de composer avec toutes les "mesures" de Lebesgue généralisées ou de Hausdorff, de dimension $i\,\,(0\leq i\leq n)$ , dans $\mathbb {R} ^{n}$ , ${\widetilde {vol^{i}}}$ , la mesure de comptage pouvant être considérée comme la "mesure" de Lebesgue généralisée ou la mesure de Hausdorff de dimension $0$ , ${\widetilde {vol^{0}}}$ .

Les suites d'inégalités données, juste après, dans la suite, ne sont pas si techniques que ça et sont là pour illustrer mon propos et pour que l'on voit quelles sont les différences fondamentales entre le cardinal équipotentiel " ${card}_{E}$ " ou " ${card}$ ", qui est la notion usuelle de cardinal et qui est en rapport direct avec la notion de bijection, et le cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé ${\mathcal {R}}$ de $\mathbb {R} ^{2}$ , " ${card}_{Q,{\mathcal {R}}}$ ", sachant que la référence à un repère orthonormé ${\mathcal {R}}$ , n'est utile que pour les parties non bornées de $\mathbb {R} ^{2}$ (ou de $\mathbb {R} ^{n}$ , de manière générale), et que dans le cas des parties bornées de $\mathbb {R} ^{2}$ (ou de $\mathbb {R} ^{n}$ , de manière générale), on peut noter le cardinal quantitatif : " ${card}_{Q}$ ".

Soit ${\cal {R}}$ un repère orthonormé de $\mathbb {R} ^{2}$ , d'origine $O$ .

Nous désignons le CQ d'une partie $A$ de $\mathbb {R} ^{2}$ par $card_{Q,{\cal {R}}}(A)$ et son cardinal équipotentiel" par $card_{E}(A)$ .

On a :

$card_{Q,{\cal {R}}}(\{O\}\times \mathbb {N} _{n})<card_{Q,{\cal {R}}}(\{O\}\times 3\mathbb {N} )$

$<card_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}\{O\}\times (3\mathbb {N} \bigcup \{1,2\}){\Big )}<card_{Q,{\cal {R}}}(\{O\}\times \mathbb {N} )<card_{Q,{\cal {R}}}(\{O\}\times \mathbb {Z} )<card_{Q,{\cal {R}}}(\{O\}\times \mathbb {Q} )$

$<card_{Q,{\cal {R}}}(\{O\}\times ]-1,1[)<{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{O\}\times [-1,1])<{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{O\}\times [-2,2])$

$=card_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}\{O\}\times ([-2,2]+1){\Big )}<card_{Q,{\cal {R}}}{\bigg (}\{O\}\times {\Big (}([-2,2]+1)\bigcup \{4\}{\Big )}{\bigg )}<card_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}\{O\}\times (\mathbb {R} \setminus [-2,2]){\Big )}$

$<{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}\{O\}\times (\mathbb {R} \setminus [-1,1]){\Big )}<card_{Q,{\cal {R}}}(\{O\}\times \mathbb {R} ^{*})<card_{Q,{\cal {R}}}(\{O\}\times \mathbb {R} )$

$<{card}_{Q,{\cal {R}}}([-1,1]\times [-1,1])<{card}_{Q,{\cal {R}}}([-2,2]\times [-2,2])<{card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {R} ^{2})$

alors que :

${card}_{E}(\{O\}\times \mathbb {N} _{n})<{card}_{E}(\{O\}\times 3\mathbb {N} )$

$={card}_{E}{\Big (}\{O\}\times (3\mathbb {N} \bigcup \{1,2\}){\Big )}={card}_{E}(\{O\}\times \mathbb {N} )={card}_{E}(\{O\}\times \mathbb {Z} )={card}_{E}(\{O\}\times \mathbb {Q} )$

$<{card}_{E}(\{O\}\times ]-1,1[)={card}_{E}(\{O\}\times [-1,1])={card}_{E}(\{O\}\times [-2,2])$

$=card_{E}{\Big (}\{O\}\times ([-2,2]+1){\Big )}=card_{E}{\bigg (}\{O\}\times {\Big (}([-2,2]+1)\bigcup \{4\}{\Big )}{\bigg )}={card}_{E}{\Big (}\{O\}\times (\mathbb {R} \setminus [-2,2]){\Big )}$

$={card}_{E}{\Big (}\{O\}\times (\mathbb {R} \setminus [-1,1]){\Big )}={card}_{E}(\{O\}\times \mathbb {R} ^{*})={card}_{E}(\{O\}\times \mathbb {R} )$

$={card}_{E}([-1,1]\times [-1,1])={card}_{E}([-2,2]\times [-2,2])=card_{E}(\mathbb {R} ^{2})$

Applications :

1) Imaginons 2 disques durs cubiques compacts, dont l'un est plus gros que l'autre, et où l'on peut stocker une donnée, en chaque point, alors le plus gros disque dur cubique, aura une plus grande capacité de stockage que l'autre disque (quantité), et non pas une capacité égale, à celle de l'autre disque (équipotence).

2) Dans une bouteille de $2L$ , on stocke plus de matière continue, que dans une bouteille d' $1L$ .

Je viens de donner la raison d'être et l'utilité de la notion de cardinal, au sens de la quantité.

On ne fait pas toujours des mathématiques, en vue d'applications pratiques ou concrètes.

Pourtant à qui lui veut des applications :

La notion de quantité de matière discrète, ou de matière continue, parle d'elle-même.

Supposons qu'un univers soit fait d'un mélange de matière continue et de matière discrète :

Le cardinal quantitatif (ou au sens de la quantité), mesure la quantité de matière continue et de matière discrète.

La notion de matière continue, n'existe certes pas dans notre univers, mais on peut la concevoir mathématiquement et c'est une bonne approximation de la matière discrète, à l'échelle macroscopique, en physique.

La notion de quantité est plus fine que celle d'équipotence, qui donne, seulement, un ordre de grandeur de la première.

Il reste un certain nombre de généralisations, permettant de comparer les cardinaux quantitatifs (ou au sens de la quantité), de n'importe quelle partie, entre eux : Tout l'intérêt et tout l'enjeu de cette définition, est là.

Restera à généraliser cette notion aux parties de ${\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})$ , ${\mathcal {P}}{\Big (}{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n}){\Big )}$ , etc., et à des classes de parties, les plus larges possibles, où on peut encore lui donner un sens, même affaibli.

La notion de "volume" ou de "mesure" de Lebesgue généralisée ou de Hausdorff de dimension $i\,\,(0\leq i\leq n)$ sur $\mathbb {R} ^{n}$ , le fait que $\mathbb {R} ^{n}$ soit un espace vectoriel topologique (éventuellement normé), le fait que $\mathbb {R}$ soit totalement ordonné, semblent essentiels, pour définir la notion de cardinal, au sens de la quantité sur $\mathbb {R} ^{n}$ :

Comment généraliser ces notions, ou trouver des notions affaiblies, qui marchent, aussi, dans d'autres espaces, par exemple sur des espaces qui ne dépendent que des ${(\mathbb {R} ^{i})}_{i\in \mathbb {N} _{n}}$ ?

Liens

N'oubliez pas de consulter : http://www.philo-et-societe-2-0.com/

REMARQUE : On pourra d'abord lire les PDF de Michel COSTE, qui sont des articles informels de vulgarisation, beaucoup moins ambitieux :

L'hébergeur de PDF gratuit utilisé ci-dessous émet des publicités intempestives voire agressives.

http://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-4/ La saga du "cardinal" version 4
http://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-3/ La saga du "cardinal" version 3
http://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-2/ La saga du "cardinal" version 2
http://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf/ La saga du "cardinal" version 1.

En plus des dangers de l'hébergeur PDF (cf. supra), les scans de pages de livres constituent une violation du copyright.

Voici des extraits du livre de Berger2 intitulé "Cedic-Nathan (vol 3): Convexes et polytopes, polyèdres réguliers, aires et volumes" :

Quant à l'extrait de livre suivant, d'après Michel COSTE, il provient de Jean Dieudonné :

http://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/dieuquarto/

Voici des liens Wikipedia :

Voici des liens intéressants en français :

https://www.math.u-psud.fr/~thomine/divers/JourneesLouisAntoine2012.pdf Valuations et théorème d’Hadwiger
https://webusers.imj-prg.fr/~bernard.teissier/documents/articulos-Teissier/LMABordeaux.final.pdf Volumes des corps convexes; géométrie et algèbre; Bernard TEISSIER

Voici un lien intéressant en anglais (du moins le début, en ce qui me concerne) :

http://www.utgjiu.ro/math/sma/v03/p07.pdf

La notion de CQ sur $\mathbb {R} ^{n}$ est une notion relative au repère orthonormé dans lequel on se place.

Remarques secondaires

NB : Michel COSTE, qui tient à sa réputation, est uniquement responsable de ses propres propos dans les PDF dont il est l'auteur c'est-à-dire, ici, dans les documents intitulés "La saga du "cardinal"" versions 1-2-3-4, qui sont des articles informels de vulgarisation.

Avant d'envisager la formule du CQ concernant les parties bornées de $\mathbb {R} ''^{n}$ , il faut d'abord l'envisager concernant les parties bornées de $\mathbb {R} ^{n}$ , et même seulement les PV.

Comme dit ci-dessus, il y a quelques concessions à faire pour inclure le cas des sous-ensembles non bornés de $\mathbb {R} ^{n}$ et ces considérations nécessitent un cadre neuf, où, par exemple, il faut appeler autrement la plupart des "demi-droites", puisque dans notre cadre, toutes les "demi-droites" n'ont pas toutes la même longueur, du fait même de l'existence d'un "plafonnement à l'infini", et que certains points sont plus près que d'autres de ce "plafonnement".

NB : le principal et le plus dur reste encore à faire.

On pourra peut-être ensuite l'étendre à des classes de parties de ${\mathbb {R} ''}^{n}$ .

Je sais que si des suites de polytopes de $\mathbb {R} ^{n}$ , de dimension $n$ (c'est-à-dire des suites de polyèdres compacts, convexes, [connexes] de $\mathbb {R} ^{n}$ , de dimension $n$ ), convergent vers une PV de dimension $n$ , alors les suites constituées des CQ des polytopes de chacune d'entre elles, convergent vers le CQ de cette PV.

(Cf. articles informels de vulgarisation de Michel COSTE que j'ai donnés (voir supra)

Le début des versions 1, 2 et 3, contient un passage que l'auteur a préféré supprimer dans la version 4, mais ce passage est fondamental pour moi, et est caractéristique et constitutif de la notion optimale de quantité d'éléments d'un ensemble, et qui dit que cette notion, appliquée à un ensemble, ne néglige aucun point, et que le cardinal quantitatif de tout singleton de $\mathbb {R} ^{n}$ vaut $1$ .)

La documentation disponible tourne autour de la géométrie convexe et de la formule de Steiner-Minkowski qui est fausse dans le cas des parties non convexes, mais cela est insuffisant voire inutile, si on veut aller au-delà des parties convexes.

Je sais que tout polyèdre non convexe est décomposable en polyèdres convexes. Il y a donc peut-être là une possibilité d'étendre la notion de CQ en supprimant la contrainte de convexité de ma définition des PV.

Conjecture :

"Toute partie non convexe, connexe, de $\mathbb {R} ^{n}$ est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de $\mathbb {R} ^{n}$ ,

donc toute partie non convexe, de $\mathbb {R} ^{n}$ est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de $\mathbb {R} ^{n}$ ,

donc toute partie de $\mathbb {R} ^{n}$ est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de $\mathbb {R} ^{n}$ ."

Il est mentionné quelque part que la formule de Steiner-Minkowski s'étend aux polyconvexes, et que donc ma notion s'étend, aussi, à ces derniers.

Michel COSTE et Denis FELDMANN disent pour l'un qu'ils ne peuvent raisonnablement pas aller au-delà des PV, et pour l'autre au-delà des parties bornées de $\mathbb {R} ^{n}$ , mais, à aucun moment, ils ne disent pourquoi. Mais, en fait, ils disent cela, parce qu'ils n'ont pas vu qu'on pouvait aller plus loin et dépasser les contradictions, en définissant et en introduisant les "plafonnements à l'infini".

Michel COSTE a vu et a fait le lien et le rapprochement entre le CQ et la formule de Steiner-Minkowski, mais tous les travaux qui tournent autour de cette formule concernent principalement, le théorème de Hadwiger, les inégalités isopérimétriques, l'inégalité de Brunn-Minkowski et la formule de Pick et ignorent complètement, mais peut-être pas, totalement, pour le 1er, la notion que je cherche à étendre.

Par ailleurs, j'ai introduit des notions qui sont peut-être inutiles pour étendre le CQ aux "seules" parties de $\mathbb {R} ^{n}$ .

De plus, il se peut qu'elles aient été déjà inventées par d'autres personnes, avant moi, mais dans tous les cas, on devrait, normalement, leur trouver une utilité.

Sur le forum Maths-Forum, Ben314 préfère abandonner l'axiome du "principe du tout et de la partie" (cf. supra), que d'abandonner l'axiome ou la proposition :"Toute translation laisse toute partie infinie, invariante" : C'est une conception légitime de la notion d'infini. Quant à moi, je pars de la conception inverse, c'est un choix, tout aussi légitime. Il existe différentes conceptions de la notion d'infini, légitimes, mais incompatibles entre elles.

Pour le moment, je sais comparer les CQ, au moins, des PV de $\mathbb {R} ^{n}$ , de dimension $i\,\,(0\leq i\leq n)$ , et je crois savoir comparer ceux, au moins, des PV de ${\mathbb {R} ''}^{n}$ , de dimension $i\,\,(0\leq i\leq n)$ .

Partie déjà établie et connue : Cardinal quantitatif défini sur ${PV}({\mathbb {R} }^{n})$

Préliminaires

Définition de ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$

Soit $n\in \mathbb {N} ^{*}$

${PV}(\mathbb {R} ^{n})$

$={\Big \{}{A}\in {\cal {P}}(\mathbb {R} ^{n})\,\,{\Big |}\,\,{A}\,\,sous{\text{-}}vari{\acute {e}}t{\acute {e}}\,\,compacte,\,\,convexe,\,\,(connexe)\,\,de\,\,\mathbb {R} ^{n},\,\,de\,\,classe\,\,(C^{0})\,\,et\,\,(C^{1}\,\,par\,\,morceaux){\Big \}}$

Construction et définition

Définition du cardinal quantitatif sur $\mathbb {R} ^{n}$ (axiomes de définition, généraux + axiomes de définition, dans le cas des parties bornées)

Remarque : J'hésite à omettre la notation " ${\widetilde {\,\,\,\,\,\,}}$ " concernant les objets suivants : ${\widetilde {{vol}^{1}}}$ ou ${\widetilde {diam}}$ .

Soit ${\cal {R}}$ un repère orthonormé de $\mathbb {R} ^{n}$ , d'origine $O$ .

${card}_{Q,{\cal {R}}}\,\,:\,\,{\cal {P}}({\mathbb {R} }^{n})\longrightarrow (F,+,\times ,\leq )$

où $(F,+,\times ,\leq )$ est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

(Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné $(F,+,\times ,\leq )$ , c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application ${card}_{Q,{\mathcal {R}}}$ , mais j'aurais pu l'appeler ${card}_{Q,{\mathcal {R}}}{\Big (}{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n}){\Big )}$ , et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des axiomes de définition de ${card}_{Q,{\mathcal {R}}}$ et de ${\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})$ .)

définie et donnée sur ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$ , par une formule exprimant ${card}_{Q,{\cal {R}}}$ en fonction de ${({vol}^{i})}_{i\in \mathbb {N} _{n}^{*}}$ (ou de ${({vol}^{i})}_{i\in \mathbb {N} _{n}}$ , si on considère ${vol}^{0}$ , comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties dénombrables de $\mathbb {R} ^{n}$ ) et qui est donnée par Michel Coste,

dans La saga du "cardinal" version 4 (voir supra)

ou dans les propositions suivantes : Proposition 1.4 de GF (Guillaume FOUCART), dans les PDF de Michel COSTE (voir infra) et Proposition (voir infra)

ou dans Exemples 2 ("Suite 1 CQ de parties de $\mathbb {R} ^{n}$ (26)").

elle doit, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur les cardinaux au sens de la quantité) :

1)

[a) $\forall A\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})$ , $card_{Q,{\cal {R}}}(A)\geq 0$ ]

b) $card_{Q,{\cal {R}}}(\emptyset )=0$

c) $\forall x\in \mathbb {R} ^{n},\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{x\})=1$

2)

a1) $\forall A,B\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})$ ,

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(A\bigcup B)={card}_{Q,{\cal {R}}}(A)+{card}_{Q,{\cal {R}}}(B)-{card}_{Q,{\cal {R}}}(A\bigcap B)}$

a2) REMARQUE IMPORTANTE : OBSTACLE ET FACTEUR, POUR L'INSTANT, LIMITANT DE "MA THEORIE" :

Dans le cas des parties de ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$ , Michel Coste a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie du cardinal quantitatif, mais moi je crois qu'on peut construire ${card}_{Q,{\cal {R}}}$ , même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur ${\mathcal {P}}({\mathbb {R} }^{n})$ , dans la théorie classique, mais que ce le sera dans la nouvelle théorie, quitte à introduire la nouvelle notation (excluant l'ancienne) et la nouvelle notion de "plafonnement à l'infini" $''[A,{(A_{i})}_{i\in I}]''$ où $A\in {PV2}(\mathbb {R} ^{n})$ et ${(A_{i})}_{i\in I}\subset {PV}(\mathbb {R} ^{n})$ .

3)

$\displaystyle {\forall {(x_{m})}_{m\in \mathbb {N} }\subset {\mathbb {R} },\,\,({\acute {e}}ventuellement\,\,convergente),\,\,\lim _{m\rightarrow +\infty }{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,x_{m}])={card}_{Q,{\cal {R}}}([0,\lim _{m\rightarrow +\infty }x_{m}])}$

4) Soient $\forall i\in \mathbb {N} _{n}^{*},\,\,{\cal {R}}_{i}$ un repère orthonormé de ${\mathbb {R} }^{i}$ d'origine $O_{i}{(0)}_{j\in \mathbb {N} _{i}^{*}}$ .

$\forall k\in \mathbb {N} _{n-1},$

$\displaystyle {\forall A\in {\cal {P}}({\mathbb {R} }^{n-k})}$ , $\displaystyle {\forall B\in {\cal {P}}({\mathbb {R} }^{k})}$ ,

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(A\times B)={card}_{Q,{\cal {R}}_{n}}(A\times B)={card}_{Q,{\cal {R}}_{n}}(A\times \prod _{i\in \mathbb {N} _{k}^{*}}\{0\})\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{n}}(\prod _{i\in \mathbb {N} _{n-k}^{*}}\{0\}\times B)={card}_{Q,{\cal {R}}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{k}}(B)}$

@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose qu'il y a un plafonnement sphérique, à l'infini, autour de l'origine du repère orthonormé direct ${\cal {R}}$ .@

5)

A)

a) $\forall I\,\,{\mbox{intervalle de}}\,\,\mathbb {R} ^{n}$ , $I\in {PV}(\mathbb {R} ^{n})$ ou $I\,\,{\text{bornée}}$

${card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}{is}(I){\Big )}={card}_{Q,{\cal {R}}}(I)$ , pour toutes les isométries de $\mathbb {R} ^{n}$ , $is$

En particulier :

a1) $\forall I\,\,{\mbox{intervalle de}}\,\,\mathbb {R} ^{n}$ , $I\in {PV}(\mathbb {R} ^{n})$ ou $I\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n}),\,\,I\,\,{\text{bornée}}$ ,

$\forall x\in \mathbb {R} ^{n},\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(I+x)={card}_{Q,{\cal {R}}}(I)$

a2) $\forall I\,\,{\mbox{intervalle de}}\,\,\mathbb {R} ^{n}$ , $I\in {PV}(\mathbb {R} ^{n})$ ou $I\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n}),\,\,I\,\,{\text{bornée}}$ ,

$\displaystyle {\forall M\in \mathbb {R} ^{n}}$ ,

$\forall \theta _{n}\in {\begin{cases}\{0,\pi \}+2k\pi ;\,\,k\in \mathbb {Z} &{\text{si }}n=1\\{\mathbb {R} }^{n-1}&{\text{si }}n\neq 1\\\end{cases}}$ ,

${card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}{rot}_{(M,\theta _{n})}(I){\Big )}={card}_{Q,{\cal {R}}}(I)$

Si les axiomes donnés dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les axiomes donnés dans 3) B).

B)

a) $\forall A\in {PV}(\mathbb {R} ^{n})$ ou $A\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n}),\,\,A\,\,{\text{bornée}}$ ,

${card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}{is}(A){\Big )}={card}_{Q,{\cal {R}}}(A)$ , pour toutes les isométries de $\mathbb {R} ^{n}$ , $is$

En particulier :

a1) $\forall A\in {PV}(\mathbb {R} ^{n})$ ou $A\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n}),\,\,A\,\,{\text{bornée}}$ ,

$\displaystyle {\forall x\in \mathbb {R} ^{n},\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(A+x)={card}_{Q,{\cal {R}}}(A)}$

a2) $\forall A\in {PV}(\mathbb {R} ^{n})$ ou $A\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n}),\,\,A\,\,{\text{bornée}}$ ,

$\forall M\in \mathbb {R} ^{n}$ ,

$\forall \theta _{n}\in {\begin{cases}\{0,\pi \}+2k\pi ;\,\,k\in \mathbb {Z} &{\text{si }}n=1\\{\mathbb {R} }^{n-1}&{\text{si }}n\neq 1\\\end{cases}}$ ,

${card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}{rot}_{(M,\theta _{n})}(A){\Big )}={card}_{Q,{\cal {R}}}(A)$

Propriétés immédiates découlant de la définition du cardinal quantitatif sur $\mathbb {R} ^{n}$

Il en découle de 1)b), de 2)a1) et peut-être d'autres axiomes de définition du cardinal quantitatif, en particulier que :

$\forall I\in {\cal {P}}({\mathbb {R} }^{n}),\,\,{card}_{E}(I)\leq \aleph _{0},\,\,\forall (A_{i})_{i\in I}\subset {PV}(\mathbb {R} ^{n})$ ,

$\forall i,j\in I,\,\,i\neq j,\,\,A_{i}\bigcap A_{j}=\emptyset$

${card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}\bigcup _{i\in I}A_{i}{\Big )}=\sum _{i\in I}{card}_{Q,{\cal {R}}}(A_{i})$

La $\sigma$ -additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$ , avec la notation classique de la notion de limite de parties ${(A_{i})}_{i\in I}$ de $\mathbb {R} ^{n}$ ayant pour limite une partie $A$ non bornée de $\mathbb {R} ^{n}$ , dans la théorie classique, elle l'est si ${(A_{i})}_{i\in I}\subset {PV}(\mathbb {R} ^{n})$ et $A\in {PV2}(\mathbb {R} ^{n})$ , moyennant une nouvelle notation de la notion de limite d'une famille de parties ${(A_{i})}_{i\in I}$ ayant pour limite une partie $A$ non bornée de $\mathbb {R} ^{n}$ , dans la nouvelle théorie, (excluant l'ancienne notation), c-à-d l'introduction de la notion de plafonnement à l'infini.

En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que :

a) $\forall A,B\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n}),\,\,B\in {\mathcal {P}}(A)$ ,

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(A\setminus B)={card}_{Q,{\cal {R}}}(A)-{card}_{Q,{\cal {R}}}(B)}$

b) $\forall A,B\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n}),\,\,A\in {\mathcal {P}}(B),\,\,A\neq B$ ,

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(A)<{card}_{Q,{\cal {R}}}(B)}$

Il découle, en particulier, de 5), sous réserve de la remarque associée, que :

Si $I,{(I_{i})}_{i\in \mathbb {N} _{n}}$ sont des intervalles de $\mathbb {R}$ , alors :

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(\prod _{i\in {\mathbb {N} }_{n}^{*}}I_{i})={card}_{Q,{\cal {R}}_{n}}(\prod _{i\in {\mathbb {N} }_{n}^{*}}I_{i})=\prod _{i\in {\mathbb {N} }_{n}^{*}}{card}_{Q,{\cal {R}}_{n}}(I_{i}\times \prod _{j\in \mathbb {N} _{n-1}^{*}}\{0\})=\prod _{i\in {\mathbb {N} }_{n}^{*}}{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}(I_{i})}$

et donc en particulier

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(I^{n})={card}_{Q,{\cal {R}}_{n}}(I^{n})={card}_{Q,{\cal {R}}_{n}}(\prod _{i\in {\mathbb {N} }_{n}^{*}}I)=\prod _{i\in {\mathbb {N} }_{n}^{*}}{card}_{Q,{\cal {R}}_{n}}(I\times \prod _{j\in \mathbb {N} _{n-1}^{*}}\{0\})=\prod _{i\in {\mathbb {N} }_{n}^{*}}{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}(I)={{\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}(I){\Big )}}^{n}={card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}^{n}(I)}$

Le cardinal quantitatif est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel, qui ne néglige aucun point de $\mathbb {R} ^{n}$ et qui est uniforme ( $\forall x\in \mathbb {R} ^{n},\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{x\})=1$ ).

Remarque :

$\forall {\mathcal {R}},{\mathcal {R}}'$ repères orthonormés de $\mathbb {R} ^{n},\,\,{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}}_{|\{A\in {\mathcal {P}}({\mathbb {R} }^{n})\,\,|\,\,A\,\,{\text{bornée}}\}}={{card}_{Q,{\mathcal {R}}'}}_{|\{A\in {\mathcal {P}}({\mathbb {R} }^{n})\,\,|\,\,A\,\,{\text{bornée}}\}}$

On pose : $\forall {\mathcal {R}}$ repère orthonormé de $\mathbb {R} ^{n},\,\,{card}_{Q}={{card}_{Q,{\mathcal {R}}}}_{|\{A\in {\mathcal {P}}({\mathbb {R} }^{n})\,\,|\,\,A\,\,{\text{bornée}}\}}$

Proposition :

Soit ${\widetilde {E}}$ une partie bornée de $\mathbb {R} ^{n}$ .

Si $\forall x\in {\widetilde {E}},\,\,A_{x}\in {\cal {P(\mathbb {R} ^{n})}}$ et $\forall x,y\in {\widetilde {E}},\,\,x\neq y,\,\,A_{x}\bigcap A_{y}=\emptyset$ et $A=\bigcup _{x\in {\widetilde {E}}}A_{x}$

alors ${card}_{Q,{\cal {R}}}(A)={card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}\bigcup _{x\in {\widetilde {E}}}A_{x}{\Big )}=\int _{\widetilde {E}}{card}_{Q,{\cal {R}}}(A_{x})\,\,d\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(x)$

(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les "plafonnements à l'infini", mais sans nécessairement considérer ${\widetilde {E}}$ bornée)

Existence et résultats sur les intervalles $I$ , bornés, de $\mathbb {R}$ , et en particulier, sur les parties de ${PV}(\mathbb {R} )$

Soit ${\cal {R}}$ un repère orthonormé de $\mathbb {R}$ , d'origine $O$ .

Préliminaires :

Notations

Soit $N\in \mathbb {N} ^{*}$ .

Soit $A\in {\cal {P}}(E)$ .

${\stackrel {\circ }{A}}^{E}$ est l'intérieur de $A$ dans |par rapport à $E$ (on note aussi ${\stackrel {\circ }{A}}$ )

${\overline {A}}^{E}$ est l'adhérence de $A$ dans |par rapport à $E$ (on note aussi ${\overline {A}}$ )

$\displaystyle {\forall i\in \mathbb {N} _{N}^{*},\,\,\forall n\in \mathbb {N} _{N}^{*},\,\,n\geq i,\,\,{vol}^{i}={vol}^{i,n}}$ désigne la mesure de Lebesgue généralisée ou de Hausdorff, de dimension $i$ , dans $\mathbb {R} ^{n}$ , de tribu de départ ${\cal {A}}_{i,n}=\{A_{i,n}\in {\cal {B}}(\mathbb {R} ^{n})|{dim}(A_{i,n})=i\}$

$\displaystyle {\forall n\in \mathbb {N} _{N}^{*},\,\,{vol}^{0}={vol}^{0,n}}$ désigne la mesure de Lebesgue ou de Hausdorff, de dimension $0$ , sur $\mathbb {R} ^{n}$ , c'est-à-dire la mesure de comptage sur $\mathbb {R} ^{n}$ , de tribu de départ ${\cal {A}}_{0,n}=\{A_{0,n}\in {\cal {P}}(\mathbb {R} ^{n})|{dim}(A_{0,n})=0\}=\{A_{0,n}\in {\cal {P}}(\mathbb {R} ^{n})|{card}_{E}(A_{0,n})\leq \aleph _{0}\}$

$\forall i\in \mathbb {N} _{N},\,\,{\widetilde {{vol}^{i}}}$ , notée, encore, ${vol}^{i}$ , désigne le prolongement de la mesure de Lebesgue généralisée ou de Hausdorff, de dimension $i$ , sur $\displaystyle {\bigcup _{n\in \mathbb {N} _{N}^{*},\,\,n\geq i}\mathbb {R} ^{n}}$ , de tribu de départ $\displaystyle {{\cal {A}}_{i}=\bigcup _{n\in \mathbb {N} _{N}^{*},\,\,n\geq i}{\cal {A}}_{i,n}}$ telle que $\forall n\in \mathbb {N} _{N}^{*},\,\,n\geq i,\,\,{\widetilde {{vol}^{i}}}_{|{\cal {A}}_{i,n}}={vol}^{i,n}$

et telle que $\displaystyle {\forall n\in \mathbb {N} _{N}^{*},\,\,n\geq i,\,\,A_{i,n}\in {\cal {A}}_{i,n},\,\,A_{i}=\bigcup _{n\in \mathbb {N} _{N}^{*},n\geq i}A_{i,n},\,\,{\widetilde {{vol}^{i}}}(A_{i})={\widetilde {{vol}^{i}}}(\bigcup _{n\in \mathbb {N} _{N}^{*},\,\,n\geq i}A_{i,n})=\sum _{n\in \mathbb {N} _{N}^{*},\,\,n\geq i}{\widetilde {{vol}^{i}}}(A_{i,n})}$

Remarque

Remarque : J'hésite à omettre la notation " ${\widetilde {\,\,\,\,\,\,}}$ " concernant les objets suivants : ${\widetilde {{vol}^{1}}}$ ou ${\widetilde {diam}}$ .

Soient $I$ et $J$ , deux intervalles de $\mathbb {R}$ , non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de ${\overline {I}}$ et ${\overline {J}}$ ou de ${\stackrel {\circ }{I}}$ et ${\stackrel {\circ }{J}}$ existent et sont notés $i_{0}$ et $j_{0}$ , alors on remarque que :

1)

$\displaystyle {\forall x_{0}\in \mathbb {R} ^{n},\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{x_{0}\})={vol}^{0}(\{x_{0}\})=1}$

$\displaystyle {{vol}^{1}(I)={vol}^{1}(J)\Longleftrightarrow {card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {I}})={card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {J}})\,\,et\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{I}})={card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{J}})}$

En effet $\displaystyle {\forall I,J\,\,intervalle\,\,born{\acute {e}}\,\,de\,\,\mathbb {R} \,\,:\,\,{vol}^{1}(I)={vol}^{1}(J),\,\,\exists a_{I,J}\in \mathbb {R} ,\,\,{\overline {J}}={\overline {I}}+a_{I,J}\,\,et\,\,{\stackrel {\circ }{J}}={\stackrel {\circ }{I}}+a_{I,J}}$

2)

$\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {I}}\setminus \{i_{0}\})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {J}}\setminus \{j_{0}\})}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\bigg (}{\Big (}{\stackrel {\circ }{I}}\bigcup ({\overline {I}}\setminus {\stackrel {\circ }{I}}){\Big )}\setminus \{i_{0}\}{\bigg )}}{{card}_{Q,{\cal {R}}}{\bigg (}{\Big (}{\stackrel {\circ }{J}}\bigcup ({\overline {J}}\setminus {\stackrel {\circ }{J}}){\Big )}\setminus \{j_{0}\}{\bigg )}}}}$

c'est-à-dire

$\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {I}})-{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{i_{0}\})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {J}})-{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{j_{0}\})}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}{\stackrel {\circ }{I}}\bigcup ({\overline {I}}\setminus {\stackrel {\circ }{I}}){\Big )}-{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{i_{0}\})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}{\stackrel {\circ }{J}}\bigcup ({\overline {J}}\setminus {\stackrel {\circ }{J}}){\Big )}-{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{j_{0}\})}}}$

c'est-à-dire

$\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {I}})-{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{i_{0}\})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {J}})-{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{j_{0}\})}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{I}})+{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {I}}\setminus {\stackrel {\circ }{I}})-{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{i_{0}\})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{J}})+{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {J}}\setminus {\stackrel {\circ }{J}})-{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{j_{0}\})}}}$

c'est-à-dire

$\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {I}})-{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{i_{0}\})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {J}})-{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{j_{0}\})}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{I}})+{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{\displaystyle {\inf _{i\in I}i,\sup _{i\in I}i}\})-{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{i_{0}\})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{J}})+{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{\displaystyle {\inf _{j\in J}j,\sup _{j\in J}j}\})-{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{j_{0}\})}}}$

c'est-à-dire

$\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {I}})-1}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {J}})-1}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{I}})+2-1}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{J}})+2-1}}}$

c'est-à-dire

$\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {I}})-1}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {J}})-1}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{I}})+1}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{J}})+1}}}$

Proposition (Proposition 1.4 de GF, dans les PDF de Michel COSTE)

Remarque : J'hésite à omettre la notation " ${\widetilde {\,\,\,\,\,\,}}$ " concernant les objets suivants : ${\widetilde {{vol}^{1}}}$ ou ${\widetilde {diam}}$ .

Soient $I$ et $J$ , deux intervalles de $\mathbb {R}$ , non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de ${\overline {I}}$ et ${\overline {J}}$ ou de ${\stackrel {\circ }{I}}$ et ${\stackrel {\circ }{J}}$ existent et sont notés $i_{0}$ et $j_{0}$ , alors a :

$\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {I}}\setminus \{i_{0}\})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {J}}\setminus \{j_{0}\})}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {I}})-1}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {J}})-1}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{I}})+1}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{J}})+1}}}={\frac {vol^{1}(I)}{vol^{1}(J)}}$

Démonstration :

Si on suppose que $I$ et $J$ sont bornés dans $\mathbb {R}$ , sans s'assimiler à des "demi-droites" de $\mathbb {R}$ , alors :

On pose :

$\displaystyle {K_{0,{\stackrel {\circ }{I}}}=]0,{vol}^{1}({\stackrel {\circ }{I}})[}$ , $\displaystyle {K_{0,{\stackrel {\circ }{J}}}=]0,{vol}^{1}({\stackrel {\circ }{J}})[}$

$\displaystyle {K_{0,{\overline {I}}}=[0,{vol}^{1}({\overline {I}})]}$ , $\displaystyle {K_{0,{\overline {J}}}=[0,{vol}^{1}({\overline {J}})]}$

On a :

$\displaystyle {{\frac {{card}_{Q}(K_{0,{\overline {I}}})-1}{{card}_{Q}(K_{0,{\overline {J}}})-1}}={\frac {{vol}^{1}(K_{0,{\overline {I}}})}{{vol}^{1}(K_{0,{\overline {J}}})}}}$

En effet,on a (proposition):

Si $s=k\in \mathbb {N}$ :

$\displaystyle {[0,kp[=\bigcup _{i\in \mathbb {N} _{k}^{*}}[(i-1)p,ip[\,\,{\mbox{et}}\,\,\bigcap _{i\in \mathbb {N} _{k}^{*}}[(i-1)p,ip[=\emptyset }$

donc $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,kp[)=\sum _{i\in \mathbb {N} _{k}^{*}}{card}_{Q,{\cal {R}}}([(i-1)p,ip[)}$

or $\displaystyle {\forall i\in \mathbb {N} _{k}^{*}\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(](i-1)p,ip[)={card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,p[)}$

car $\displaystyle {\forall i\in \mathbb {N} _{k}^{*}\,\,{vol}^{1}(](i-1)p,ip[)={vol}^{1}(]0,p[)}$

donc $\displaystyle {\forall i\in \mathbb {N} _{k}^{*}\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(](i-1)p,ip[)+1={card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,p[)+1}$

donc $\displaystyle {\forall i\in \mathbb {N} _{k}^{*}\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(](i-1)p,ip[)+{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{(i-1)p\})={card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,p[)+{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{0\})}$

donc $\displaystyle {\forall i\in \mathbb {N} _{k}^{*}\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(](i-1)p,ip[\bigcup \{(i-1)p\})={card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,p[\bigcup \{0\})}$

donc $\displaystyle {\forall i\in \mathbb {N} _{k}^{*}\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([(i-1)p,ip[)={card}_{Q,{\cal {R}}}([0,p[)}$

donc comme $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,kp[)=\sum _{i\in \mathbb {N} _{k}^{*}}{card}_{Q,{\cal {R}}}([(i-1)p,ip[)}$ ,

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,kp[)=\sum _{i\in \mathbb {N} _{k}^{*}}{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,p[)}$ ,

donc $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,p[)}$

donc $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,kp[)={card}_{Q,{\cal {R}}}([0,kp[\setminus \{0\})={card}_{Q,{\cal {R}}}([0,kp[)-{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{0\})={card}_{Q,{\cal {R}}}([0,kp[)-1=k\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,p[)-1}$

$\displaystyle {=k\,\,{\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,p[\bigcup \{0\}){\Big )}-1=k\,\,({card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,p[)+{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{0\}){\Big )}-1=k\,\,{\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,p[)+1{\Big )}-1}$

donc $\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,p[)+1}}=k}$

donc $\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,p[)+1}}={\frac {{vol}^{1}(]0,kp[)}{{vol}^{1}(]0,p[)}}}$

Remarque : On montre facilement le résultat pour $s\in \mathbb {Q}$ et $s\in \mathbb {R}$

or $\displaystyle {{vol}^{1}(I)={vol}^{1}(K_{0,{\overline {I}}})}$ , $\displaystyle {{vol}^{1}(J)={vol}^{1}(K_{0,{\overline {J}}})}$

donc $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {I}})={card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {K_{0,{\overline {I}}}}})}$ , $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {J}})={card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {K_{0,{\overline {J}}}}})}$

or ${\overline {K_{0,{\overline {I}}}}}=K_{0,{\overline {I}}}$ , ${\overline {K_{0,{\overline {J}}}}}=K_{0,{\overline {J}}}$

donc $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {I}})={card}_{Q,{\cal {R}}}(K_{0,{\overline {I}}})}$ , $\displaystyle {card({\overline {J}})={card}_{Q,{\cal {R}}}(K_{0,{\overline {J}}})}$

donc $\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {I}})-1}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {J}})-1}}={\frac {{vol}^{1}({\overline {I}})}{{vol}^{1}({\overline {J}})}}}$

or ${vol}^{1}({\overline {I}})={vol}^{1}({\stackrel {\circ }{I}})$ et ${vol}^{1}({\overline {J}})={vol}^{1}({\stackrel {\circ }{J}})$ et $\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {I}})-1}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {J}})-1}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{I}})+1}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{J}})+1}}}$

donc $\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{I}})+1}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{J}})+1}}={\frac {{vol}^{1}({\stackrel {\circ }{I}})}{{vol}^{1}({\stackrel {\circ }{J}})}}}$

or ${vol}^{1}(I)={vol}^{1}({\overline {I}})={vol}^{1}({\stackrel {\circ }{I}})$ et ${vol}^{1}(J)={vol}^{1}({\overline {J}})={vol}^{1}({\stackrel {\circ }{J}})$ et $\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {I}})-1}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {J}})-1}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{I}})+1}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{J}})+1}}}$

donc $\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {I}})-1}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {J}})-1}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{I}})+1}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{J}})+1}}={\frac {{vol}^{1}(I)}{{vol}^{1}(J)}}}$

Existence et résultats généraux concernant le cardinal quantitatif sur ${PV}(\mathbb {R} ^{N})$

Définition (dimension d'une partie ou d'une sous-variété de $\mathbb {R} ^{N}$ )

Soit $N\in \mathbb {N} ^{*}$ .

Soit $M\in \mathbb {N} _{N}$ .

Soit $A_{N}\in {\cal {P}}(\mathbb {R} ^{N})\setminus \{\emptyset \}$ .

Alors ${dim}(A_{N})=M\,\,\iff _{d{\acute {e}}f}\,\,{vol}^{M}(A_{N})\,\,existe$

et ${dim}(\emptyset )=-\infty$ .

Définitions de ${{\cal {P}}olytope}(\mathbb {R} ^{N})$ et de ${PV}(\mathbb {R} ^{N})$

Soit $N\in \mathbb {N} ^{*}$

1) ${{\cal {P}}olytope}(\mathbb {R} ^{N})$

$={\Big \{}{P^{N}}\in {\cal {P}}(\mathbb {R} ^{N})\,\,{\Big |}\,\,{P^{N}}\,\,polytope\,\,de\,\,\mathbb {R} ^{N},\,\,(c{\mbox{-}}{\grave {a}}{\mbox{-}}d\,\,poly{\grave {e}}dre\,\,compact,\,\,convexe,\,\,[connexe]\,\,de\,\,\mathbb {R} ^{N}){\Big \}}$ .

2) ${PV}(\mathbb {R} ^{N})$

$={\Big \{}{A^{N}}\in {\cal {P}}(\mathbb {R} ^{N})\,\,{\Big |}\,\,{A^{N}}\,\,sous{\text{-}}vari{\acute {e}}t{\acute {e}}\,\,compacte,\,\,convexe,\,\,(connexe)\,\,de\,\,\mathbb {R} ^{N},\,\,de\,\,classe\,\,(C^{0})\,\,et\,\,(C^{1}\,\,par\,\,morceaux){\Big \}}$

Définitions de ${{\cal {P}}olytope}_{i}(\mathbb {R} ^{N})$ et de ${PV}_{i}(\mathbb {R} ^{N})$ , pour $i\in \mathbb {N} _{N}$

Soit $N\in \mathbb {N} ^{*}$ .

Soit $i\in \mathbb {N} _{N}$ .

1) ${{\cal {P}}olytope}_{i}(\mathbb {R} ^{N})$

$\displaystyle {={\Big \{}{P_{i}^{N}}\in {\cal {P}}(\mathbb {R} ^{N})\,\,{\Big |}\,\,{P_{i}^{N}}\,\,polytope\,\,de\,\,\mathbb {R} ^{N},\,\,(c{\mbox{-}}{\grave {a}}{\mbox{-}}d\,\,poly{\grave {e}}dre\,\,compact,\,\,convexe,\,\,[connexe]\,\,de\,\,\mathbb {R} ^{N})\,\,et\,\,telle\,\,que\,\,{dim}({P_{i}^{N}})=i{\Big \}}\bigcup \{\emptyset \}}$ .

$\displaystyle {={\Big \{}{P_{i}^{N}}\in {{\cal {P}}olytope}(\mathbb {R} ^{N})\,\,{\Big |}\,\,{dim}({P_{i}^{N}})=i{\Big \}}\bigcup \{\emptyset \}}$ .

2) ${PV}_{i}(\mathbb {R} ^{N})$

$\displaystyle {={\Big \{}{A_{i}^{N}}\in {\cal {P}}(\mathbb {R} ^{N})\,\,{\Big |}\,\,{A_{i}^{N}}\,\,sous{\text{-}}vari{\acute {e}}t{\acute {e}}\,\,compacte,\,\,convexe,\,\,(connexe)\,\,de\,\,\mathbb {R} ^{N},\,\,de\,\,classe\,\,(C^{0})\,\,et\,\,(C^{1}\,\,par\,\,morceaux)}$

$\displaystyle {et\,\,telle\,\,que\,\,{dim}({A_{i}^{N}})=i{\Big \}}\bigcup \{\emptyset \}}$

$\displaystyle {={\Big \{}{A_{i}^{N}}\in {PV}(\mathbb {R} ^{N})\,\,{\Big |}\,\,{dim}({A_{i}^{N}})=i{\Big \}}\bigcup \{\emptyset \}}$

Théorème admis (formule de Steiner-Minkowski, pour $P_{N}=P_{N}^{N}\in {{\cal {P}}olytope}_{N}(\mathbb {R} ^{N})$ )

Soit $N\in \mathbb {N} ^{*}$ .

Soit $P_{N}\in {{\cal {P}}olytope}_{N}(\mathbb {R} ^{N})$ .

On pose $\forall r\in \mathbb {R} _{+},\,\,{\overline {B_{\mathbb {R} ^{N}}(P_{N},r)}}=\{x\in \mathbb {R} ^{N}|d(P_{N},x)\leq r\}=P_{N}+r\,\,{\overline {B_{\mathbb {R} ^{N}}(O_{N},1)}}$ .

Alors $\displaystyle {\exists !{{\Big (}{\cal {L}}_{i,N}(P_{N}){\Big )}}_{i\in \mathbb {N} _{N}}\subset \mathbb {R} _{+},\,\,\forall r\in \mathbb {R} _{+},\,\,{vol}^{N}{\Big (}{\overline {B_{\mathbb {R} ^{N}}(P_{N},r)}}{\Big )}={vol}^{N}{\Big (}P_{N}+r\,\,{\overline {B_{\mathbb {R} ^{N}}(O_{N},1)}}{\Big )}=\sum _{i\in \mathbb {N} _{N}}{\cal {L}}_{i,N}(P_{N})\,\,r^{i}}$

où $O_{N}$ est l'origine du repère orthonormé ${\cal {R}}_{N}$ de $\mathbb {R} ^{N}$ .

On a ${\cal {L}}_{0,N}(P_{N})={vol}^{N}(P_{N})$ , ${\cal {L}}_{1,N}(P_{N})={vol}^{N-1}(\partial P_{N})$ et ${\cal {L}}_{N,N}(P_{N})={vol}^{N}{\Big (}{\overline {B_{\mathbb {R} ^{N}}(O_{N},1)}}{\Big )}$ .

Remarque : Pour la suite, il faut donner la forme de ce théorème généralisé à $P_{i}^{N}\in {{\cal {P}}olytope}_{i}(\mathbb {R} ^{N})$ , pour $i\in \mathbb {N} _{N}$ .

La saga du "cardinal" version 4 (voir supra)

Remarque :

La formule de Steiner-Minkowski ne s'applique qu'à des parties compactes convexes d'un espace euclidien :

Donc pour trouver une formule générale pour les parties compactes quelconques de $\mathbb {R} ^{N}$ , il va falloir creuser d'avantage.

Théorème admis( $\displaystyle {{card}_{Q}\in C^{0}{\Big (}{{\cal {P}}olytope}(\mathbb {R} ^{N}),F{\Big )}}$ , $\displaystyle {{card}_{Q,i}\in C^{0}{\Big (}{{\cal {P}}olytope}_{i}(\mathbb {R} ^{N}),F{\Big )}}$ et formule donnant le cardinal quantitatif de $P_{i}^{N}\in {{\cal {P}}olytope}_{i}(\mathbb {R} ^{N})$ , pour $i\in \mathbb {N} _{N}$ (et, en particulier, de $P_{N}=P_{N}^{N}\in {{\cal {P}}olytope}_{N}(\mathbb {R} ^{N})$ ), en fonction du cardinal quantitatif de l'intervalle $[0,1[$ )

Soit $N\in \mathbb {N} ^{*}$ .

Soit $i\in \mathbb {N} _{N}$

1) $\exists !{card}_{Q,N}\,\,:\,\,{{\cal {P}}olytope}_{N}(\mathbb {R} ^{N})\,\,\longrightarrow \,\,F,$

telle que $\forall {{\cal {R}}_{N}}'\,\,rep{\grave {e}}re\,\,orthonorm{\acute {e}}\,\,de\,\,\mathbb {R} ^{N},\,\,{{card}_{Q,{{\cal {R}}_{N}}'}}_{{\Big |}{{\cal {P}}olytope}_{N}(\mathbb {R} ^{N})}={card}_{Q,N}$

et telle que $\displaystyle {\forall P_{N}\in {{\cal {P}}olytope}_{N}(\mathbb {R} ^{N}),\,\,{card}_{Q,N}(P_{N})=\sum _{i\in \mathbb {N} _{N}}c_{i,N}(P_{N})\,\,{card}_{Q,1}^{i}([0,1[)}$

où $\displaystyle {\forall i\in \mathbb {N} _{N},\,\,c_{i,N}(P_{N})={\frac {{\mathcal {L}}_{N-i,N}(P_{N})}{\beta (N-i)}}}$

où $\displaystyle {\forall i\in \mathbb {N} _{N},\,\,\beta (i)={vol}^{i}{\Big (}{\overline {B_{\mathbb {R} ^{i}}(O_{i},1)}}{\Big )}}$

où $\forall i\in \mathbb {N} _{N},\,\,O_{i}$ est l'origine du repère orthonormé ${\cal {R}}_{i}$ de $\mathbb {R} ^{i}$

et où ${{\Big (}{\mathcal {L}}_{i,N}(P_{N}){\Big )}}_{i\in \mathbb {N} _{N}}$ est la suite de coefficients donnée par la formule de Steiner-Minkowski.

Et on a : $c_{0,N}(P_{N})=1$ ,

et où $\forall i\in \mathbb {N} _{N},\,\,{\cal {L}}_{i,N}\,\,:\,\,{{\cal {P}}olytope}_{N}(\mathbb {R} ^{N})\,\,\longrightarrow \,\,\mathbb {R} \,\,:\,\,P_{N}\,\,\longmapsto \,\,{\cal {L}}_{i,N}(P_{N})$

et où $\forall i\in \mathbb {N} _{N},\,\,c_{i,N}\,\,:\,\,{{\cal {P}}olytope}_{N}(\mathbb {R} ^{N})\,\,\longrightarrow \,\,\mathbb {R} \,\,:\,\,P_{N}\,\,\longmapsto \,\,c_{i,N}(P_{N})$ .

On a :

${\forall i\in \mathbb {N} _{N},\,\,{\cal {L}}_{i,N}\in C^{0}{\Big (}{{\cal {P}}olytope}_{N}(\mathbb {R} ^{N}),\mathbb {R} {\Big )}}$ ,

${\forall i\in \mathbb {N} _{N},\,\,c_{i,N}\in C^{0}{\Big (}{{\cal {P}}olytope}_{N}(\mathbb {R} ^{N}),\mathbb {R} {\Big )}}$ .

$\displaystyle {{card}_{Q,N}\in C^{0}{\Big (}{{\cal {P}}olytope}_{N}(\mathbb {R} ^{N}),F{\Big )}}$

2) $\exists !{card}_{Q,i}\,\,:\,\,{{\cal {P}}olytope}_{i}(\mathbb {R} ^{N})\,\,\longrightarrow \,\,F,$

telle que $\forall {{\cal {R}}_{N}}'\,\,rep{\grave {e}}re\,\,orthonorm{\acute {e}}\,\,de\,\,\mathbb {R} ^{N},\,\,{{card}_{Q,{{\cal {R}}_{N}}'}}_{{\Big |}{{\cal {P}}olytope}_{i}(\mathbb {R} ^{N})}={card}_{Q,i}$

et telle que $\displaystyle {\forall P_{i}^{N}\in {{\cal {P}}olytope}_{i}(\mathbb {R} ^{N}),\,\,{card}_{Q,N}(P_{i}^{N})=\sum _{j\in \mathbb {N} _{i}}c_{j,i}(P_{i}^{N})\,\,{card}_{Q,1}^{j}([0,1[)}$

où $\displaystyle {\forall j\in \mathbb {N} _{i},\,\,c_{j,i}(P_{i}^{N})={\frac {{\mathcal {L}}_{i-j,i}(P_{i}^{N})}{\beta (i-j)}}}$

où $\displaystyle {\forall j\in \mathbb {N} _{i},\,\,\beta (j)={vol}^{j}{\Big (}{\overline {B_{\mathbb {R} ^{j}}(O_{j},1)}}{\Big )}}$

où $\forall j\in \mathbb {N} _{i},\,\,O_{j}$ est l'origine du repère orthonormé ${\cal {R}}_{j}$ de $\mathbb {R} ^{j}$

et où ${{\Big (}{\mathcal {L}}_{j,i}(P_{i}^{N}){\Big )}}_{j\in \mathbb {N} _{i}}$ est la suite de coefficients donnée par la formule de Steiner-Minkowski.

Et on a : $c_{0,i}(P_{i}^{N})=1$ ,

et où $\forall j\in \mathbb {N} _{i},\,\,{\cal {L}}_{j,i}\,\,:\,\,{{\cal {P}}olytope}_{i}(\mathbb {R} ^{N})\,\,\longrightarrow \,\,\mathbb {R} \,\,:\,\,P_{i}^{N}\,\,\longmapsto \,\,{\cal {L}}_{j,i}(P_{i}^{N})$

et où $\forall j\in \mathbb {N} _{i},\,\,c_{j,i}\,\,:\,\,{{\cal {P}}olytope}_{i}(\mathbb {R} ^{N})\,\,\longrightarrow \,\,\mathbb {R} \,\,:\,\,P_{i}^{N}\,\,\longmapsto \,\,c_{j,i}(P_{i}^{N})$ .

On a :

${\forall j\in \mathbb {N} _{i},\,\,{\cal {L}}_{j,i}\in C^{0}{\Big (}{{\cal {P}}olytope}_{i}(\mathbb {R} ^{N}),\mathbb {R} {\Big )}}$ ,

${\forall j\in \mathbb {N} _{i},\,\,c_{j,i}\in C^{0}{\Big (}{{\cal {P}}olytope}_{i}(\mathbb {R} ^{N}),\mathbb {R} {\Big )}}$ .

$\displaystyle {{card}_{Q,i}\in C^{0}{\Big (}{{\cal {P}}olytope}_{i}(\mathbb {R} ^{N}),F{\Big )}}$

Remarque : On peut aussi poser $\displaystyle {{card}_{Q}\,\,:\,\,{{\cal {P}}olytope}(\mathbb {R} ^{N})=\bigcup _{i\in \mathbb {N} _{N}}{{\cal {P}}olytope}_{i}(\mathbb {R} ^{N})\longrightarrow F}$ telle que $\displaystyle {\forall i\in \mathbb {N} _{N},\,\,{{card}_{Q}}_{{\Big |}{{\cal {P}}olytope}_{i}(\mathbb {R} ^{N})}={card}_{Q,i}}$

et telle que $\displaystyle {\forall i\in \mathbb {N} _{N},\,\,P_{i}^{N}\in {{\cal {P}}olytope}_{i}(\mathbb {R} ^{N}),\,\,{card}_{Q,i}(P_{i}^{N})=\sum _{j\in \mathbb {N} _{i}}c_{j,i}(P_{i}^{N})\,\,{card}_{Q,1}^{j}([0,1[)}$ .

$\displaystyle {{card}_{Q}\in C^{0}{\Big (}{{\cal {P}}olytope}(\mathbb {R} ^{N}),F{\Big )}}$

La saga du "cardinal" version 4, Théorème de Hadwiger (voir supra)

Remarque : On aurait pu poser $\displaystyle {\forall i\in \mathbb {N} _{N},\,\,c_{i,N}(P_{N})={\frac {{\mathcal {L}}_{i,N}(P_{N})}{\beta (i)}}}$ , c'est-à-dire inverser l'ordre des termes, mais si on faisait cela, notre interprétation de chacun de ces termes ne s'accorderait pas avec celle de Michel Coste, qui est, ici, notre référent et notre guide.

Proposition admise

Soit $N\in \mathbb {N} ^{*}$ .

Soit $i\in \mathbb {N} _{N}$

1) $\displaystyle {{\overline {{{\cal {P}}olytope}_{N}(\mathbb {R} ^{N})}}^{{PV}_{N}(\mathbb {R} ^{N})}={PV}_{N}(\mathbb {R} ^{N})}$

c-à-d

$\displaystyle {\forall A_{N}\in {PV}_{N}(\mathbb {R} ^{N})}$ , c'est-à-dire vérifiant les conditions MC, $\displaystyle {\exists {(P_{N,n})}_{n\in \mathbb {N} }\subset {{\cal {P}}olytope}_{N}(\mathbb {R} ^{N})\,\,telle\,\,que\,\,A_{N}=\lim _{n\rightarrow +\infty }P_{N,n}}$

2) $\displaystyle {{\overline {{{\cal {P}}olytope}_{i}(\mathbb {R} ^{N})}}^{{PV}_{i}(\mathbb {R} ^{N})}={PV}_{i}(\mathbb {R} ^{N})}$

c-à-d

$\displaystyle {\forall A_{i}^{N}\in {PV}_{i}(\mathbb {R} ^{N})}$ , c'est-à-dire vérifiant les conditions MC, $\displaystyle {\exists {(P_{i,n}^{N})}_{n\in \mathbb {N} }\subset {{\cal {P}}olytope}_{i}(\mathbb {R} ^{N})\,\,telle\,\,que\,\,A_{i}^{N}=\lim _{n\rightarrow +\infty }P_{i,n}^{N}}$

La saga du "cardinal" version 4 (voir supra)

Corollaire ( $\displaystyle {{\widetilde {{card}_{Q}}}\in C^{0}{\Big (}{PV}(\mathbb {R} ^{N}),F{\Big )}}$ , $\displaystyle {{\widetilde {{card}_{Q,i}}}\in C^{0}{\Big (}{PV}_{i}(\mathbb {R} ^{N}),F{\Big )}}$ et formule donnant le cardinal quantitatif de $A_{i}^{N}\in {PV}_{i}(\mathbb {R} ^{N})$ , pour $i\in \mathbb {N} _{N}$ (et, en particulier, de $A_{N}=A_{N}^{N}\in {PV}_{N}(\mathbb {R} ^{N})$ ), en fonction du cardinal quantitatif de l'intervalle $[0,1[$ )

Soit $N\in \mathbb {N} ^{*}$ .

Soit $i\in \mathbb {N} _{N}$

NB : Pour ce corollaire, c'est vraiment, très délicat, j'ai peur en modifiant le texte et en cherchant à le corriger, à le rectifier et à l'améliorer, de m'embourber voire de m'embourber, encore, d'avantage, et de faire empirer les choses.

1) D'après la proposition précédente :

Soit $\displaystyle {A_{N}\in {PV}_{N}(\mathbb {R} ^{N})}$ , c'est-à-dire vérifiant les conditions MC, alors $\displaystyle {\exists {(P_{N,n})}_{n\in \mathbb {N} }\subset {{\cal {P}}olytope}_{N}(\mathbb {R} ^{N})}$ telle que $\displaystyle {A_{N}=\lim _{n\rightarrow +\infty }P_{N,n}}$

D'après le théorème précédent, on a : (*0-1) $\displaystyle {{card}_{Q,N}\in C^{0}{\Big (}{{\cal {P}}olytope}_{N}(\mathbb {R} ^{N}),F{\Big )}}$

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :

$\displaystyle {{\widetilde {{card}_{Q,N}}}(A_{N})={\widetilde {{card}_{Q,N}}}(\lim _{n\rightarrow +\infty }P_{N,n})=\displaystyle {\lim _{n\rightarrow +\infty }{card}_{Q,N}(P_{N,n})}}$ ,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite ${(P_{N,n})}_{n\in \mathbb {N} }$ choisie de la proposition précédente.

et comme $\displaystyle {\forall n\in \mathbb {N} ,\,\,{card}_{Q,N}(P_{N,n})=\sum _{i\in \mathbb {N} _{N}}c_{i,N}(P_{N,n})\,\,{card}_{Q,1}^{i}([0,1[)}$

où $\displaystyle {\forall P_{N}\in {{\cal {P}}olytope}_{N}(\mathbb {R} ^{N}),\,\,\forall i\in \mathbb {N} _{N},\,\,c_{i,N}(P_{N})={\frac {{\mathcal {L}}_{N-i,N}(P_{N})}{\beta (N-i)}}}$

où $\displaystyle {\forall i\in \mathbb {N} _{N},\,\,\beta (i)={vol}^{i}{\Big (}{\overline {B_{\mathbb {R} ^{i}}(O_{i},1)}}{\Big )}}$

où $\forall i\in \mathbb {N} _{N},\,\,O_{i}$ est l'origine du repère orthonormé ${\cal {R}}_{i}$ de $\mathbb {R} ^{i}$

et où ${\forall P_{N}\in {{\cal {P}}olytope}_{N}(\mathbb {R} ^{N}),\,\,{\Big (}{\mathcal {L}}_{i,N}(P_{N}){\Big )}}_{i\in \mathbb {N} _{N}}$ est la suite de coefficients donnée par la formule de Steiner-Minkowski

et où $\forall i\in \mathbb {N} _{N},\,\,{\cal {L}}_{i,N}\,\,:\,\,{{\cal {P}}olytope}_{N}(\mathbb {R} ^{N})\,\,\longrightarrow \,\,\mathbb {R} \,\,:\,\,P_{N}\,\,\longmapsto \,\,{\cal {L}}_{i,N}(P_{N})$

et où $\forall i\in \mathbb {N} _{N},\,\,c_{i,N}\,\,:\,\,{{\cal {P}}olytope}_{N}(\mathbb {R} ^{N})\,\,\longrightarrow \,\,\mathbb {R} \,\,:\,\,P_{N}\,\,\longmapsto \,\,c_{i,N}(P_{N})$ .

On a :

(*1-1) ${\forall i\in \mathbb {N} _{N},\,\,{\cal {L}}_{i,N}\in C^{0}{\Big (}{{\cal {P}}olytope}_{N}(\mathbb {R} ^{N}),\mathbb {R} {\Big )}}$ ,

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :

${{\Big (}{\widetilde {{\cal {L}}_{i,N}}}(A_{N}){\Big )}}_{i\in \mathbb {N} _{N}}\subset \mathbb {R}$ , telle que $\displaystyle {\forall i\in \mathbb {N} _{N},\,\,{\widetilde {{\cal {L}}_{i,N}}}(A_{N})={\widetilde {{\cal {L}}_{i,N}}}(\lim _{n\rightarrow +\infty }P_{N,n})=\displaystyle {\lim _{n\rightarrow +\infty }{\cal {L}}_{i,N}(P_{N,n})}}$ .

On a :

(*2-1) ${\forall i\in \mathbb {N} _{N},\,\,c_{i,N}\in C^{0}{\Big (}{{\cal {P}}olytope}_{N}(\mathbb {R} ^{N}),\mathbb {R} {\Big )}}$ ,

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :

${{\Big (}{\widetilde {c_{i,N}}}(A_{N}){\Big )}}_{i\in \mathbb {N} _{N}}\subset \mathbb {R}$ , telle que $\displaystyle {\forall i\in \mathbb {N} _{N},\,\,{\widetilde {c_{i,N}}}(A_{N})={\widetilde {c_{i,N}}}(\lim _{n\rightarrow +\infty }P_{N,n})=\displaystyle {\lim _{n\rightarrow +\infty }c_{i,N}(P_{N,n})}}$ .

Et on a :

$\displaystyle {\forall i\in \mathbb {N} _{N},}$

$\displaystyle {\exists !{\widetilde {{\cal {L}}_{i,N}}}\in C^{0}{\Big (}{PV}_{N}(\mathbb {R} ^{N}),\mathbb {R} {\Big )}}$ ,

telle que $\displaystyle {{\widetilde {{\cal {L}}_{i,N}}}_{|{{\cal {P}}olytope}_{N}(\mathbb {R} ^{N})}={\cal {L}}_{i,N}}$ ,

encore notée ${\cal {L}}_{i,N}$ ,

c'est l'application $\displaystyle {{\widetilde {{\cal {L}}_{i,N}}}\,\,:\,\,{PV}_{N}(\mathbb {R} ^{N})\,\,\longrightarrow \mathbb {R} \,\,:\,\,A_{N}\,\,\longmapsto \,\,{\widetilde {{\cal {L}}_{i,N}}}(A_{N})}$ , où ${\widetilde {{\cal {L}}_{i,N}}}(A_{N})$ a été défini, précédemment,

et

$\displaystyle {\forall i\in \mathbb {N} _{N},}$

$\displaystyle {\exists !{\widetilde {c_{i,N}}}\in C^{0}{\Big (}{PV}_{N}(\mathbb {R} ^{N}),\mathbb {R} {\Big )}}$ ,

telle que $\displaystyle {{\widetilde {c_{i,N}}}_{|{{\cal {P}}olytope}_{N}(\mathbb {R} ^{N})}=c_{i,N}}$ ,

encore notée $c_{i,N}$ ,

c'est l'application $\displaystyle {{\widetilde {c_{i,N}}}\,\,:\,\,{PV}_{N}(\mathbb {R} ^{N})\,\,\longrightarrow \mathbb {R} \,\,:\,\,A_{N}\,\,\longmapsto \,\,{\widetilde {c_{i,N}}}(A_{N})}$ , où ${\widetilde {c_{i,N}}}(A_{N})$ a été défini, précédemment.

et

$\exists !{\widetilde {{card}_{Q,N}}}\in C^{0}{\Big (}{PV}_{N}(\mathbb {R} ^{N}),F{\Big )}$ ,

telle que $\displaystyle {{\widetilde {{card}_{Q,N}}}_{|{{\cal {P}}olytope}_{N}(\mathbb {R} ^{N})}={card}_{Q,N}}$

et telle que $\forall {{\cal {R}}_{N}}'\,\,rep{\grave {e}}re\,\,orthonorm{\acute {e}}\,\,de\,\,\mathbb {R} ^{N},\,\,{{card}_{Q,{{\cal {R}}_{N}}'}}_{{\Big |}{PV}_{N}(\mathbb {R} ^{N})}={\widetilde {{card}_{Q,N}}}$ ,

encore notée, ${card}_{Q,N}$ ,

et telle que [comme, on a (*0-1), (*1-1) et (*2-1)] :

$\displaystyle {\forall A_{N}\in {PV}_{N}(\mathbb {R} ^{N})},$ $\displaystyle {\exists {(P_{N,n})}_{n\in \mathbb {N} }\subset {{\cal {P}}olytope}_{N}(\mathbb {R} ^{N})}$ telle que $\displaystyle {A_{N}=\lim _{n\rightarrow +\infty }P_{N,n},}$

$\displaystyle {{\widetilde {{card}_{Q,N}}}(A_{N})={\widetilde {{card}_{Q,N}}}(\lim _{n\rightarrow +\infty }P_{N,n})=\lim _{n\rightarrow +\infty }{card}_{Q,N}(P_{N,n})=\lim _{n\rightarrow +\infty }\sum _{i\in \mathbb {N} _{N}}c_{i,N}(P_{N,n})\,\,{card}_{Q,1}^{i}([0,1[)}$

$\displaystyle {=\sum _{i\in \mathbb {N} _{N}}\lim _{n\rightarrow +\infty }c_{i,N}(P_{N,n})\,\,{card}_{Q,1}^{i}([0,1[)=\sum _{i\in \mathbb {N} _{N}}{\widetilde {c_{i,N}}}(\lim _{n\rightarrow +\infty }P_{N,n})\,\,{card}_{Q,1}^{i}([0,1[)=\sum _{i\in \mathbb {N} _{N}}{\widetilde {c_{i,N}}}(A_{N})\,\,{card}_{Q,1}^{i}([0,1[)=\sum _{i\in \mathbb {N} _{N}}{\widetilde {c_{i,N}}}(A_{N})\,\,{\widetilde {{card}_{Q,1}}}^{i}([0,1[)}$ ,

c'est l'application ${\widetilde {{card}_{Q,N}}}\,\,:{PV}_{N}(\mathbb {R} ^{N})\,\,\longrightarrow \,\,F\,\,:\,\,A_{N}\,\,\mapsto \,\,{\widetilde {{card}_{Q,N}}}(A_{N})$ , avec ${\widetilde {{card}_{Q,N}}}(A_{N})$ défini précédemment,

et on a : ${\widetilde {{\cal {L}}_{0,N}}}(A_{N})={vol}^{N}(A_{N})$ , ${\widetilde {{\cal {L}}_{1,N}}}(A_{N})={vol}^{N-1}(\partial A_{N})$ et ${\widetilde {{\cal {L}}_{N,N}}}(A_{N})={vol}^{N}{\Big (}{\overline {B_{\mathbb {R} ^{N}}(O_{N},1)}}{\Big )}$

et ${\widetilde {c_{0,N}}}(A_{N})=1$

2) D'après la proposition précédente :

Soit $\displaystyle {A_{i}^{N}\in {PV}_{i}(\mathbb {R} ^{N})}$ , c'est-à-dire vérifiant les conditions MC, alors $\displaystyle {\exists {(P_{i,n}^{N})}_{n\in \mathbb {N} }\subset {{\cal {P}}olytope}_{i}(\mathbb {R} ^{N})}$ telle que $\displaystyle {A_{i}^{N}=\lim _{n\rightarrow +\infty }P_{i,n}^{N}}$

D'après le théorème précédent, on a : (*0-2) $\displaystyle {{card}_{Q,i}\in C^{0}{\Big (}{{\cal {P}}olytope}_{i}(\mathbb {R} ^{N}),F{\Big )}}$

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :

$\displaystyle {{\widetilde {{card}_{Q,i}}}(A_{i}^{N})={\widetilde {{card}_{Q,i}}}(\lim _{n\rightarrow +\infty }P_{i,n}^{N})=\displaystyle {\lim _{n\rightarrow +\infty }{card}_{Q,i}(P_{i,n}^{N})}}$ ,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite ${(P_{i,n}^{N})}_{n\in \mathbb {N} }$ choisie de la proposition précédente,

et comme $\displaystyle {\forall n\in \mathbb {N} ,\,\,{card}_{Q,i}(P_{i,n}^{N})=\sum _{j\in \mathbb {N} _{i}}c_{j,i}(P_{i,n}^{N})\,\,{card}_{Q,1}^{j}([0,1[)}$

où $\displaystyle {\forall i\in \mathbb {N} _{N},\,\,P_{i}^{N}\in {{\cal {P}}olytope}_{i}(\mathbb {R} ^{N}),\,\,\forall j\in \mathbb {N} _{i},\,\,c_{j,i}(P_{i}^{N})={\frac {{\mathcal {L}}_{i-j,i}(P_{i}^{N})}{\beta (i-j)}}}$

où $\displaystyle {\forall j\in \mathbb {N} _{i},\,\,\beta (j)={vol}^{j}{\Big (}{\overline {B_{\mathbb {R} ^{j}}(O_{j},1)}}{\Big )}}$

où $\forall j\in \mathbb {N} _{i},\,\,O_{j}$ est l'origine du repère orthonormé ${\cal {R}}_{j}$ de $\mathbb {R} ^{j}$

et où ${\forall P_{i}^{N}\in {{\cal {P}}olytope}_{i}(\mathbb {R} ^{N}),\,\,{\Big (}{\mathcal {L}}_{j,i}(P_{i}^{N}){\Big )}}_{j\in \mathbb {N} _{i}}$ est la suite de coefficients donnée par la formule de Steiner-Minkowski

et où $\forall j\in \mathbb {N} _{i},\,\,{\cal {L}}_{j,i}\,\,:\,\,{{\cal {P}}olytope}_{i}(\mathbb {R} ^{N})\,\,\longrightarrow \,\,\mathbb {R} \,\,:\,\,P_{i}^{N}\,\,\longmapsto \,\,{\cal {L}}_{j,i}(P_{i}^{N})$

et où $\forall j\in \mathbb {N} _{i},\,\,c_{j,i}\,\,:\,\,{{\cal {P}}olytope}_{i}(\mathbb {R} ^{N})\,\,\longrightarrow \,\,\mathbb {R} \,\,:\,\,P_{i}^{N}\,\,\longmapsto \,\,c_{j,i}(P_{i}^{N})$ .

On a :

(*1-2) ${\forall j\in \mathbb {N} _{i},\,\,{\cal {L}}_{j,i}\in C^{0}{\Big (}{{\cal {P}}olytope}_{i}(\mathbb {R} ^{N}),\mathbb {R} {\Big )}}$ ,

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :

${{\Big (}{\widetilde {{\cal {L}}_{j,i}}}(A_{i}^{N}){\Big )}}_{j\in \mathbb {N} _{i}}\subset \mathbb {R}$ , telle que $\displaystyle {\forall j\in \mathbb {N} _{i},\,\,{\widetilde {{\cal {L}}_{j,i}}}(A_{i}^{N})={\widetilde {{\cal {L}}_{j,i}}}(\lim _{n\rightarrow +\infty }P_{i,n}^{N})=\displaystyle {\lim _{n\rightarrow +\infty }{\cal {L}}_{j,i}(P_{i,n}^{N})}}$ .

On a :

(*2-2) ${\forall j\in \mathbb {N} _{i},\,\,c_{j,i}\in C^{0}{\Big (}{{\cal {P}}olytope}_{i}(\mathbb {R} ^{N}),\mathbb {R} {\Big )}}$ ,

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :

${{\Big (}{\widetilde {c_{j,i}}}(A_{i}^{N}){\Big )}}_{j\in \mathbb {N} _{i}}\subset \mathbb {R}$ , telle que $\displaystyle {\forall j\in \mathbb {N} _{i},\,\,{\widetilde {c_{j,i}}}(A_{i}^{N})={\widetilde {c_{j,i}}}(\lim _{n\rightarrow +\infty }P_{i,n}^{N})=\displaystyle {\lim _{n\rightarrow +\infty }c_{j,i}(P_{i,n}^{N})}}$ .

Et on a :

$\displaystyle {\forall j\in \mathbb {N} _{i},}$

$\displaystyle {\exists !{\widetilde {{\cal {L}}_{j,i}}}\in C^{0}{\Big (}{PV}_{i}(\mathbb {R} ^{N}),\mathbb {R} {\Big )}}$ ,

telle que $\displaystyle {{\widetilde {{\cal {L}}_{j,i}}}_{|{{\cal {P}}olytope}_{i}(\mathbb {R} ^{N})}={\cal {L}}_{j,i}}$ ,

encore notée ${\cal {L}}_{j,i}$ ,

c'est l'application $\displaystyle {{\widetilde {{\cal {L}}_{j,i}}}\,\,:\,\,{PV}_{i}(\mathbb {R} ^{N})\,\,\longrightarrow \mathbb {R} \,\,:\,\,A_{i}^{N}\,\,\longmapsto \,\,{\widetilde {{\cal {L}}_{j,i}}}(A_{i}^{N})}$ , où ${\widetilde {{\cal {L}}_{j,i}}}(A_{i}^{N})$ a été défini, précédemment,

et

$\displaystyle {\forall j\in \mathbb {N} _{i},}$

$\displaystyle {\exists !{\widetilde {c_{j,i}}}\in C^{0}{\Big (}{PV}_{i}(\mathbb {R} ^{N}),\mathbb {R} {\Big )}}$ ,

telle que $\displaystyle {{\widetilde {c_{j,i}}}_{|{{\cal {P}}olytope}_{i}(\mathbb {R} ^{N})}=c_{j,i}}$ ,

encore notée $c_{j,i}$ ,

c'est l'application $\displaystyle {{\widetilde {c_{j,i}}}\,\,:\,\,{PV}_{i}(\mathbb {R} ^{N})\,\,\longrightarrow \mathbb {R} \,\,:\,\,A_{N}\,\,\longmapsto \,\,{\widetilde {c_{j,i}}}(A_{i}^{N})}$ , où ${\widetilde {c_{j,i}}}(A_{i}^{N})$ a été défini, précédemment.

et

$\displaystyle {\exists !{\widetilde {{card}_{Q,i}}}\in C^{0}{\Big (}{PV}_{i}(\mathbb {R} ^{N}),F{\Big )}}$ ,

telle que $\displaystyle {{\widetilde {{card}_{Q,i}}}_{|{{\cal {P}}olytope}_{i}(\mathbb {R} ^{N})}={card}_{Q,i}}$

et telle que $\forall {{\cal {R}}_{N}}'\,\,rep{\grave {e}}re\,\,orthonorm{\acute {e}}\,\,de\,\,\mathbb {R} ^{N},\,\,{{card}_{Q,{{\cal {R}}_{N}}'}}_{{\Big |}{PV}_{i}(\mathbb {R} ^{N})}={\widetilde {{card}_{Q,i}}}$ ,

encore notée ${card}_{Q,i}$

et telle que [comme, on a (*0-2), (*1-2) et (*2-2)] :

$\forall i\in \mathbb {N} _{N},$

$\displaystyle {\forall A_{i}^{N}\in {PV}_{i}(\mathbb {R} ^{N})},$ $\displaystyle {\exists {(P_{i,n}^{N})}_{n\in \mathbb {N} }\subset {{\cal {P}}olytope}_{i}(\mathbb {R} ^{N})}$ telle que $\displaystyle {A_{i}^{N}=\lim _{n\rightarrow +\infty }P_{i,n}^{N},}$

$\displaystyle {{\widetilde {{card}_{Q,i}}}(A_{i}^{N})={\widetilde {{card}_{Q,i}}}(\lim _{n\rightarrow +\infty }P_{i,n}^{N})=\lim _{n\rightarrow +\infty }{card}_{Q,i}(P_{i,n}^{N})=\lim _{n\rightarrow +\infty }\sum _{j\in \mathbb {N} _{i}}c_{j,i}(P_{i,n}^{N})\,\,{card}_{Q,1}^{j}([0,1[)}$

$\displaystyle {=\sum _{j\in \mathbb {N} _{i}}\lim _{n\rightarrow +\infty }c_{j,i}(P_{i,n}^{N})\,\,{card}_{Q,1}^{j}([0,1[)=\sum _{j\in \mathbb {N} _{i}}{\widetilde {c_{j,i}}}(\lim _{n\rightarrow +\infty }P_{i,n}^{N})\,\,{card}_{Q,1}^{j}([0,1[)=\sum _{j\in \mathbb {N} _{i}}{\widetilde {c_{j,i}}}(A_{i}^{N})\,\,{card}_{Q,1}^{j}([0,1[)=\sum _{j\in \mathbb {N} _{i}}{\widetilde {c_{j,i}}}(A_{i}^{N})\,\,{\widetilde {{card}_{Q,1}}}^{j}([0,1[)}$ ,

c'est l'application $\displaystyle {{\widetilde {{card}_{Q,i}}}\,\,:{PV}_{i}(\mathbb {R} ^{N})\,\,\longrightarrow \,\,F:\,\,A_{i}^{N}\,\,\mapsto \,\,{\widetilde {{card}_{Q,i}}}(A_{i}^{N})}$ , avec ${\widetilde {{card}_{Q,i}}}(A_{i}^{N})$ défini précédemment,

et on a : ${\widetilde {{\cal {L}}_{0,i}}}(A_{i}^{N})={vol}^{i}(A_{i}^{N})$ , ${\widetilde {{\cal {L}}_{1,i}}}(A_{i}^{N})={vol}^{i-1}(\partial A_{i}^{N})$ et ${\widetilde {{\cal {L}}_{i,i}}}(A_{i}^{N})={vol}^{i}{\Big (}{\overline {B_{\mathbb {R} ^{i}}(O_{i},1)}}{\Big )}$

et ${\widetilde {c_{0,i}}}(A_{i}^{N})=1$

On peut aussi poser $\displaystyle {{\widetilde {{card}_{Q}}}:{PV}(\mathbb {R} ^{N})=\bigcup _{i\in \mathbb {N} _{N}}{PV}_{i}(\mathbb {R} ^{N})\longrightarrow F}$ ,

telle que $\displaystyle {{\widetilde {{card}_{Q}}}_{{\Big |}\displaystyle {{{\cal {P}}olytope}(\mathbb {R} ^{N})=\bigcup _{i\in \mathbb {N} _{N}}{{\cal {P}}olytope}_{i}(\mathbb {R} ^{N})}}={card_{Q}}}$

et telle que $\displaystyle {\forall i\in \mathbb {N} _{N},\,\,{\widetilde {{card}_{Q}}}_{{\Big |}{PV}_{i}(\mathbb {R} ^{N})}={\widetilde {{card}_{Q,i}}}}$

et telle que [comme, on a (*0-2), (*1-2) et (*2-2)] :

$\forall i\in \mathbb {N} _{N},$

$\displaystyle {\forall A_{i}^{N}\in {PV}_{i}(\mathbb {R} ^{N})},$ $\displaystyle {\exists {(P_{i,n}^{N})}_{n\in \mathbb {N} }\subset {{\cal {P}}olytope}_{i}(\mathbb {R} ^{N})}$ telle que $\displaystyle {A_{i}^{N}=\lim _{n\rightarrow +\infty }P_{i,n}^{N},}$

$\displaystyle {{\widetilde {{card}_{Q,i}}}(A_{i}^{N})={\widetilde {{card}_{Q,i}}}(\lim _{n\rightarrow +\infty }P_{i,n}^{N})=\lim _{n\rightarrow +\infty }{card}_{Q,i}(P_{i,n}^{N})=\lim _{n\rightarrow +\infty }\sum _{j\in \mathbb {N} _{i}}c_{j,i}(P_{i,n}^{N})\,\,{card}_{Q,1}^{j}([0,1[)}$

$\displaystyle {=\sum _{j\in \mathbb {N} _{i}}\lim _{n\rightarrow +\infty }c_{j,i}(P_{i,n}^{N})\,\,{card}_{Q,1}^{j}([0,1[)=\sum _{j\in \mathbb {N} _{i}}{\widetilde {c_{j,i}}}(\lim _{n\rightarrow +\infty }P_{i,n}^{N})\,\,{card}_{Q,1}^{j}([0,1[)=\sum _{j\in \mathbb {N} _{i}}{\widetilde {c_{j,i}}}(A_{i}^{N})\,\,{card}_{Q,1}^{j}([0,1[)=\sum _{j\in \mathbb {N} _{i}}{\widetilde {c_{j,i}}}(A_{i}^{N})\,\,{\widetilde {{card}_{Q,1}}}^{j}([0,1[)}$ ,

et notée, encore, ${card}_{Q}$ ,

La saga du "cardinal" version 4, Formule de Steiner-Minkowski, Volume mixte, Théorème de Hadwiger (voir supra)

Remarque :

Le corollaire précédent s'étend, très vraisemblablement, de manière analogue, aux parties compactes, convexes, (connexes) de ${\mathbb {R} ''}^{N}$ , de classe ( $C^{0}$ ) et ( $C^{1}$ par morceaux),

c'est-à-dire, en particulier, telles que ${\widetilde {diam}}(A_{N})\in \mathbb {R} ''$ c'est-à-dire telles que ${\widetilde {diam}}(A_{N})\leq 2(+\infty _{\mathbb {R} })$ ou ${\widetilde {diam}}(A_{N})\in +\infty _{{\cal {F}}(\mathbb {R} )}$ .

Exemples illustratifs de calculs, avec le cardinal quantitatif

Soit $N\in \mathbb {N} ^{*}$ .

Soit $\forall i\in \mathbb {N} _{N}^{*},\,\,{\cal {R}}_{i}$ un repère orthonormé direct de $\mathbb {R} ^{i}$ , d'origine $O_{i}{(0)}_{j\in \mathbb {N} _{i}^{*}}$ et ${\cal {R}}={\cal {R}}_{N}$ .

On désigne par $\forall i\in \mathbb {N} _{N}^{*},\,\,{card}_{Q,i}={card}_{Q,{\cal {R}}_{i}}$ , le cardinal quantitatif relatif au repère ${\cal {R}}_{i}$ et ${card}_{Q}={card}_{Q,{\cal {R}}}$ .

Remarque : La notion de cardinal quantitatif est une notion plus fine que celle de cardinal équipotentiel (ou de Cantor) : Elle l'affine.

Mais, on ne sait, pour le moment, la définir que sur une classe de parties bornées de $\mathbb {R} ^{n}$ , contrairement au cardinal équipotentiel, qui lui est défini pour toutes les parties de $\mathbb {R} ^{n}$ .

Remarque préliminaire 1

Soit $A\in {\cal {P}}(\mathbb {R} )$

Soient $f:A\longrightarrow \mathbb {R}$ ,

et $\displaystyle {G_{f}={\Big \{}(x,y)\in A\times \mathbb {R} {\Big |}y=f(x){\Big \}}}$ , le graphe de $f$

et ${epi}(f)={\Big \{}(x,y)\in A\times \mathbb {R} {\Big |}y\geq f(x){\Big \}}$ , l'épigraphe de $f$ :

1) Alors si $f(A)$ est fini dénombrable :

$\forall a\in \mathbb {R} _{+}^{*},\,\,{card}_{Q,1}{\Big (}(a.f)(A){\Big )}={card}_{Q,1}{\Big (}f(A){\Big )}$

2) ${card}_{Q,1}{\Big (}(0.f)(A){\Big )}={card}_{Q,1}(\{0\})=1\neq 0\,\,{card}_{Q,1}{\Big (}f(A){\Big )}=0$

3) ${card}_{Q,1}{\Big (}-f(A){\Big )}={card}_{Q,1}{\Big (}f(A){\Big )}$

4) Soient $f,g\,\,:A\,\,\longrightarrow \mathbb {R}$ .

a) $f\leq g\Longrightarrow {epi}(f)\supset {epi}(g)\Longrightarrow {card}_{Q,1}{\Big (}{epi}(f){\Big )}\geq {card}_{Q,1}{\Big (}{epi}(g){\Big )}$

b) Soit $B\subset A$ :

Comme $epi(f_{|B})\subset {epi}(f)$ , on a : ${card}_{Q,1}{\Big (}{epi}(f_{|B}){\Big )}\leq {card}_{Q,1}{\Big (}{epi}(f){\Big )}$

Proposition 2

Soit $N\in \mathbb {N} ^{*}$ .

Soit $A_{N}\in {PV}(\mathbb {R} ^{N})$ .

On pose $\forall i\in \mathbb {N} _{N},\,\,\beta (i)={vol}^{i}{\Big (}{\overline {B_{\mathbb {R} ^{i}}(O_{i},1)}}{\Big )}$

où $\forall i\in \mathbb {N} _{N},\,\,O_{i}$ est l'origine du repère orthonormé ${\cal {R}}_{i}$ de $\mathbb {R} ^{i}$ et ${\cal {R}}={\cal {R}}_{N}$ .

Soit ${{\Big (}{\cal {L}}_{i,N}(A_{N}){\Big )}}_{i\in \mathbb {N} _{N}}$ suite de coefficients définie dans le corollaire (voir supra).

On pose $\displaystyle {\forall i\in \mathbb {N} _{N},\,\,W_{i,N}(A_{N})={\frac {{\cal {L}}_{i,N}(A_{N})}{C_{N}^{i}}}}$ .

On pose $\displaystyle {\forall i\in \mathbb {N} _{N},\,\,c_{i,N}(A_{N})={\frac {{\cal {L}}_{N-i,N}(A_{N})}{\beta (N-i)}}}$ .

Alors on a :

$\displaystyle {{card}_{Q,N}(A_{N})=\sum _{i\in \mathbb {N} _{N}}c_{i,N}(A_{N})\,\,{card}_{Q,1}^{i}([0,1[)}$

et $\displaystyle {\forall i\in \mathbb {N} _{N},\,\,c_{i,N}(A_{N})={\frac {C_{N}^{i}\,\,W_{N-i,N}(A_{N})}{\beta (N-i)}}}$

et on a ${\cal {L}}_{0,N}(A_{N})={vol}^{N}(A_{N})$ , ${\cal {L}}_{1,N}(A_{N})={vol}^{N-1}(\partial A_{N})$ et ${\cal {L}}_{N,N}(A_{N})={vol}^{N}{\Big (}{\overline {B_{\mathbb {R} ^{N}}(O_{N},1)}}{\Big )}$

et $c_{0,N}(A_{N})=1$

La saga du "cardinal" version 4 (voir supra)

Proposition 3 (non fondamentale et que l'on peut zapper dans un 1er temps)

Soit $I$ un intervalle de $\mathbb {R}$

Pour tout $f\in {C^{1}}-{\cal {D}}iffeomorphisme(I,\mathbb {R} )$ , et

$\displaystyle {{card}_{Q,1}(G_{f})={card}_{Q,1}{\Big (}f(I){\Big )}}$

De plus, si $f$ est (peut-être bornée) (peut-être aussi convexe) :

$\displaystyle {{card}_{Q,1}(G_{f})={card}_{Q,1}{\Big (}f(I){\Big )}=\int _{I}d\,\,{card}_{Q,1}{\Big (}f(x'){\Big )}=\int _{I}f'(x')\,\,d\,\,{card}_{Q,1}(x')}$

Cette proposition est fausse, nous allons la corriger.

Soit $N\in \mathbb {N} ^{*}$

Soit ${PV^{-}}(\mathbb {R} ^{N})=\{{A_{N}}'\in {\cal {P}}(\mathbb {R} ^{N})|{A_{N}}'\,\,partie\,\,born{\acute {e}}e,\,\,convexe,\,\,(connexe)\,\,de\,\,\mathbb {R} ^{N}\,\,de\,\,classe\,\,(C^{0})\,\,et\,\,(C^{1}\,\,par\,\,morceaux)$

$et\,\,(vraisemblablement\,\,telle\,\,que\,\,dim({A_{N}}')=N)\}$ .

Soit $A\in {PV^{-}}(\mathbb {R} )$ , alors ${\overline {A}}\in {PV}(\mathbb {R} )$ .

Alors $\displaystyle {{card}_{Q,1}({\overline {A}})=c_{1,1}({\overline {A}})\,\,{card}_{Q,1}([0,1[)+c_{0,1}({\overline {A}})}$ .

Soit $f\,\,:\,\,\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,\,{card}_{Q,1}{\mbox{-}}mesurable$ .

Alors $\displaystyle {\int _{\mathbb {R} }f(x)\,\,d\,\,{card}_{Q,1}(x)={card}_{Q,1}([0,1[)\,\,\int _{\mathbb {R} }f(x)\,\,d\,\,c_{1,1}(x)+\int _{\mathbb {R} }f(x)\,\,d\,\,c_{0,1}(x)}$ .

Soit $B\in {\cal {P}}(\mathbb {R} )$ .

Si $f\,\,:\,\,\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,\,{card}_{Q,1}-mesurable$ , $g=f\,\,\mathbb {I} _{B}$ ,

alors $\displaystyle {\int _{\mathbb {R} }g(x)\,\,d\,\,{card}_{Q,1}(x)={card}_{Q,1}([0,1[)\,\,\int _{\mathbb {R} }g(x)\,\,d\,\,c_{1,1}(x)+\int _{\mathbb {R} }g(x)\,\,d\,\,c_{0,1}(x)}$ ,

c'est-à-dire $\displaystyle {\int _{\mathbb {R} }(f\,\,\mathbb {I} _{B})(x)\,\,d\,\,{card}_{Q,1}(x)={card}_{Q,1}([0,1[)\,\,\int _{\mathbb {R} }(f\,\,\mathbb {I} _{B})(x)\,\,d\,\,c_{1,1}(x)+\int _{\mathbb {R} }(f\,\,\mathbb {I} _{B})(x)\,\,d\,\,c_{0,1}(x)}$

c'est-à-dire $\displaystyle {\int _{B}f(x)\,\,d\,\,{card}_{Q,1}(x)={card}_{Q,1}([0,1[)\,\,\int _{B}f(x)\,\,d\,\,c_{1,1}(x)+\int _{B}f(x)\,\,d\,\,c_{0,1}(x)}$

Soit $f\in C^{1}-diff{\acute {e}}ormorphisme({\overline {A}},\mathbb {R} ),\,\,{card}_{Q,1}-mesurable$ .

On pose $\displaystyle {J=\int _{\overline {A}}f'(x)\,\,d\,\,{card}_{Q,1}(x)={card}_{Q,1}([0,1[)\,\,\underbrace {\int _{\overline {A}}f'(x)\,\,d\,\,c_{1,1}(x)} _{J_{1}}+\underbrace {\int _{\overline {A}}f'(x)\,\,d\,\,c_{0,1}(x)} _{J_{2}}}$

$\displaystyle {c_{i,N}({\overline {A}})={\frac {{\cal {L}}_{N-i,N}({\overline {A}})}{\beta (N-i)}}}$

Ici $N=1$ ,

$\displaystyle {c_{0,1}({\overline {A}})={\frac {{\cal {L}}_{1,1}({\overline {A}})}{\beta (1)}}={\frac {vol^{0}(\partial {\overline {A}})}{2}}={\frac {vol^{0}(\partial A)}{2}}}$

$\displaystyle {c_{1,1}({\overline {A}})={\frac {{\cal {L}}_{0,1}({\overline {A}})}{\beta (0)}}={vol}^{1}({\overline {A}})}$

$\displaystyle {J_{1}=\int _{\overline {A}}f'(x)\,\,d\,\,c_{1,1}(x)=\int _{\overline {A}}f'(x)\,\,d\,\,{vol}^{1}(x)=\int _{\overline {A}}d\,\,{vol}^{1}{\Big (}f(x){\Big )}=\int _{f({\overline {A}})}d\,\,{vol}^{1}(x)={vol}^{1}{\Big (}f({\overline {A}}){\Big )}}$

$=c_{1,1}{\Big (}f({\overline {A}}){\Big )}$

$\displaystyle {J_{2}=\int _{\overline {A}}f'(x)\,\,d\,\,c_{0,1}(x)=\int _{\partial A}f'(x)\,\,d\,\,{\frac {vol^{0}(x)}{2}}={\frac {1}{2}}\,\,\int _{\partial A}f'(x)\,\,d\,\,vol^{0}(x)}$

or ${\overline {A}}$ compact, connexe de $\mathbb {R}$ et $f'$ continue sur ${\overline {A}}$ donc ${f'}_{|{\overline {A}}}$ est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme $\exists a_{1},a_{2}\in {\overline {A}},\,\,\partial A=\{a_{1},a_{2}\}$ , $f'(\partial A)=\{f'(a_{1}),f'(a_{2})\}$

donc $\displaystyle {J_{2}={\frac {f'(a_{1})+f'(a_{2})}{2}}}$

or $\displaystyle {c_{0,1}{\Big (}f({\overline {A}}){\Big )}=\int _{f({\overline {A}})}\,\,d\,\,c_{0,1}(x)=\int _{\overline {A}}\,\,d\,\,c_{0,1}{\Big (}f(x){\Big )}=\int _{\partial A}d\,\,{\frac {vol^{0}{\Big (}f(x){\Big )}}{2}}={\frac {1}{2}}\,\,\int _{\partial A}d\,\,vol^{0}{\Big (}f(x){\Big )}}$

$\displaystyle {={\frac {1}{2}}\,\,\int _{f(\partial A)}d\,\,vol^{0}(x)={\frac {1}{2}}\,\,vol^{0}{\Big (}f(\partial A){\Big )}=1}$

car ${\overline {A}}$ compact, connexe de $\mathbb {R}$ , et $f\,\,C^{1}$ sur ${\overline {A}}$ donc continue sur ${\overline {A}}$ donc $f_{|{\overline {A}}}$ est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme $\partial A=\{a_{1},a_{2}\}$ , $f(\partial A)=\{f(a_{1}),f(a_{2})\}$

donc $\displaystyle {J_{2}\neq c_{0,1}{\Big (}f({\overline {A}}){\Big )}}$

donc $\displaystyle {J={card}_{Q,1}([0,1[)\,\,J_{1}+J_{2}\neq {card}_{Q,1}([0,1[)\,\,c_{1,1}{\Big (}f({\overline {A}}){\Big )}+c_{0,1}{\Big (}f({\overline {A}}){\Big )}={card}_{Q,1}{\Big (}f({\overline {A}}){\Big )}}$

donc $\displaystyle {{card}_{Q,1}{\Big (}f({\overline {A}}){\Big )}\neq \int _{\overline {A}}f'(x)\,\,d\,\,{card}_{Q,1}(x)}$

mais on a $\displaystyle {J_{2}={\Big (}\int _{\overline {A}}f'(x)\,\,d\,\,c_{0,1}(x){\Big )}\,\,c_{0,1}{\Big (}f({\overline {A}}){\Big )}}$

donc $\displaystyle {\int _{\overline {A}}f'(x)\,\,d\,\,{card}_{Q,1}(x)}$

$=J$

$\displaystyle {={card}_{Q,1}([0,1[)\,\,J_{1}+J_{2}}$

$\displaystyle {={card}_{Q,1}([0,1[)\,\,c_{1,1}{\Big (}f({\overline {A}}){\Big )}+{\Big (}\int _{\overline {A}}f'(x)\,\,d\,\,c_{0,1}(x){\Big )}\,\,c_{0,1}{\Big (}f({\overline {A}}){\Big )}}$

$\displaystyle {={\bigg (}{card}_{Q,1}([0,1[)\,\,c_{1,1}{\Big (}f({\overline {A}}){\Big )}+c_{0,1}{\Big (}f({\overline {A}}){\Big )}{\bigg )}+{\Big (}\int _{\overline {A}}f'(x)\,\,d\,\,c_{0,1}(x)-1{\Big )}\,\,c_{0,1}{\Big (}f({\overline {A}}){\Big )}}$

$\displaystyle {={card}_{Q,1}{\Big (}f({\overline {A}}){\Big )}+{\Big (}\int _{\overline {A}}f'(x)\,\,d\,\,c_{0,1}(x)-1{\Big )}\,\,c_{0,1}{\Big (}f({\overline {A}}){\Big )}}$

c'est-à-dire $\displaystyle {{card}_{Q,1}{\Big (}f({\overline {A}}){\Big )}=\int _{\overline {A}}f'(x)\,\,d\,\,{card}_{Q,1}(x)-{\Big (}\int _{\overline {A}}f'(x)\,\,d\,\,c_{0,1}(x)-1{\Big )}\,\,c_{0,1}{\Big (}f({\overline {A}}){\Big )}}$

c'est-à-dire $\displaystyle {{card}_{Q,1}{\Big (}f({\overline {A}}){\Big )}=\int _{\overline {A}}f'(x)\,\,d\,\,{card}_{Q,1}(x)-{\Big (}{\frac {f'(a_{1})+f'(a_{2})}{2}}-1{\Big )}\,\,c_{0,1}{\Big (}f({\overline {A}}){\Big )}}$

Vérification de la formule : $\displaystyle {{card}_{Q,1}{\Big (}f({\overline {A}}){\Big )}=c_{1,1}{\Big (}f({\overline {A}}){\Big )}\,\,{card}_{Q,1}([0,1[)+c_{0,1}{\Big (}f({\overline {A}}){\Big )}}$

On a : $\displaystyle {{\frac {{card}_{Q}{\Big (}f({\overline {A}}){\Big )}-1}{{card}_{Q,1}([0,1])-1}}={\frac {{vol}^{1}{\Big (}f({\overline {A}}){\Big )}}{{vol}^{1}([0,1])}}}$

donc

$\displaystyle {{card}_{Q,1}{\Big (}f({\overline {A}}){\Big )}}$

$\displaystyle {={\frac {{vol}^{1}{\Big (}f({\overline {A}}){\Big )}}{{vol}^{1}([0,1])}}\,\,{card}_{Q,1}([0,1])-{\frac {{vol}^{1}{\Big (}f({\overline {A}}){\Big )}}{{vol}^{1}([0,1])}}+1}$

$\displaystyle {={vol}^{1}{\Big (}f({\overline {A}}){\Big )}\,\,{card}_{Q,1}([0,1])-{vol}^{1}{\Big (}f({\overline {A}}){\Big )}+1}$

$\displaystyle {={vol}^{1}{\Big (}f({\overline {A}}){\Big )}\,\,{\Big (}{card}_{Q,1}([0,1[)+1{\Big )}-{vol}^{1}{\Big (}f({\overline {A}}){\Big )}+1}$

$\displaystyle {={vol}^{1}{\Big (}f({\overline {A}}){\Big )}\,\,{card}_{Q,1}([0,1[)+1}$

donc $\displaystyle {{card}_{Q,1}{\Big (}f({\overline {A}}){\Big )}={vol}^{1}{\Big (}f({\overline {A}}){\Big )}\,\,{card}_{Q,1}([0,1[)+1}$

c'est-à-dire $\displaystyle {{card}_{Q,1}{\Big (}f({\overline {A}}){\Big )}=c_{1,1}{\Big (}f({\overline {A}}){\Big )}\,\,{card}_{Q,1}([0,1[)+c_{0,1}{\Big (}f({\overline {A}}){\Big )}}$

Sous réserve : Attention, si ${\overline {A}}=[0,a_{2}]$ , comme $\displaystyle {\lim _{a_{2}\rightarrow \pm \infty }a_{2}}=\pm \infty$ :

Généralement on n'a pas : $\displaystyle {\lim _{a_{2}\rightarrow \pm \infty }{card}_{Q,1}([0,a_{2}])={card}_{Q,1}([0,\lim _{a_{2}\rightarrow \pm \infty }a_{2}])}$

Remarque importante 4

Si $f'(I)=\{0\}$ alors $f=C_{f}\in \mathbb {R}$ et $\displaystyle {{card}_{Q,1}(G_{f})={card}_{Q,1}(I)}$

En particulier si $I=\mathbb {R}$

$f'(\mathbb {R} )=\{0\}$ alors ${card}_{Q,1}(G_{f})={card}_{Q,1}(\mathbb {R} )$

Proposition 5

Soit $A\in {\cal {P}}(\mathbb {R} )$ : $\exists {(I_{i})}_{i\in \mathbb {Z} }$ partition de $A$ , telle que $\forall i\in \mathbb {Z}$ $I_{i}$ est soit un intervalle de $\mathbb {R}$ , soit un singleton de $\mathbb {R}$ , soit $\emptyset$ .

Soit $f\in {C^{1}}-{\cal {D}}iff{\acute {e}}omorphisme\,\,par\,\,morceaux(A,\mathbb {R} )$ .

Alors $\displaystyle {{card}_{Q,1}(G_{f})=\sum _{i\in \mathbb {Z} }{card}_{Q,1}{\Big (}f(I_{i}){\Big )}}$

Revenons aux parties bornées de $\mathbb {R} ^{n}$ , en particulier aux parties compactes, convexes, (connexes), de $\mathbb {R} ^{n}$ , avec $n=2$

$\forall n\in \mathbb {N} ^{*},\,\,\forall i\in \mathbb {N} _{n},\,\,{card}_{Q,i}$ est une mesure sur ${PV}_{i}(\mathbb {R} ^{n})$

où $\forall n\in \mathbb {N} ^{*},\,\,\forall i\in \mathbb {N} _{n},\,\,{PV}_{i}(\mathbb {R} ^{n})=\{A_{n,i}\in {PV}(\mathbb {R} ^{n})\,\,|\,\,{dim}(A_{n,i})=i\}$

donc :

${card}_{Q,2}{\Big (}{\overline {B_{\mathbb {R} ^{2}}(0,1)}}{\Big )}$

$\displaystyle {={card}_{Q,2}{\Bigg (}\bigcup _{x\in [-1,1]}{\bigg [}{\Big (}x,-{\sqrt {1-x^{2}}}{\Big )},{\Big (}x,{\sqrt {1-x^{2}}}{\Big )}{\bigg ]}{\Bigg )}}$

$\displaystyle {=\int _{[-1,1]}{card}_{Q,1}{\Bigg (}{\bigg [}{\Big (}x,-{\sqrt {1-x^{2}}}{\Big )},{\Big (}x,{\sqrt {1-x^{2}}}{\Big )}{\bigg ]}{\Bigg )}\,\,d\,\,{card}_{Q,1}(x)}$

$\displaystyle {=\int _{[-1,1]}{card}_{Q,1}{\bigg (}{\Big [}-{\sqrt {1-x^{2}}},{\sqrt {1-x^{2}}}{\Big ]}{\bigg )}\,\,d\,\,{card}_{Q,1}(x)}$

$\displaystyle {=\int _{]-1,1[}{card}_{Q,1}{\bigg (}{\Big [}-{\sqrt {1-x^{2}}},{\sqrt {1-x^{2}}}{\Big ]}{\bigg )}\,\,d\,\,{card}_{Q,1}(x)+2\,\,{card}_{Q,1}(\{0\})}$

$\displaystyle {=\int _{]-1,1[}{\Bigg (}{card}_{Q,1}{\bigg (}{\Big [}-{\sqrt {1-x^{2}}},{\sqrt {1-x^{2}}}{\Big [}{\bigg )}+1{\Bigg )}\,\,d\,\,{card}_{Q,1}(x)+2}$

$\displaystyle {=\int _{]-1,1[}{\Bigg (}{vol}^{1}{\bigg (}{\Big [}-{\sqrt {1-x^{2}}},{\sqrt {1-x^{2}}}{\Big [}{\bigg )}\,\,{card}_{Q,1}([0,1[)+1{\Bigg )}\,\,d\,\,{card}_{Q,1}(x)+2}$

$\displaystyle {=\int _{]-1,1[}{\Bigg (}2{\sqrt {1-x^{2}}}\,\,{card}_{Q,1}([0,1[)+1{\Bigg )}\,\,d\,\,{card}_{Q,1}(x)+2}$

$\displaystyle {=2\,\,{card}_{Q,1}([0,1[)\,\,\int _{]-1,1[}{\sqrt {1-x^{2}}}\,\,d\,\,{card}_{Q,1}(x)+\int _{]-1,1[}d\,\,{card}_{Q,1}(x)+2}$

$\displaystyle {=2\,\,{card}_{Q,1}([0,1[)\,\,\int _{]-1,1[}{\sqrt {1-x^{2}}}\,\,d\,\,{card}_{Q,1}(x)+{card}_{Q,1}(]-1,1[)+2}$

$\displaystyle {=2\,\,{card}_{Q,1}([0,1[)\,\,\int _{]-1,1[}{\sqrt {1-x^{2}}}\,\,d\,\,{card}_{Q,1}(x)+{card}_{Q,1}([-1,1[)-1+2}$

$\displaystyle {=2\,\,{card}_{Q,1}([0,1[)\,\,\int _{]-1,1[}{\sqrt {1-x^{2}}}\,\,d\,\,{card}_{Q,1}(x)+{vol}^{1}([-1,1[)\,\,{card}_{Q,1}([0,1[)+1}$

$\displaystyle {=2\,\,{card}_{Q,1}([0,1[)\,\,\int _{]-1,1[}{\sqrt {1-x^{2}}}\,\,d\,\,{card}_{Q,1}(x)+2\,\,{card}_{Q,1}([0,1[)+1}$

$\displaystyle {=2\,\,{card}_{Q,1}([0,1[)\,\,{\Big (}\int _{]-1,1[}{\sqrt {1-x^{2}}}\,\,d\,\,{card}_{Q,1}(x)+1{\Big )}+1}$

Or d'après l'un des PDF de Michel Coste :

$\displaystyle {{card}_{Q,2}{\Big (}{\overline {B_{\mathbb {R} ^{2}}(0,1)}}{\Big )}=\pi \,\,{card}_{Q,1}^{2}([0,1[)+\pi \,\,{card}_{Q,1}([0,1[)+1=\pi \,\,{card}_{Q,1}([0,1[)\,\,{\Big (}{card}_{Q,1}([0,1[)+1{\Big )}+1}$

donc $\displaystyle {2\,\,{card}_{Q,1}([0,1[)\,\,{\Big (}\int _{]-1,1[}{\sqrt {1-x^{2}}}\,\,d\,\,{card}_{Q,1}(x)+1{\Big )}+1=\pi \,\,{card}_{Q,1}([0,1[)\,\,{\Big (}{card}_{Q,1}([0,1[)+1{\Big )}+1}$

c'est-à-dire $\displaystyle {2\,\,{\Big (}\int _{]-1,1[}{\sqrt {1-x^{2}}}\,\,d\,\,{card}_{Q,1}(x)+1{\Big )}=\pi \,\,{\Big (}{card}_{Q,1}([0,1[)+1{\Big )}}$

c'est-à-dire $\displaystyle {\int _{]-1,1[}{\sqrt {1-x^{2}}}\,\,d\,\,{card}_{Q,1}(x)={\frac {\pi }{2}}\,\,{\Big (}{card}_{Q,1}([0,1[)+1{\Big )}-1={\frac {\pi }{2}}\,\,{card}_{Q,1}([0,1])-1}$

c'est-à-dire $\displaystyle {\int _{]-1,1[}{\sqrt {1-x^{2}}}\,\,d\,\,{card}_{Q,1}(x)={\Big (}\int _{]-1,1[}{\sqrt {1-x^{2}}}\,\,d\,\,{vol}^{1}(x){\Big )}\,\,{card}_{Q,1}([0,1])-1}$

c'est-à-dire $\displaystyle {\int _{]-1,1[}{\sqrt {1-x^{2}}}\,\,d\,\,{card}_{Q,1}(x)={\frac {\pi }{2}}\,\,{card}_{Q,1}([0,1[)+{\frac {\pi }{2}}-1}$

Décomposition d'une partie bornée de $\mathbb {R} ^{n}$

Soit $\mathbb {N} \in \mathbb {N} ^{*}$ .

Soit $n\in \mathbb {N} _{N}$ .

Soit $A_{n}\in {\cal {P}}(\mathbb {R} ^{N})$ , une sous-variété bornée, simplement connexe de $\mathbb {R} ^{N}$ , non vide, de dimension $n$ , dont le "bord" est non vide et de classe "non $C^{0}$ " sauf concernant $A_{0}$ .

Si $n\in \mathbb {N} _{N}$ , on pose ${''\partial ^{0}(A_{n})''}=_{def}A_{n}$ et si $n\in \mathbb {N} _{N}^{*}$ , on définit $A_{n-1}={''\partial ^{1}(A_{n})''}$ comme le "bord" de la sous-variété $A_{n}$ , en supposant que $A_{n-1}$ est une réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes de $\mathbb {R} ^{n}$ , non vides, de dimension $n-1$ , dont le "bord" est non vide et de classe "non $C^{0}$ "

(Si $n\in \mathbb {N} _{N}$ , on a ${''\partial ^{1}(A_{n})''}=A_{n}\setminus {\stackrel {\circ }{A_{n}}}$ . Le "bord" de n'importe quelle sous-variété bornée, simplement connexe, de $\mathbb {R} ^{n}$ , de dimension $0\leq m<n$ , se définit de manière analogue, mais je ne sais pas comment le définir, formellement)

et si $n\in \mathbb {N} _{N}^{*}$ , $\forall i\in \mathbb {N} _{n}^{*}$ , on définit $A_{n-i}={''\partial ^{i}(A_{n})''}=_{def}{''\partial ^{1}{\Big (}{''\partial ^{i-1}(A_{n})''}{\Big )}''}$ , en supposant que $A_{n-i}$ est une réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes de $\mathbb {R} ^{n}$ , non vides, de dimension $n-i$ , dont, sauf concernant $A_{0}$ , le "bord" est non vide et de classe "non $C^{0}$ ".

On a :

Si $n\in \mathbb {N} _{N}$ , $\displaystyle {A_{n}=\bigcup _{i\in \mathbb {N} _{n}^{*}}\underbrace {{\Big (}A_{n-(i-1)}\setminus A_{n-i}{\Big )}} _{{\text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, ouvertes, de}}\,\,\mathbb {R} ^{n}\,\,{\text{, non vides, de dimension}}\,\,n-(i-1)}\bigcup \underbrace {A_{0}} _{{\text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, de}}\,\,\mathbb {R} ^{n}\,\,{\text{, non vides, de dimension}}\,\,0,\,\,{\text{c'est-à-dire ensemble dénombrable}}}}$

et $\displaystyle {\forall i,j\in \mathbb {N} _{n+1}^{*},\,\,i\neq j,}$

$\displaystyle {{\Big (}A_{n-(i-1)}\setminus A_{n-i}{\Big )}\bigcap A_{0}=\emptyset }$

$\displaystyle {{\Big (}A_{n-(i-1)}\setminus A_{n-i}{\Big )}\bigcap {\Big (}A_{n-(j-1)}\setminus A_{n-j}{\Big )}=\emptyset }$ .

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Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet)

Cardinal quantitatif défini sur ${PV2}({\mathbb {R} }^{n})$

Préliminaires

Nouvelle notation concernant la notion de limite d'une famille de parties ${(A_{i})}_{i\in I}$ de $\mathbb {R} ^{n}$ dont la limite est une partie non bornée $A$ de $\mathbb {R} ^{n}$ , excluant la notation classique, et notion de plafonnement à l'infini " $[A,{(A_{i})}_{i\in I}]$ "

Soit $n\in \mathbb {N} ^{*}$ .

Soit $I$ est un ensemble totalement ordonné.

Soit $A$ une partie non bornée de $\mathbb {R} ^{n}$ .

Soit ${(A_{i})}_{i\in I}$ une famille de parties de $\mathbb {R} ^{n}$ telle que $\displaystyle {\lim _{i\,\,\rightarrow \,\,\sup(I)}A_{i}=A}$ .

Alors on exclut cette notation et on lui préfère la notation plus précise et dépendante de la famille ${(A_{i})}_{i\in I}$ , $\displaystyle {\lim _{i\in I,i\rightarrow \sup(I)}A_{i}={\Big [}A,{(A_{i})}_{i\in I}{\Big ]}}$ .

Motivation : Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant le cardinal quantitatif :

"Conjecture impliquant un plafonnement à l'infini " $[A,{(A_{i})}_{i\in I}]$ ", constitué d'une partie $A\in {PV2}(\mathbb {R} ^{n})$ , et d'une famille de parties ${(A_{i})}_{i\in I}\subset {PV}(\mathbb {R} ^{n})$ "

et qui servira

dans Résultats sur les intervalles $I$ de $\mathbb {R}$ ou de $\mathbb {R} ''$ , c'est-à-dire, en particulier, sur les parties de ${PV}(\mathbb {R} )$ ou de ${PV}(\mathbb {R} '')$ /Axiome de normalisation (à zapper dans un 1er temps)

dans Exemples illustratifs de calculs, avec le cardinal quantitatif/Exemples 1,

dans "Exemples illustratifs de calculs, avec le cardinal quantitatif/Exemples 2 ("Suite 1 Cardinal quantitatif de parties de $\mathbb {R} ^{n}$ (26)" )/2 calculs du cardinal quantitatif de $\mathbb {R} ^{2}$ aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements à l'infini, {associés à|de} $\mathbb {R} ^{2}$ , différents, autour de l'origine $O_{2}(0,0)$ d'un même repère orthonormé direct ${\cal {R}}_{2}$ de $\mathbb {R} ^{2}$ ",

dans "Plafonnement sphérique, à l'infini, {associé à|de} $\mathbb {R} ^{n}$ , autour de l'origine $O_{n}$ d'un repère orthonormé direct ${\cal {R_{n}}}$ de $\mathbb {R} ^{n}$ ",

et dans Tentatives de généralisation du cardinal quantitatif sur $\mathbb {R} ^{n}$ /Partie 1.

Définition de ${PV2}(\mathbb {R} ^{n})$

Soit $n\in \mathbb {N} ^{*}$

${PV2}(\mathbb {R} ^{n})$

$={\Big \{}{A}\in {\cal {P}}(\mathbb {R} ^{n})\,\,{\Big |}\,\,{A}\,\,sous{\text{-}}vari{\acute {e}}t{\acute {e}}\,\,ferm{\acute {e}}e,\,\,non\,\,born{\acute {e}}e,\,\,convexe,\,\,(connexe)\,\,de\,\,\mathbb {R} ^{n},\,\,de\,\,classe\,\,(C^{0})\,\,et\,\,(C^{1}\,\,par\,\,morceaux),\,\,ou\,\,sans\,\,bord{\Big \}}$

Construction

Conjecture impliquant un plafonnement à l'infini " $[A,{(A_{i})}_{i\in I}]$ ", constitué d'une partie $A\in {PV2}(\mathbb {R} ^{n})$ , et d'une famille de parties ${(A_{i})}_{i\in I}\subset {PV}(\mathbb {R} ^{n})$

Soit $n\in \mathbb {N} ^{*}$ .

Si $I$ est un ensemble totalement ordonné

et si $A\in {PV2}(\mathbb {R} ^{n})$ ,

et si ${(A_{i})}_{i\in I}$ , est une famille de parties de ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$ ,

telles que $\displaystyle {\lim _{i\in I,i\rightarrow \sup(I)}A_{i}={\Big [}A,{(A_{i})}_{i\in I}{\Big ]}}$ :

Alors : $card_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[A,(A_{i})_{i\in I}]{\Big )}=card_{Q,{\cal {R}}}(\lim _{i\in I,\,\,i\to \sup(I)}A_{i})=\lim _{i\in I,\,\,i\to \sup(I)}card_{Q,{\cal {R}}}(A_{i})$ .

Motivation : Avec cette notation non classique qui exclut la notation classique,

soit, ${(B_{i})}_{i\in I}$ , une famille de parties de ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$ , telle que $\{{(A_{i})}_{i\in I}\}\neq \{{(B_{i})}_{i\in I}\}$ et telle que $\exists i_{0}\in I,\,\,\forall i\in I,\,\,i\geq i_{0},\,\,A_{i}\neq B_{i}$ , et, plus précisément, telle que $\exists i_{0}\in I,\,\,\forall i\in I,\,\,i\geq i_{0},\,\,A_{i}\subsetneq B_{i}$ ,

et telle que $\displaystyle {\lim _{i\in I,i\rightarrow \sup(I)}B_{i}={\Big [}A,{(B_{i})}_{i\in I}{\Big ]}}$ ,

alors on a : ${\Big [}A,{(A_{i})}_{i\in I}{\Big ]}\neq {\Big [}A,{(B_{i})}_{i\in I}{\Big ]}$

(Je sais, il faudrait définir une relation d'inclusion et même une relation d'égalité, sur la classe de ces objets, pour pouvoir comparer ces objets, entre eux.)

et $card_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[A,(A_{i})_{i\in I}]{\Big )}=card_{Q,{\cal {R}}}(\lim _{i\in I,\,\,i\to \sup(I)}A_{i})=\lim _{i\in I,\,\,i\to \sup(I)}card_{Q,{\cal {R}}}(A_{i})\neq \lim _{i\in I,\,\,i\to \sup(I)}card_{Q,{\cal {R}}}(B_{i})=card_{Q,{\cal {R}}}(\lim _{i\in I,\,\,i\to \sup(I)}B_{i})=card_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[A,(B_{i})_{i\in I}]{\Big )}$ ,

et il n'y a aucune contradiction,

alors qu'avec la notation classique, on aurait eu :

$card_{Q,{\cal {R}}}(A)=card_{Q,{\cal {R}}}(\lim _{i\in I,\,\,i\to \sup(I)}A_{i})=\lim _{i\in I,\,\,i\to \sup(I)}card_{Q,{\cal {R}}}(A_{i})\neq \lim _{i\in I,\,\,i\to \sup(I)}card_{Q,{\cal {R}}}(B_{i})=card_{Q,{\cal {R}}}(\lim _{i\in I,\,\,i\to \sup(I)}B_{i})=card_{Q,{\cal {R}}}(A)$ ,

c'est-à-dire une contradiction.

Conjecture qui servira

dans Résultats sur les intervalles $I$ de $\mathbb {R}$ ou de $\mathbb {R} ''$ , c'est-à-dire, en particulier, sur les parties de ${PV}(\mathbb {R} )$ ou de ${PV}(\mathbb {R} '')$ /Axiome de normalisation (à zapper dans un 1er temps)

dans Exemples illustratifs de calculs, avec le cardinal quantitatif/Exemples 1,

dans "Exemples illustratifs de calculs, avec le cardinal quantitatif/Exemples 2 ("Suite 1 Cardinal quantitatif de parties de $\mathbb {R} ^{n}$ (26)" )/2 calculs du cardinal quantitatif de $\mathbb {R} ^{2}$ aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements à l'infini, {associés à|de} $\mathbb {R} ^{2}$ , différents, autour de l'origine $O_{2}(0,0)$ d'un même repère orthonormé direct ${\cal {R}}_{2}$ de $\mathbb {R} ^{2}$ ",

dans "Plafonnement sphérique, à l'infini, {associé à|de} $\mathbb {R} ^{n}$ , autour de l'origine $O_{n}$ d'un repère orthonormé direct ${\cal {R_{n}}}$ de $\mathbb {R} ^{n}$ ",

et dans Tentatives de généralisation du cardinal quantitatif sur $\mathbb {R} ^{n}$ /Partie 1.

Remarque (à propos de la $\sigma$ -additivité)

Soit $n\in \mathbb {N} ^{*}$ .

1) ${card}_{Q,{\cal {R}}}$ est une mesure, sur la tribu ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$ .

2) ${card}_{Q,{\cal {R}}}$ ne peut être une mesure, au sens usuel, sur ${\cal {P}}({\mathbb {R} ^{n}})$ , car elle ne vérifie pas la $\sigma$ -additivité, en général.

3) ${card}_{Q,{\cal {R}}}$ ne vérifie pas la $\sigma$ -additivité, en général, sur ${\cal {P}}({\mathbb {R} }^{n})$ , car :

$\displaystyle {{\mathbb {R} }_{+}=\bigcup _{i\in {\mathbb {N} }^{*}}[i-1,i[\,\,{\mbox{et}}\,\,{\mathbb {R} }_{+}=\bigcup _{i\in {\mathbb {N} }^{*}}[2i-2,2i[}$ , qui sont toutes 2 des réunions disjointes,

et donc si ${card}_{Q,{\cal {R}}}$ était $\sigma$ -additive,

on aurait :

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\mathbb {R} }_{+})={card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}\bigcup _{i\in {\mathbb {N} }^{*}}[i-1,i[{\Big )}=\sum _{i\in {\mathbb {N} }^{*}}{card}_{Q,{\cal {R}}}([i-1,i[)=\sum _{i\in {\mathbb {N} }^{*}}{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)}$

$\displaystyle {={card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)\sum _{i\in {\mathbb {N} }^{*}}1={card}_{Q,{\cal {R}}}({\mathbb {N} }^{*})\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)}$

et on aurait aussi

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\mathbb {R} }_{+})={card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}\bigcup _{i\in {\mathbb {N} }^{*}}[2i-2,2i[{\Big )}=\sum _{i\in {\mathbb {N} }^{*}}{card}_{Q,{\cal {R}}}([2i-2,2i[)=\sum _{i\in {\mathbb {N} }^{*}}{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,2[)}$

$\displaystyle {={card}_{Q,{\cal {R}}}([0,2[)\sum _{i\in {\mathbb {N} }^{*}}1=2\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}({\mathbb {N} }^{*})\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)}$

Or ${card}_{Q,{\cal {R}}}({\mathbb {N} }^{*})\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)\neq 2\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}({\mathbb {N} }^{*})\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)$

et donc ${card}_{Q,{\cal {R}}}({\mathbb {R} }_{+})\neq {card}_{Q,{\cal {R}}}({\mathbb {R} }_{+})$ .

Contradiction :

Donc, ${card}_{Q,{\cal {R}}}$ n'est pas $\sigma$ -additive,

donc ce n'est pas une mesure au sens usuel.

Il y a peut-être quelques axiomes à ajouter dans le cas non borné et certains cas bornés.

Les résultats seront différents suivant le choix des plafonnements à l'infini de $\mathbb {R}$ autour de l'origine $O$ , du repère orthonormé ${\cal {R}}$ de $\mathbb {R}$ .

Réinterprétons les calculs ci-dessus, avec de nouvelles notations :

$\displaystyle {{\Big [}\mathbb {R} _{+},{([0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}=\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow +\infty }[0,p]=\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow +\infty }[0,p[=\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow +\infty }\bigcup _{i\in (\mathbb {N} \bigcap [0,p])\setminus \{0\}}[i-1,i[}$

$\displaystyle {=\bigcup _{i\in \displaystyle {\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow +\infty }(\mathbb {N} \bigcap [0,p])\setminus \{0\}}}[i-1,i[=\bigcup _{i\in {\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}\setminus \{0\}}[i-1,i[=\bigcup _{i\in {{\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}}^{*}}[i-1,i[}$

et

$\displaystyle {{\Big [}\mathbb {R} _{+},{([0,2p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}=\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow +\infty }[0,2p]=\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow +\infty }[0,2p[=\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow +\infty }\bigcup _{i\in (\mathbb {N} \bigcap [0,p])\setminus \{0\}}[2i-2,2i[}$

$\displaystyle {=\bigcup _{i\in \displaystyle {\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow +\infty }(\mathbb {N} \bigcap [0,p])\setminus \{0\}}}[2i-2,2i[=\bigcup _{i\in {\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}\setminus \{0\}}[2i-2,2i[=\bigcup _{i\in {{\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}}^{*}}[2i-2,2i[}$ ,

qui sont toutes 2 des réunions disjointes

et on a :

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {R} _{+},{([0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}={card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}\bigcup _{i\in {{\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}}^{*}}[i-1,i[{\Big )}=\sum _{i\in {{\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} ^{*}}{\Big ]}}^{*}}{card}_{Q,{\cal {R}}}([i-1,i[)}$

$\displaystyle {=\sum _{i\in {{\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}}^{*}}{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)={card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)\sum _{i\in {{\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}}^{*}}1={card}_{Q,{\cal {R}}}{\bigg (}{{\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}}^{*}{\bigg )}\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)}$

et on a aussi

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {R} _{+},{([0,2p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}={card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}\bigcup _{i\in {{\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}}^{*}}[2i-2,2i[{\Big )}=\sum _{i\in {{\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}}^{*}}{card}_{Q,{\cal {R}}}([2i-2,2i[)}$

$\displaystyle {=\sum _{i\in {{\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}}^{*}}{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,2[)={card}_{Q,{\cal {R}}}([0,2[)\sum _{i\in {{\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}}^{*}}1=2\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}{\bigg (}{{\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}}^{*}{\bigg )}\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)}$

Or ${card}_{Q,{\cal {R}}}{\bigg (}{{\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}}^{*}{\bigg )}\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)\neq 2\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}{\bigg (}{{\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}}^{*}{\bigg )}\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)$

et donc ${card}_{Q,{\cal {R}}}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {R} _{+},{([0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}\neq {card}_{Q,{\cal {R}}}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {R} _{+},{([0,2p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}$

et même ${card}_{Q,{\cal {R}}}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {R} _{+},{([0,2p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}=2\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {R} _{+},{([0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}$

et il n'y a aucune contradiction :

On a bien ${([0,p])}_{p\in \mathbb {N} }\neq {([0,2p])}_{p\in \mathbb {N} }$ .

$\color {blue}{\text{[Suite de la présente sous-section, à ne pas lire en 1ère lecture] :}}$

$\color {blue}{\text{Mais il y a quand même une interrogation :}}$

$\color {blue}{\text{A-t-on bien ? :}}$

$\color {blue}{\displaystyle {{\Big [}\mathbb {R} _{+},{([0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}=\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow +\infty }[0,p]=\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow +\infty }[0,p[={\Big [}\mathbb {R} _{+},{([0,p[)}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}}}$

$\color {blue}{\text{et}}$

$\color {blue}{\displaystyle {{\Big [}\mathbb {R} _{+},{([0,2p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}=\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow +\infty }[0,2p]=\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow +\infty }[0,2p[={\Big [}\mathbb {R} _{+},{([0,2p[)}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}}\,\,{\text{?}}}$ '

$\color {blue}{{\text{En tout cas, comme,}}\,\,\forall p\in \mathbb {N} ,\,\,[0,p[\subset [0,p]\,\,{\text{et}}\,\,[0,2p[\subset [0,2p]\,\,{\text{, on a :}}}$

$\color {blue}{\displaystyle {\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow +\infty }[0,p]\setminus [0,p[=\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow +\infty }\{p\}}\,\,{\text{, qui n'a pas de sens, puisque ce n'est ni une limite d'une suite croissante de parties de}}\,\,\mathbb {R} ,}$

$\color {blue}{{\text{ni une limite d'une suite décroissante de parties de}}\,\,\mathbb {R} }$ ,

$\color {blue}{\text{et}}$

$\color {blue}{\displaystyle {\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow +\infty }[0,2p]\setminus [0,2p[=\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow +\infty }\{2p\}}\,\,{\text{, qui n'a pas de sens, puisque ce n'est ni une limite d'une suite croissante de parties de}}\,\,\mathbb {R} }$ ,

$\color {blue}{{\text{ni une limite d'une suite décroissante de parties de}}\,\,\mathbb {R} }$ .

$\color {blue}{\text{et on a :}}$

$\color {blue}{\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {R} _{+},{([0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}-{card}_{Q,{\cal {R}}}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {R} _{+},{([0,p[)}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}={card}_{Q,{\cal {R}}}(\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow +\infty }[0,p])-{card}_{Q,{\cal {R}}}(\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow +\infty }[0,p[)}}$ ,

$\color {blue}{\displaystyle {=\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow +\infty }{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,p])-\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow +\infty }{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,p[)=\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow +\infty }{\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,p])-{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,p[){\Big )}=\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow +\infty }{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,p]\setminus [0,p[)}}$

$\color {blue}{\displaystyle {=\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow +\infty }{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{p\})=\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow +\infty }1=1\neq 0}}$

$\color {blue}{{\text{sous réserve que l'on ait :}}\,\,\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow +\infty }[0,p[)=\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow +\infty }{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,p[)}\,\,{\text{, ce qui n'est pas sûr,}}}$

$\color {blue}{{\text{donc, en partant de là :}}\,\,\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {R} _{+},{([0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}={card}_{Q,{\cal {R}}}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {R} _{+},{([0,p[)}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\Bigg )}+1\neq {card}_{Q,{\cal {R}}}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {R} _{+},{([0,p[)}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\Bigg )}}}$ ,

$\color {blue}{{\text{donc}}\,\,\displaystyle {{\Big [}\mathbb {R} _{+},{([0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}\neq {\Big [}\mathbb {R} _{+},{([0,p[)}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}}}$ ,

$\color {blue}{\text{et}}$

$\color {blue}{\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {R} _{+},{([0,2p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}-{card}_{Q,{\cal {R}}}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {R} _{+},{([0,2p[)}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}={card}_{Q,{\cal {R}}}(\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow +\infty }[0,2p])-{card}_{Q,{\cal {R}}}(\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow +\infty }[0,2p[)}}$ ,

$\color {blue}{\displaystyle {=\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow +\infty }{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,2p])-\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow +\infty }{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,2p[)=\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow +\infty }{\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,2p])-{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,2p[){\Big )}=\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow +\infty }{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,2p]\setminus [0,2p[)}}$

$\color {blue}{\displaystyle {=\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow +\infty }{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{2p\})=\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow +\infty }1=1\neq 0}}$

$\color {blue}{{\text{sous réserve que l'on ait :}}\,\,\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow +\infty }[0,2p[)=\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow +\infty }{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,2p[)}\,\,{\text{, ce qui n'est pas sûr,}}}$

$\color {blue}{{\text{donc, en partant de là :}}\,\,\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {R} _{+},{([0,2p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}={card}_{Q,{\cal {R}}}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {R} _{+},{([0,2p[)}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\Bigg )}+1\neq {card}_{Q,{\cal {R}}}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {R} _{+},{([0,2p[)}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\Bigg )}}}$ ,

$\color {blue}{{\text{donc}}\,\,\displaystyle {{\Big [}\mathbb {R} _{+},{([0,2p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}\neq {\Big [}\mathbb {R} _{+},{([0,2p[)}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}}}$ .

Axiomes concernant certains intervalles $I$ , non bornés, de $\mathbb {R}$ , et, en particulier, certaines parties de ${PV2}(\mathbb {R} )$

Axiome de normalisation

Remarque : J'hésite à omettre la notation " ${\widetilde {\,\,\,\,\,}}$ " concernant les objets suivants : ${\widetilde {{vol}^{1}}}$ ou ${\widetilde {diam}}$ .

Soit $n\in \mathbb {N} ^{*}$ .

En posant :

$R_{+}={\Big [}\mathbb {R} _{+},{([0,r])}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}$

$\displaystyle {N={\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}}$

$\displaystyle {N^{*}=N\setminus \{0\}}$

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{+})={card}_{Q,{\cal {R}}}(N^{*})\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)={\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}}(N)-1{\Big )}\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)={\widetilde {{vol}^{1}}}(R_{+})\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)}$

Axiome

Remarque : J'hésite à omettre la notation " ${\widetilde {\,\,\,\,\,\,}}$ " concernant les objets suivants : ${\widetilde {{vol}^{1}}}$ ou ${\widetilde {diam}}$ .

En posant :

$R={\Big [}\mathbb {R} ,{([-r,r])}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}$

$R_{+}={\Big [}\mathbb {R} _{+},{([0,r])}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}$

$R_{-}={\Big [}\mathbb {R} _{-},{([-r,0])}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}$

$R_{+}^{*}=R_{+}\setminus \{0\}$

$R_{-}^{*}=R_{-}\setminus \{0\}$

$\displaystyle {N={\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}}$

$\displaystyle {N^{*}=N\setminus \{0\}}$

$\displaystyle {-N={\Big [}-\mathbb {N} ,{(-\mathbb {N} \bigcap [-p,0])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}}$

$\displaystyle {-N^{*}=-N\setminus \{0\}}$

$\displaystyle {Z={\Big [}\mathbb {Z} ,{(\mathbb {Z} \bigcap [-p,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}}$

$\displaystyle {Z^{*}=Z\setminus \{0\}}$

${card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{-}^{*})={card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{+}^{*})$

Donc, comme $\displaystyle {R=R_{-}^{*}\bigcup \{0\}\bigcup R_{+}^{*}}$ et que cete réunion est disjointe, on a :

${card}_{Q,{\cal {R}}}(R)$

$={card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{-}^{*})+{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{0\})+{card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{+}^{*})$

$=2\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{+}^{*})+{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{0\})$

[c'est-à-dire $=2\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{+}^{*})+1$ ]

$=2\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}({R}_{+}\setminus \{0\})+{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{0\})$

$=2\,\,{\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{+})-{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{0\}){\Big )}+{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{0\})$

$=2\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{+})-{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{0\})$

$=2\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{+})-1$

On remarque que :

${card}_{Q,{\cal {R}}}(R)={card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{-}^{*})+{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{0\})+{card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{+}^{*})$

et ${card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{-}^{*})={card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{+}^{*})$

et ${card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{+})={card}_{Q,{\cal {R}}}(N^{*})\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)$

et ${card}_{Q,{\cal {R}}}(-N^{*})={card}_{Q,{\cal {R}}}(N^{*})$

et $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(Z^{*})={card}_{Q,{\cal {R}}}(-N^{*}\bigcup N^{*})={card}_{Q,{\cal {R}}}(-N^{*})+{card}_{Q,{\cal {R}}}(N^{*})=2\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(N^{*})}$

donc ${card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{+}^{*})={card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{+})-1={card}_{Q,{\cal {R}}}(N^{*})\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)-1={card}_{Q,{\cal {R}}}(N^{*})\,\,{\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,1[)+1{\Big )}-1$

donc $\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{+}^{*})+1}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,1[)+1}}={card}_{Q,{\cal {R}}}(N^{*})={card}_{Q,{\cal {R}}}(N)-1}$

et ${card}_{Q,{\cal {R}}}(R)={card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{-}^{*})+{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{0\})+{card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{+}^{*})=2\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{+}^{*})+1=2\,\,{\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{+})-1{\Big )}+1=2\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{+})-1$

$=2\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(N^{*})\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)-1={card}_{Q,{\cal {R}}}(Z^{*})\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)-1={card}_{Q,{\cal {R}}}(Z^{*})\,\,{\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,1[)+1{\Big )}-1$

donc $\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(R)+1}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,1[)+1}}={card}_{Q,{\cal {R}}}(Z^{*})={card}_{Q,{\cal {R}}}(Z)-1}$

Tout le reste, sauf un axiome, se déduit des axiomes et propositions précédents :

Remarque : J'hésite à omettre la notation " ${\widetilde {\,\,\,\,\,\,}}$ " concernant les objets suivants : ${\widetilde {{vol}^{1}}}$ ou ${\widetilde {diam}}$ .

On pose : ${R}_{+}={\Big [}{\mathbb {R} }_{+},{([0,r])}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}$ et $N={\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}$ .

On pose : $]a,+\infty _{\mathbb {R} }[={R}_{+}\setminus [0,a]$ .

Soit $a,b\in \mathbb {R} \,\,:\,\,a\leq b$

alors $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(]a,+\infty _{\mathbb {R} }[)={card}_{Q,{\cal {R}}}(]a,b])+{card}_{Q,{\cal {R}}}(]b,+\infty _{\mathbb {R} }[)}$

${card}_{Q,{\cal {R}}}(R)$

$=2\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}({R}_{+})-1$

$=2\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}({N}^{*})\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)-1$

$=2\,\,{\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}}(N)-1{\Big )}\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)-1$

Axiome

Remarque : J'hésite à omettre la notation " ${\widetilde {\,\,\,\,\,}}$ " concernant les objets suivants : ${\widetilde {{vol}^{1}}}$ ou ${\widetilde {diam}}$ .

On pose : ${R}_{+}={\Big [}{\mathbb {R} }_{+},{([0,r])}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}$ et $N={\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}$ .

Soit $a\in \mathbb {R} _{+}$

On pose : $[a,+\infty _{\mathbb {R} }[={R}_{+}\setminus [0,a[$ .

On a :

${card}_{Q,{\cal {R}}}([a,+\infty _{\mathbb {R} }[)$

$={card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{+})-{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,a[)$

$={card}_{Q,{\cal {R}}}(N^{*})\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)-a\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)$

donc ${card}_{Q,{\cal {R}}}(]a,+\infty _{\mathbb {R} }[)+1={\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}}(N^{*})-a{\Big )}\,\,{\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,1[)+1{\Big )}$

donc $\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(]a,+\infty _{\mathbb {R} }[)+1}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,1[)+1}}={card}_{Q,{\cal {R}}}(N^{*})-a}$

Soit $a\in \mathbb {R} _{-}$

On pose : $[a,+\infty _{\mathbb {R} }[={R}_{+}\bigcup [a,0[$ .

On a :

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}([a,+\infty _{\mathbb {R} }[)}$

$={card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{+})+{card}_{Q,{\cal {R}}}([a,0[)$

$={card}_{Q,{\cal {R}}}(N'^{*})\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)-a\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)$

donc ${card}_{Q,{\cal {R}}}(]a,+\infty _{\mathbb {R} }[)+1={\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}}(N^{*})-a{\Big )}\,\,{\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,1[)+1{\Big )}$

donc $\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(]a,+\infty _{\mathbb {R} }[)+1}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,1[)+1}}={card}_{Q,{\cal {R}}}(N^{*})-a}$

Soit $a\in \mathbb {R}$

$\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(]a,+\infty _{\mathbb {R} }[)+1}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,1[)+1}}={card}_{Q,{\cal {R}}}(N^{*})-a}$

Soit $a\in \mathbb {R}$

On a : $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}([a,+\infty _{\mathbb {R} }[)={card}_{Q,{\cal {R}}}(]-\infty _{\mathbb {R} },-a])}$

On en déduit que $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(]a,+\infty _{\mathbb {R} }[)={card}_{Q,{\cal {R}}}(]-\infty _{\mathbb {R} },-a[)}$

Exemples illustratifs de calculs, avec le cardinal quantitatif

Exemples 1

NB : Matheux philosophe, c'est moi, Guillaume FOUCART.

[Citation de "Matheux philosophe"]

[Citation de "bolza"]

"L'infini" de l'intervalle $[0,1]$ est-il plus grand que "l'infini" de l'intervalle $[0,10]$ ?

Là encore intuitivement je comprends parfaitement qu'on puisse penser "oui".

Et effectivement on pourrait se dire qu'il y a beaucoup plus de quantité de matière dans un fil de $10\,\,cm$ que dans un fil de $1\,\,cm$ .

Le problème c'est que la quantité de matière dans un fil de $10\,\,cm$ (ou de $1\,\,cm$ ) est un nombre fini.

En effet, ils sont constitués d'un nombre fini d'atomes.

On compare donc ici deux ensembles finis dont un est plus grand que l'autre.

Mais entre ces atomes, il y a beaucoup de vide.

Pour que le fil corresponde exactement à la notion mathématiques d'intervalle, il faudrait rajouter plein plein d'atomes pour combler ce vide et tous les relier entre eux, et ce nombre d'atomes que l'on doit rajouter, c'est une infinité.

Et il se trouve que le nombre d'atomes à rajouter pour le fil de $10\,\,cm$ et pour le fil de $1\,\,cm$ c'est la "même" infinité.

(car, il y a une bijection entre $[0,1]$ et $[0,10]$ et je n'ai pas besoin de l'axiome du choix pour la donner.

Une bijection ça veut dire que l'on a une correspondance un à un entre les éléments des deux ensembles)

Bon je ne sais pas si tout cela t'a convaincu, mais les intervalles $[0,1]$ et $[0,10]$ ont bien "autant" de points l'un l'autre au sens qui a été défini par les mathématiciens.

Ensuite tu peux très bien essayer de définir une fonction qui a des propriétés plus "intuitives" sur la façon de "quantifier" les ensembles, mais je crois que cela existe déjà, ça s'appelle la "longueur".

En effet la longueur de l'intervalle $[0,1]$ , c'est $1$ et la longueur de l'intervalle $[0,10]$ c'est $10$ , et $10>1$ .

En fait je crois que tu confonds les notions de "cardinalité" et de "grandeur".

P.S : Pour bien comprendre la différence, imagine un fil élastique.

Tu tends le fil de façon à ce qu'il ait une longueur de $1\,\,cm$ , ensuite tu l'étires jusqu'à atteindre une longueur de $10\,\,cm$ , quand tu es passé de $1$ à $10\,\,cm$ , tu n'as pas changé le nombre de "point" (le "cardinal") de l'élastique, tu as seulement changé sa longueur.

[Fin Citation de "bolza"]

Soit $n\in \mathbb {N} ^{*}$ .

NB : Le cas d'une classe de parties bornées de $\mathbb {R} ^{n}$ , c'est-à-dire de la classe des parties compactes, convexes, (connexes) de $\mathbb {R} ^{n}$ , de classe $C^{1}$ par morceaux, a été traité, entièrement, par Michel Coste, et il ne correspond pas aux intuitions de bolza.

NB : Cf. aussi page 2 de cette discussion, message du 10 août 2015 17:36, en étant logué, ainsi que les quelques messages qui lui succèdent, sur certaines précautions à prendre, étant donné que ${card}_{Q}$ n'est pas une mesure au sens usuel sur $\mathbb {R} ^{n}$ , en cherchant à définir la notion de partition acceptable ou admissible ou éligible pour pouvoir mener à bien, les calculs avec le cardinal quantitatif, sans obtenir de contradiction.

Soit $\forall i\in \mathbb {N} _{n}^{*},\,\,{\cal {R}}_{i}$ un repère orthonormé direct de $\mathbb {R} ^{i}$ , d'origine $O_{i}{(0)}_{j\in \mathbb {N} _{i}^{*}}$ .

$\displaystyle {[0,10[=\bigcup _{i\in {\mathbb {N} }_{10}^{*}}[i-1,i[}$ et la réunion est disjointe.

Donc

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}([0,10[)={card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}(\bigcup _{i\in {\mathbb {N} }_{10}^{*}}[i-1,i[)=\sum _{i\in {\mathbb {N} }_{10}^{*}}{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}([i-1,i[)=\sum _{i\in {\mathbb {N} }_{10}^{*}}{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}([0,1[)={card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}([0,1[)\sum _{i\in {\mathbb {N} }_{10}^{*}}1=10\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}([0,1[)\neq {card}_{Q}([0,1[)}$

alors que

$\displaystyle {{card}_{E}([0,10[)={card}_{E}(\bigcup _{i\in {\mathbb {N} }_{10}^{*}}[i-1,i[)=\sum _{i\in {\mathbb {N} }_{10}^{*}}{card}_{E}([i-1,i[)=\sum _{i\in {\mathbb {N} }_{10}^{*}}{card}_{E}([0,1[)={card}_{E}([0,1[)\,\,\sum _{i\in {\mathbb {N} }_{10}^{*}}1=10\,\,{card}_{E}([0,1[)={card}_{E}([0,1[)}$

On considère le plafonnement carré, à l'infini de $\mathbb {R} ^{2}$ , autour de l'origine $O_{2}$ du repère orthonormé direct ${\cal {R}}_{2}$ : ${\Big [}\mathbb {R} ^{2},{({[-r,r]}^{2})}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}$ .

Dans ce qui suit, où les intégrales sont encore à définir et ${card}_{Q}$ n'est pas une mesure au sens usuel , on doit avoir et on cherche à avoir :

Cf. pour la définition de certains termes et le détail de certains calculs :

"2 calculs du cardinal quantitatif de $\mathbb {R} ^{2}$ aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements à l'infini, {associés à|de} $\mathbb {R} ^{2}$ , différents, autour de l'origine $O_{2}(0,0)$ d'un même repère orthonormé direct ${\cal {R}}_{2}$ de $\mathbb {R} ^{2}$ ."

On a : $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {R} ^{2},{({[-r,r]}^{2})}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}={card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}{\bigg (}{{\Big [}\mathbb {R} ,{({[-r,r]})}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}}^{2}{\bigg )}={{\Bigg (}{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {R} ,{({[-r,r]})}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}{\Bigg )}}^{2}>{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {R} ,{({[-r,r]})}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}}$

On peut retrouver cette formule de la façon suivante :

Comme $\displaystyle {{\Big [}\mathbb {R} ^{2},{({[-r,r]}^{2})}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}={{\Big [}\mathbb {R} ,{({[-r,r]})}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}}^{2}=\bigcup _{x\in {\Big [}\mathbb {R} ,{({[-r,r]})}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}}{\bigg \{}(x,y)\in {{\Big [}\mathbb {R} ,{({[-r,r]})}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}}^{2}{\bigg |}y\in {\Big [}\mathbb {R} ,{({[-r,r]})}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg \}}}$ et que la réunion est disjointe,

c'est-à-dire, en posant $\displaystyle {R={\Big [}\mathbb {R} ,{({[-r,r]})}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}}$ et $\displaystyle {R^{2}={{\Big [}\mathbb {R} ,{({[-r,r]})}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}}^{2}}$ ,

comme $\displaystyle {{\Big [}\mathbb {R} ^{2},{({[-r,r]}^{2})}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}=R^{2}=\bigcup _{x\in R}\{(x,y)\in R^{2}|y\in R\}}$ et que la réunion est disjointe,

on a :

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {R} ^{2},{({[-r,r]}^{2})}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}}$

$\displaystyle {={card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}{\bigg (}{{\Big [}\mathbb {R} ,{({[-r,r]})}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}}^{2}{\bigg )}}$

$\displaystyle {={card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}(R^{2})}$

$\displaystyle {={card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}{\Big (}\bigcup _{x\in R}\{(x,y)\in R^{2}|y\in R\}{\Big )}}$

$\displaystyle {=\int _{R}{card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}{\Big (}\{(x,y)\in R^{2}|y\in R\}{\Big )}\,\,d\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}(x)}$

$\displaystyle {=\int _{R}{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}(R)\,\,d\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}(x)}$

$\displaystyle {={card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}(R)\,\,\int _{R}\,\,d\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}(x)}$

$\displaystyle {={card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}(R)\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}(R)}$

$\displaystyle {={{\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}(R){\Big )}}^{2}}$

$\displaystyle {={card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}^{2}(R)}$

$\displaystyle {={card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}^{2}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {R} ,{({[-r,r]})}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}}$

$\displaystyle {>{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {R} ,{({[-r,r]})}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}}$

alors qu'on a : $\displaystyle {{card}_{E}({\mathbb {R} }^{2})={{\Big (}{card}_{E}(\mathbb {R} ){\Big )}}^{2}={card}_{E}(\mathbb {R} )}$

(Remarque : On aurait pu remplacer $\mathbb {R}$ par $[0,1]$ et ${\mathbb {R} }^{2}$ par ${[0,1]}^{2}$ .)

ou plus simple :

On a : $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}{\Bigg (}{\bigg [}\mathbb {N} ^{2},{{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}^{2}}_{p\in \mathbb {N} }{\bigg ]}{\Bigg )}={card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}{\bigg (}{{\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}}^{2}{\bigg )}={{\Bigg (}{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}{\Bigg )}}^{2}>{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}}$

On peut retrouver cette formule de la façon suivante :

Comme $\displaystyle {{\bigg [}\mathbb {N} ^{2},{{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}^{2}}_{p\in \mathbb {N} }{\bigg ]}={{\bigg [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\bigg ]}}^{2}=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }{\Bigg \{}(n,m)\in {{\bigg [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\bigg ]}}^{2}{\Bigg |}m\in {\bigg [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\bigg ]}{\Bigg \}}}$ et que la réunion est disjointe

c'est-à-dire en posant : $\displaystyle {N={\bigg [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\bigg ]}}$ et $\displaystyle {N^{2}={{\bigg [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\bigg ]}}^{2}}$

comme $\displaystyle {{\bigg [}\mathbb {N} ^{2},{{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}^{2}}_{p\in \mathbb {N} }{\bigg ]}=N^{2}=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\{(n,m)\in N^{2}|m\in N\}}$ et que la réunion est disjointe,

on a :

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}{\Bigg (}{{\bigg [}\mathbb {N} ^{2},{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}^{2}}_{p\in \mathbb {N} }{\bigg ]}{\Bigg )}}$

$\displaystyle {={card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}{\bigg (}{{\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}}^{2}{\bigg )}}$

$\displaystyle {={card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}(N^{2})}$

$\displaystyle {={card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}{\Big (}\bigcup _{n\in N}\{(n,m)\in N^{2}|m\in N\}{\Big )}}$

$\displaystyle {=\sum _{n\in N}{card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}{\Big (}\{(n,m)\in N^{2}|m\in N\}{\Big )}}$

$\displaystyle {=\sum _{n\in N}{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}(N)}$

$\displaystyle {={card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}(N)\,\,\sum _{n\in N}1}$

$\displaystyle {={card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}(N)\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}(N)}$

$\displaystyle {={{\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}(N){\Big )}}^{2}}$

$\displaystyle {={card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}^{2}(N)}$

$\displaystyle {={card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}^{2}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}}$

$\displaystyle {>{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}}$

alors qu'on a $\displaystyle {{card}_{E}({\mathbb {N} }^{2})={{\Big (}{card}_{E}(\mathbb {N} ){\Big )}}^{2}={card}_{E}(\mathbb {N} )}$

et plus généralement :

Soit $E'\in {\cal {P}}({\mathbb {R} }^{n})$ .

Si $\forall x\in E',\,\,A_{x}\in {\cal {P}}({\mathbb {R} }^{n})$ et $\displaystyle {\forall x,y\in E',\,\,x\neq y,\,\,A_{x}\bigcap A_{y}=\emptyset }$ et $\displaystyle {A=\bigcup _{x\in E'}A_{x}}$

alors $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}_{n}}(A)={card}_{Q,{\cal {R}}_{n}}{\Big (}\bigcup _{x\in E'}A_{x}{\Big )}=\int _{E'}{card}_{Q,{\cal {R}}_{n}}(A_{x})\,\,d\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{n}}(x)}$

alors que

$\displaystyle {(*)\,\,{card}_{E}(A)={card}_{E}{\Big (}\bigcup _{x\in E'}A_{x}{\Big )}=\int _{E'}{card}_{E}(A_{x})\,\,d\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{n}}(x)}$

Remarque : $\displaystyle {\exists E''\in {\cal {P}}(E')\,\,:\,\,E''=\{x\in E',\,\,A_{x}\neq \emptyset \}}$ et $\displaystyle {A=\bigcup _{x\in E''}A_{x}}$

Dans la suite de ce message, il y a vraisemblablement quelques précautions à prendre [et peut-être même dans ce qui précède concernant les égalités $(*)$ impliquant à la fois le cardinal quantitatif et le cardinal équipotentiel] :

Une égalité n'impliquant que des cardinaux quantitatifs ou que des cardinaux équipotentiels, n'a pas le même sens et la même interprétation qu'une égalité impliquant à la fois le cardinal équipotentiel et le cardinal quantitatif.

Comme d'une part, on a : $\displaystyle {{card}_{E}(\mathbb {R} ^{2})={card}_{E}(\mathbb {R} )}$

et d'autre part, on a :

${card}_{E}({\mathbb {R} }^{2})={card}_{E}(\bigcup _{x\in \mathbb {R} }\{(x,y)\in {\mathbb {R} }^{2}|y\in \mathbb {R} \})=\int _{\mathbb {R} }{card}_{E}(\{(x,y)\in {\mathbb {R} }^{2}|y\in \mathbb {R} \})\,\,d\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}(x)=\int _{\mathbb {R} }{card}_{E}(\mathbb {R} )\,\,d\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}(x)$ .

$\displaystyle {={card}_{E}(\mathbb {R} )\,\,\int _{\mathbb {R} }\,\,d\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}(x)={card}_{E}(\mathbb {R} )\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}(\mathbb {R} )}$

On obtient la formule :

$\displaystyle {{card}_{E}(\mathbb {R} )={card}_{E}(\mathbb {R} )\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}(\mathbb {R} )}$

[Fin de Citation de "Matheux philosophe"]

2 calculs du cardinal quantitatif de $\mathbb {R} ^{2}$ aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements à l'infini, {associés à|de} $\mathbb {R} ^{2}$ , différents, autour de l'origine $O_{2}(0,0)$ d'un même repère orthonormé direct ${\cal {R}}_{2}$ de $\mathbb {R} ^{2}$

Soit $n\in \mathbb {N} ^{*}$ et soit $\forall i\in \mathbb {N} _{n}^{*},\,\,{\cal {R}}_{i}$ est un repère orthonormé de $\mathbb {R} ^{i}$ d'origine $O_{i}{(0)}_{j\in \mathbb {N} _{i}^{*}}$ .

Remarque : J'hésite, ici, à utiliser la notation $+\infty _{\mathbb {R} }$ , plutôt que la notation usuelle $+\infty$ :

Bien que je veuille qu'elles désignent le même objet, je ne suis pas sûr que tel est bien le cas, et de fait leurs propriétés pourraient être différentes.

En effet, usuellement $\mathbb {R} =]-\infty ,+\infty [$ et ${\overline {\mathbb {R} }}=[-\infty ,+\infty ]$ ,

et dans ma théorie, $\displaystyle {\mathbb {R} =\bigcap _{c_{+}\in \mathbb {R} _{+}}]-\infty _{\mathbb {R} }+c_{+},+\infty _{\mathbb {R} }-c_{+}[\subsetneq ]-\infty _{\mathbb {R} },+\infty _{\mathbb {R} }[={\widetilde {\mathbb {R} }}\subsetneq [-\infty _{\mathbb {R} },+\infty _{\mathbb {R} }]={\overline {\widetilde {\mathbb {R} }}}}$ .

1) Suivant un plafonnement carré, à l'infini, autour de l'origine, suivant les 2 axes orthonormés $(O_{2}x)$ et $(O_{2}y)$ noté $\displaystyle {{\Big [}\mathbb {R} ^{2},{({[-r,r]}^{2})}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}}$ :

Ici, on considère que : $\displaystyle {{\Big [}\mathbb {R} ,{([-r,r])}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}=\lim _{r\in \mathbb {N} ,r\rightarrow +\infty }[-r,r]}$

et que : $\displaystyle {{\Big [}\mathbb {R} ^{2},{({[-r,r]}^{2})}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}=\lim _{r\in \mathbb {N} ,r\rightarrow +\infty }[-r,r]^{2}={{\Big (}\lim _{r\in \mathbb {N} ,r\rightarrow +\infty }[-r,r]{\Big )}}^{2}={{\Big [}\mathbb {R} ,{([-r,r])}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}}^{2}}$ .

On remarque :

D'une part, que

$\forall r\in \mathbb {N} ,\,\,[-r,r]$ partie compacte, convexe, (connexe), de $\mathbb {R}$ et boule particulière de $\mathbb {R}$

et $\displaystyle {\lim _{r\in \mathbb {N} ,r\rightarrow +\infty }[-r,r]={\Big [}\mathbb {R} ,{([-r,r])}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}}$

et d'autre part, que

$\forall r\in \mathbb {N} ,\,\,{[-r,r]}^{2}$ partie compacte, convexe, (connexe), de $\mathbb {R} ^{2}$ et boule particulière de $\mathbb {R} ^{2}$

et $\displaystyle {\lim _{r\in \mathbb {N} ,r\rightarrow +\infty }{[-r,r]}^{2}={\Big [}\mathbb {R} ^{2},{({[-r,r]}^{2})}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}}$

donc $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {R} ^{2},{({[-r,r]}^{2})}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}={card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}{\Big (}\lim _{r\in \mathbb {N} ,r\rightarrow +\infty }{[-r,r]}^{2}{\Big )}=\lim _{r\in \mathbb {N} ,r\rightarrow +\infty }{card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}{\Big (}{[-r,r]}^{2}{\Big )}=\lim _{r\in \mathbb {N} ,r\rightarrow +\infty }{{\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}([-r,r]){\Big )}}^{2}}$

$\displaystyle {={{\Big (}\lim _{r\in \mathbb {N} ,r\rightarrow +\infty }{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}([-r,r]){\Big )}}^{2}={{\bigg (}{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}{\Big (}\lim _{r\in \mathbb {N} ,r\rightarrow +\infty }[-r,r]{\Big )}{\bigg )}}^{2}={{\Bigg (}{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {R} ,{([-r,r])}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}{\Bigg )}}^{2}={card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}^{2}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {R} ,{([-r,r])}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}}$

2) Suivant un plafonnement sphérique, à l'infini, autour de l'origine, noté $\displaystyle {{\bigg [}\mathbb {R} ^{2},{{\Big (}{\overline {B_{\mathbb {R} ^{2}}(O_{2},r)}}{\Big )}}_{r\in \mathbb {N} }{\bigg ]}}$ :

Ici, on considère que : $\displaystyle {{\bigg [}\mathbb {R} ^{2},{{\Big (}{\overline {B_{\mathbb {R} ^{2}}(O_{2},r)}}{\Big )}}_{r\in \mathbb {N} }{\bigg ]}=\lim _{r\in \mathbb {N} ,r\rightarrow +\infty }{\overline {B_{\mathbb {R} ^{2}}(O_{2},r)}}{''=B_{\mathbb {R} ^{2}}(O_{2},+\infty )''}}$ .

On remarque que :

$\forall r\in \mathbb {N} ,\,\,{\overline {B_{\mathbb {R} ^{2}}(O_{2},r)}}$ partie compacte, convexe, (connexe), de $\mathbb {R} ^{2}$ et boule euclidienne de $\mathbb {R} ^{2}$

et $\displaystyle {\lim _{r\in \mathbb {N} ,r\rightarrow +\infty }{\overline {B_{\mathbb {R} ^{2}}(O_{2},r)}}={\bigg [}\mathbb {R} ^{2},{{\Big (}{\overline {B_{\mathbb {R} ^{2}}(O_{2},r)}}{\Big )}}_{r\in \mathbb {N} }{\bigg ]}}$

donc $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}{\Bigg (}{\bigg [}\mathbb {R} ^{2},{{\Big (}{\overline {B_{\mathbb {R} ^{2}}(O_{2},r)}}{\Big )}}_{r\in \mathbb {N} }{\bigg ]}{\Bigg )}={card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}{\Big (}\lim _{r\in \mathbb {N} ,r\rightarrow +\infty }{\overline {B_{\mathbb {R} ^{2}}(O_{2},r)}}{\Big )}=\lim _{r\in \mathbb {N} ,r\rightarrow +\infty }{card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}{\Big (}{\overline {B_{\mathbb {R} ^{2}}(O_{2},r)}}{\Big )}}$

$\forall r\in \mathbb {N} ,\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}{\Big (}{\overline {B_{\mathbb {R} ^{2}}(O_{2},r)}}{\Big )}=?$

Comme on sait que ${card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}{\Big (}{\overline {B_{\mathbb {R} ^{2}}(O_{2},1)}}{\Big )}=\pi \,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}^{2}([0,1[)+\pi \,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}([0,1[)+1$

et que

${card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}([0,1[)={card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}([0,1])-1$

${card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}({[0,1[}^{2})={card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}^{2}([0,1[)={{\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}([0,1])-1{\Big )}}^{2}={card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}^{2}([0,1])-2\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}([0,1])+1$ ,

on a ${card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}{\Big (}{\overline {B_{\mathbb {R} ^{2}}(O_{2},1)}}{\Big )}=\pi \,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}^{2}([0,1])-\pi \,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}([0,1])+1$ .

Je crois que $\forall r\in \mathbb {N} ,\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}{\Big (}{\overline {B_{\mathbb {R} ^{2}}(O_{2},r)}}{\Big )}=\pi \,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}^{2}([0,r])-\pi \,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}([0,r])+1$ , mais je n'en suis pas certain.

Partant de là :

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}{\Bigg (}{\bigg [}\mathbb {R} ^{2},{{\Big (}{\overline {B_{\mathbb {R} ^{2}}(O_{2},r)}}{\Big )}}_{r\in \mathbb {N} }{\bigg ]}{\Bigg )}}$

$\displaystyle {={card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}{\Big (}\lim _{r\in \mathbb {N} ,r\rightarrow +\infty }{\overline {B_{\mathbb {R} ^{2}}(O_{2},r)}}{\Big )}}$

$\displaystyle {=\lim _{r\in \mathbb {N} ,r\rightarrow +\infty }{card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}{\Big (}{\overline {B_{\mathbb {R} ^{2}}(O_{2},r)}}{\Big )}}$

$\displaystyle {=\lim _{r\in \mathbb {N} ,r\rightarrow +\infty }{\Big (}\pi \,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}^{2}([0,r])-\pi \,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}([0,r])+1{\Big )}}$

$\displaystyle {=\pi \,\,\lim _{r\in \mathbb {N} ,r\rightarrow +\infty }{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}^{2}([0,r])-\pi \,\,\lim _{r\in \mathbb {R} _{+},r\rightarrow +\infty }{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}([0,r])+1}$

$\displaystyle {=\pi \,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}^{2}{\Big (}\lim _{r\in \mathbb {N} ,r\rightarrow +\infty }[0,r]{\Big )}-\pi \,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}{\Big (}\lim _{r\in \mathbb {N} ,r\rightarrow +\infty }[0,r]{\Big )}+1}$

$\displaystyle {=\pi \,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}^{2}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {R} _{+},{([0,r])}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}-\pi \,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {R} _{+},{([0,r])}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}+1}$

$\displaystyle {={\frac {1}{4}}\pi \,\,{{\Bigg (}{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {R} ,{([-r,r])}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}+1{\Bigg )}}^{2}-{\frac {1}{2}}\pi \,\,{\Bigg (}{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {R} ,{([-r,r])}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}+1{\Bigg )}+1}$

$\displaystyle {={\frac {1}{4}}\pi \,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}^{2}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {R} ,{([-r,r])}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}-{\frac {1}{4}}\pi +1}$

$\displaystyle {\neq {card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}^{2}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {R} ,{([-r,r])}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}}$

$\displaystyle {={card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {R} ^{2},{({[-r,r]}^{2})}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}}$

$\color {blue}{\text{'''[Suite de la présente sous-section à ne pas lire, en 1ère approche] :'''}}$

$\color {blue}{\text{En quelque sorte, comme :}}$

$\color {blue}{\displaystyle {B_{\mathbb {R} ^{2}}(O_{2},0)=[-0,0]^{2}=\{(0,0)\}=\{O_{2}\}}}$

$\color {blue}{{\text{et donc}}\,\,\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}{\Big (}B_{\mathbb {R} ^{2}}(O_{2},0){\Big )}={card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}([-0,0]^{2})={card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}{\Big (}\{(0,0)\}{\Big )}={card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}(\{O_{2}\})}}$

$\color {blue}{{\text{et comme}}\,\,\forall r\in \mathbb {N} ^{*},\,\,{\overline {B_{\mathbb {R} ^{2}}(O_{2},r)}}\subsetneq {[-r,r]}^{2}}$

$\color {blue}{{\text{donc}}\,\,\displaystyle {\forall r\in \mathbb {N} ^{*},\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}([-r,r]^{2})-{card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}{\Big (}B_{\mathbb {R} ^{2}}(O_{2},r){\Big )}={card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}{[-r,r]}^{2}\setminus {\overline {B_{\mathbb {R} ^{2}}(O_{2},r)}}{\Big )}>0}}$ ,

$\color {blue}{{\text{et comme}}\,\,{{\bigg (}{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}{[-r,r]}^{2}\setminus {\overline {B_{\mathbb {R} ^{2}}(O_{2},r)}}{\Big )}{\bigg )}}_{r\in \mathbb {N} ^{*}}\,\,{\text{strictement croissante,}}}$

$\color {blue}{{\text{et comme}}\,\,\displaystyle {{\bigg [}\mathbb {R} ^{2},{{\Big (}{\overline {B_{\mathbb {R} ^{2}}(O_{2},r)}}{\Big )}}_{r\in \mathbb {N} }{\bigg ]}=\lim _{r\in \mathbb {N} ,r\rightarrow +\infty }{\overline {B_{\mathbb {R} ^{2}}(O_{2},r)}}=\lim _{r\in \mathbb {N} ^{*},r\rightarrow +\infty }{\overline {B_{\mathbb {R} ^{2}}(O_{2},r)}}={\bigg [}\mathbb {R} ^{2},{{\Big (}{\overline {B_{\mathbb {R} ^{2}}(O_{2},r)}}{\Big )}}_{r\in \mathbb {N} ^{*}}{\bigg ]}}}$

$\color {blue}{{\text{et comme}}\,\,\displaystyle {{\Big [}\mathbb {R} ^{2},{({[-r,r]}^{2})}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}=\lim _{r\in \mathbb {N} ,r\rightarrow +\infty }{[-r,r]}^{2}=\lim _{r\in \mathbb {N} ^{*},r\rightarrow +\infty }{[-r,r]}^{2}={\Big [}\mathbb {R} ^{2},{({[-r,r]}^{2})}_{r\in \mathbb {N} ^{*}}{\Big ]}}}$ ,

$\color {blue}{\text{on a :}}$

$\color {blue}{''\displaystyle {B_{\mathbb {R} ^{2}}(O_{2},+\infty )\subsetneq \mathbb {R} \times \mathbb {R} }''}$

$\color {blue}{\text{c'est-à-dire}}$

$\color {blue}{''\displaystyle {{\bigg [}\mathbb {R} ^{2},{{\Big (}{\overline {B_{\mathbb {R} ^{2}}(O_{2},r)}}{\Big )}}_{r\in \mathbb {N} ^{*}}{\bigg ]}\subsetneq {\Big [}\mathbb {R} ^{2},{({[-r,r]}^{2})}_{r\in \mathbb {N} ^{*}}{\Big ]}={{\Big [}\mathbb {R} ,{([-r,r])}_{r\in \mathbb {N} ^{*}}{\Big ]}}^{2}}''}$

donc $\color {blue}{''\displaystyle {{\bigg [}\mathbb {R} ^{2},{{\Big (}{\overline {B_{\mathbb {R} ^{2}}(O_{2},r)}}{\Big )}}_{r\in \mathbb {N} }{\bigg ]}\subsetneq {\Big [}\mathbb {R} ^{2},{({[-r,r]}^{2})}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}={{\Big [}\mathbb {R} ,{([-r,r])}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}}^{2}}''}$

$\color {blue}{\text{(et on peut peut-être supprimer les guillemets concernant la ligne ci-dessus),}}$

$\color {blue}{{\text{et donc}}\,\,\displaystyle {''{card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}{\Big (}B_{\mathbb {R} ^{2}}(O_{2},+\infty ){\Big )}<{card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}(\mathbb {R} \times \mathbb {R} )''}}$

$\color {blue}{{\text{c'est-à-dire}}\,\,\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}{\Bigg (}{\bigg [}\mathbb {R} ^{2},{{\Big (}{\overline {B_{\mathbb {R} ^{2}}(O_{2},r)}}{\Big )}}_{r\in \mathbb {N} }{\bigg ]}{\Bigg )}<{card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {R} ^{2},{({[-r,r]}^{2})}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}={card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}^{2}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {R} ,{([-r,r])}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}}}$

$\color {blue}{{\text{car}}\,\,\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {R} ^{2},{({[-r,r]}^{2})}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}-{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Bigg (}{\bigg [}\mathbb {R} ^{2},{{\Big (}{\overline {B_{\mathbb {R} ^{2}}(O_{2},r)}}{\Big )}}_{r\in \mathbb {N} }{\bigg ]}{\Bigg )}}}$

$\color {blue}{\displaystyle {={card}_{Q,{\cal {R}}}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {R} ^{2},{({[-r,r]}^{2})}_{r\in \mathbb {N} ^{*}}{\Big ]}{\bigg )}-{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Bigg (}{\bigg [}\mathbb {R} ^{2},{{\Big (}{\overline {B_{\mathbb {R} ^{2}}(O_{2},r)}}{\Big )}}_{r\in \mathbb {N} ^{*}}{\bigg ]}{\Bigg )}}}$

$\color {blue}{\displaystyle {={card}_{Q,{\cal {R}}}(\lim _{r\in \mathbb {N} ^{*},r\rightarrow +\infty }{[-r,r]}^{2})-{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}\lim _{r\in \mathbb {N} ^{*},r\rightarrow +\infty }{\overline {B_{\mathbb {R} ^{2}}(O_{2},r)}}{\Big )}}}$

$\color {blue}{\displaystyle {=\lim _{r\in \mathbb {N} ^{*},r\rightarrow +\infty }{card}_{Q,{\cal {R}}}({[-r,r]}^{2})-\lim _{r\in \mathbb {N} ^{*},r\rightarrow +\infty }{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}{\overline {B_{\mathbb {R} ^{2}}(O_{2},r)}}{\Big )}}}$

$\color {blue}{\displaystyle {=\lim _{r\in \mathbb {N} ^{*},r\rightarrow +\infty }{\bigg (}{card}_{Q,{\cal {R}}}({[-r,r]}^{2})-{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}{\overline {B_{\mathbb {R} ^{2}}(O_{2},r)}}{\Big )}{\bigg )}}}$

$\color {blue}{\displaystyle {=\lim _{r\in \mathbb {N} ^{*},r\rightarrow +\infty }{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}{[-r,r]}^{2}\setminus {\overline {B_{\mathbb {R} ^{2}}(O_{2},r)}}{\Big )}>0}}$

$\color {blue}{{\text{car}}\,\,\forall r\in \mathbb {N} ^{*},\,\,{\overline {B_{\mathbb {R} ^{2}}(O_{2},r)}}\subsetneq {[-r,r]}^{2}\,\,{\text{donc}}\,\,\displaystyle {\forall r\in \mathbb {N} ^{*},\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}{[-r,r]}^{2}\setminus {\overline {B_{\mathbb {R} ^{2}}(O_{2},r)}}{\Big )}>0}}$

$\color {blue}{{\text{et}}\,\,{{\bigg (}{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}{[-r,r]}^{2}\setminus {\overline {B_{\mathbb {R} ^{2}}(O_{2},r)}}{\Big )}{\bigg )}}_{r\in \mathbb {N} ^{*}}\,\,{\text{strictement croissante.}}}$

$\color {blue}{\text{Remarque :}}$

$\color {blue}{\text{Dans ce qui suit, il y a vraisemblablement quelques mises au point à faire.}}$

$\color {blue}{{\text{(*) Si}}\,\,I\,\,{\text{est un ensemble totalement ordonné}}}$

$\color {blue}{{\text{et si}}\,\,A\in {\cal {P}}(\mathbb {R} ^{n}),\,\,{\text{est une partie fermée, non bornée, convexe, (connexe), de}}\,\,\mathbb {R} ^{n}\,\,{\text{(éventuellement, de classe}}\,\,[C^{0}]\,\,{\text{et}}\,\,[C^{1}\,\,{\text{par morceaux}}]{\text{)}},}$

$\color {blue}{{\text{et si}}\,\,{(A_{i})}_{i\in I},{(B_{i})}_{i\in I}\subset {\cal {P}}(\mathbb {R} ^{n}),\,\,{\text{sont des familles de parties compactes, convexes, (connexes), de}}\,\,\mathbb {R} ^{n}\,\,{\text{(éventuellement, de classe}}\,\,[C^{0}]\,\,{\text{et}}\,\,[C^{1}\,\,{\text{par morceaux}}]{\text{)}}}$

$\color {blue}{{\text{telles que :}}\,\,{(A_{i})}_{i\in I}\neq {(B_{i})}_{i\in I}}$

$\color {blue}{{\text{et telles que :}}\,\,\displaystyle {\lim _{i\in I,i\rightarrow \sup(I)}A_{i}={\Big [}A,{(A_{i})}_{i\in I}{\Big ]}}\,\,{\text{et}}\,\,\displaystyle {\lim _{i\in I,i\rightarrow \sup(I)}B_{i}={\Big [}A,{(B_{i})}_{i\in I}{\Big ]}}}$ .

$\color {blue}{{\text{De fait, on peut avoir :}}\,\,\displaystyle {{\Big [}A,{(A_{i})}_{i\in I}{\Big ]}\neq {\Big [}A,{(B_{i})}_{i\in I}{\Big ]}}}$ .

$\color {blue}{{\text{Conjecture:}}\,\,\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R_{n}}}}{\Big (}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]{\Big )}={card}_{Q,{\cal {R}}_{n}}(\displaystyle {\lim _{i\in I,\,\,i\rightarrow \sup(I)}A_{i}})=\lim _{i\in I,\,\,i\rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal {R}}_{n}}(A_{i})}}$ .

$\color {blue}{{\text{(1) Si de plus par rapport à (*),}}\,\,\displaystyle {\forall i\in I,\,\,A_{i}\subsetneq B_{i}}}$ et $\color {blue}{\lim _{i\in I,i\rightarrow \sup(I)}B_{i}\setminus A_{i}\neq \emptyset }$ , alors on a $\color {blue}{''\displaystyle {{\Big [}A,{(A_{i})}_{i\in I}{\Big ]}\subsetneq {\Big [}A,{(B_{i})}_{i\in I}{\Big ]}}''}$

$\color {blue}{{\text{(2) Si de plus par rapport à (*),}}\,\,\displaystyle {\lim _{i\in I,i\rightarrow \sup(I)}B_{i}\setminus A_{i}=\emptyset }\,\,{\text{alors on a}}\,\,''\displaystyle {{\Big [}A,{(A_{i})}_{i\in I}{\Big ]}={\Big [}A,{(B_{i})}_{i\in I}{\Big ]}}''}$

$\color {blue}{\text{(et on peut peut-être supprimer les guillemets concernant les 2 lignes ci-dessus).}}$

$\color {blue}{{\text{(3) Si de plus par rapport à (*),}}\,\,\displaystyle {\lim _{i\in I,i\rightarrow \sup(I)}{\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}_{n}}(B_{i})-{card}_{Q,{\cal {R}}_{n}}(A_{i}){\Big )}>0}}$ ,

$\color {blue}{{\text{alors on a}}\,\,\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}_{n}}{\bigg (}{\Big [}A,{(A_{i})}_{i\in I}{\Big ]}{\bigg )}<{card}_{Q,{\cal {R}}_{n}}{\bigg (}{\Big [}A,{(B_{i})}_{i\in I}{\Big ]}{\bigg )}}}$ et $\color {blue}{\displaystyle {{\Big [}A,{(A_{i})}_{i\in I}{\Big ]}\neq {\Big [}A,{(B_{i})}_{i\in I}{\Big ]}}}$ ,

$\color {blue}{{\text{(4) Si de plus par rapport à (*),}}\,\,\displaystyle {\lim _{i\in I,i\rightarrow \sup(I)}{\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}_{n}}(B_{i})-{card}_{Q,{\cal {R}}_{n}}(A_{i}){\Big )}=0}}$ , alors on a $\color {blue}{\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}_{n}}{\bigg (}{\Big [}A,{(A_{i})}_{i\in I}{\Big ]}{\bigg )}={card}_{Q,{\cal {R}}_{n}}{\bigg (}{\Big [}A,{(B_{i})}_{i\in I}{\Big ]}{\bigg )}}}$ ,

$\color {blue}{{\text{donc, en particulier, si de plus par rapport à (*),}}\,\,\displaystyle {\forall i\in I,\,\,A_{i}\subsetneq B_{i}}}$ et $\color {blue}{\lim _{i\in I,i\rightarrow \sup(I)}B_{i}\setminus A_{i}\neq \emptyset }$ ,

$\color {blue}{{\text{alors on a :}}\,\,\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}_{n}}{\bigg (}{\Big [}A,{(A_{i})}_{i\in I}{\Big ]}{\bigg )}<{card}_{Q,{\cal {R}}_{n}}{\bigg (}{\Big [}A,{(B_{i})}_{i\in I}{\Big ]}{\bigg )}}}$

$\color {blue}{{\text{De fait, contrairement avec la notation de limite usuelle, le fait d'avoir}}\,\,\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}_{n}}{\bigg (}{\Big [}A,{(A_{i})}_{i\in I}{\Big ]}{\bigg )}\neq {card}_{Q,{\cal {R}}_{n}}{\bigg (}{\Big [}A,{(B_{i})}_{i\in I}{\Big ]}{\bigg )}}\,\,{\text{ne pose pas de problème et n'entraîne aucune contradiction.}}}$

Plafonnement sphérique, à l'infini, {associé à|de} $\mathbb {R} ^{n}$ , autour de l'origine $O_{n}$ d'un repère orthonormé direct ${\cal {R_{n}}}$ de $\mathbb {R} ^{n}$

Soit $n\in \mathbb {N} ^{*}$ .

Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que l'espace $\mathbb {R} ^{n}$ muni d'un repère orthonormé direct ${\cal {R}}_{n}$ , d'origine $O_{n}{(0)}_{i\in \mathbb {N} _{n}^{*}}$ , admet comme plafonnement sphérique, à l'infini, autour de l'origine, ${\bigg [}\mathbb {R} ^{n},{{\Big (}{\overline {B_{\mathbb {R} ^{n}}(O_{n},r)}}{\Big )}}_{r\in \mathbb {N} }{\bigg ]}=\lim _{r\in \mathbb {N} ,r\to +\infty }{\overline {B_{\mathbb {R} ^{n}}(O_{n},r)}}''=B_{\mathbb {R} ^{n}}(O_{n},+\infty )''$ , on a alors :

$\forall M,M'\in \mathbb {R} ^{n},\,\,M\neq O_{n},\,\,M'\neq O_{n},\,\,card_{Q,{\cal {R_{n}}}}{\Big (}(O_{n}M){\Big )}=card_{Q,{\cal {R_{n}}}}{\Big (}(O_{n}M'){\Big )}=card_{Q,{\cal {R_{n}}}}{\Big (}\mathbb {R} \times \prod _{i\in \mathbb {N} _{n-1}^{*}}\{0\}{\Big )}$

et $\forall M,M'\in \mathbb {R} ^{n},\,\,M\neq O_{n},\,\,M'\neq O_{n},\,\,card_{Q,{\cal {R_{n}}}}{\Big (}[O_{n}M){\Big )}=card_{Q,{\cal {R_{n}}}}{\Big (}[O_{n}M'){\Big )}=card_{Q,{\cal {R_{n}}}}{\Big (}\mathbb {R} _{+}\times \prod _{i\in \mathbb {N} _{n-1}^{*}}\{0\}{\Big )}={\frac {1}{2}}card_{Q,{\cal {R_{n}}}}{\Big (}\mathbb {R} \times \prod _{i\in \mathbb {N} _{n-1}^{*}}\{0\}{\Big )}+{\frac {1}{2}}$

$={\frac {1}{2}}card_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}(O_{n}M){\Big )}+{\frac {1}{2}}$ .

Mais, $\forall A\in R^{n},\,\,A\neq O_{n},\,\,\forall M\in \mathbb {R} ^{n},\,\,M\neq O_{n},\,\,M\neq A,\,\,card_{Q,{\cal {R_{n}}}}{\Big (}(AM){\Big )}\neq card_{Q,{\cal {R_{n}}}}{\Big (}(O_{n}M){\Big )}$

et même ${card}_{Q,{\cal {R}}_{n}}{\Big (}[AM){\Big )}<{card}_{Q,{\cal {R}}_{n}}{\Big (}(AM){\Big )}<{card}_{Q,{\cal {R}}_{n}}{\Big (}(O_{n}M){\Big )}$

et $\forall A,B\in \mathbb {R} ^{n},\,\,A\neq O_{n},\,\,B\neq O_{n},\,\,A\neq B,\,\,\forall M\in \mathbb {R} ^{n},\,\,M\neq O_{n},\,\,card_{Q,{\cal {R_{n}}}}{\Big (}(AB){\Big )}\neq card_{Q,{\cal {R_{n}}}}{\Big (}(O_{n}M){\Big )}$

et même $card_{Q,{\cal {R_{n}}}}{\Big (}[AB){\Big )}<card_{Q,{\cal {R_{n}}}}{\Big (}(AB){\Big )}<card_{Q,{\cal {R_{n}}}}{\Big (}(O_{n}M){\Big )}$ .

On peut avoir : $\forall A\in \mathbb {R} ^{n},\,\,A\neq O_{n},\,\,\forall M\in \mathbb {R} ^{n},\,\,M\neq O_{n},\,\,M\neq A,$

$card_{Q,{\cal {R_{n}}}}{\Big (}[AM){\Big )}<card_{Q,{\cal {R_{n}}}}{\Big (}[O_{n}M){\Big )}$ ou $card_{Q,{\cal {R_{n}}}}{\Big (}[AM){\Big )}>card_{Q,{\cal {R_{n}}}}{\Big (}[O_{n}M){\Big )}$ ou $card_{Q,{\cal {R_{n}}}}{\Big (}[AM){\Big )}=card_{Q,{\cal {R_{n}}}}{\Big (}[O_{n}M){\Big )}$ .

On peut avoir : $\forall A,B\in \mathbb {R} ^{n},\,\,A\neq O_{n},\,\,B\neq O_{n},\,\,A\neq B,\,\,\forall M\in \mathbb {R} ^{n},\,\,M\neq O_{n},$

${card}_{Q,{\cal {R}}_{n}}{\Big (}[AB){\Big )}<{card}_{Q,{\cal {R}}_{n}}{\Big (}[O_{n}M){\Big )}$ ou ${card}_{Q,{\cal {R}}_{n}}{\Big (}[AB){\Big )}>{card}_{Q,{\cal {R}}_{n}}{\Big (}[O_{n}M){\Big )}$ ou ${card}_{Q,{\cal {R}}_{n}}{\Big (}[AB){\Big )}={card}_{Q,{\cal {R}}_{n}}{\Big (}[O_{n}M){\Big )}$ .

Axiomes supplémentaires traitant du cas du cardinal quantitatif des parties non bornées de $\mathbb {R} ^{n}$

C) $\forall I\,\,{\mbox{intervalle de}}\,\,\mathbb {R} ^{n}$ ,

$\forall \theta _{n}\in {\begin{cases}\{0,\pi \}+2k\pi ;\,\,k\in \mathbb {Z} &{\text{si }}n=1\\\mathbb {R} ^{n-1}&{\text{si }}n\neq 1\\\end{cases}}$ ,

${card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}{rot}_{(O,\theta _{n})}(I){\Big )}={card}_{Q,{\cal {R}}}(I)$

D) $\forall A\in {\cal {P}}({\mathbb {R} }^{n})$ ,

$\forall \theta _{n}\in {\begin{cases}\{0,\pi \}+2k\pi ;\,\,k\in \mathbb {Z} &{\text{si }}n=1\\\mathbb {R} ^{n-1}&{\text{si }}n\neq 1\\\end{cases}}$ ,

${card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}{rot}_{(O,\theta _{n})}(A){\Big )}={card}_{Q,{\cal {R}}}(A)$

F)

a) $\displaystyle {\forall A\in {\cal {P}}(\mathbb {R} ^{n}),\,\,A\,\,{\text{non bornée}}}$ ,

$\displaystyle {et\,\,telle\,\,que\,\,\exists P_{0}\in {\cal {P}}({\mathbb {R} }^{n})\,\,d{\acute {e}}limit{\acute {e}}e\,\,par\,\,un\,\,hyperplan\,\,H_{0}\,\,passant\,\,par\,\,O}$

$\displaystyle {et\,\,telle\,\,que\,\,A\subset P_{0}\,\,alors\,\,\forall x_{0},{x_{0}}'\in \mathbb {R} ^{n},\,\,\exists {x_{\parallel _{H_{0}}}},{x_{\parallel _{H_{0}}}}'\parallel H_{0}\,\,et\,\,\exists {x_{\perp _{H_{0}}}},{x_{\perp _{H_{0}}}}'\perp H_{0},}$

$\displaystyle {x_{0}={x_{\parallel _{H_{0}}}}+{x_{\perp _{H_{0}}}},{x_{0}}'={x_{\parallel _{H_{0}}}}'+{x_{\perp _{H_{0}}}}'\,\,et\,\,{x_{\perp _{H_{0}}}},{x_{\perp _{H_{0}}}}'\,\,orientes\,\,vers\,\,P_{0}\,\,et\,\,tels\,\,que\,\,\|x_{0}\|<\|{x_{0}}'\|,}$

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(A+x_{0})>{card}_{Q,{\cal {R}}}(A+{x_{0}}')}$

(Axiome en cours d'étude)

b) $\forall a,a'\in \mathbb {R} ^{n},\,\,\forall b,b'\in \mathbb {R} ^{n},\,\,:\,\,\|b\|<\|b'\|$

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}{epi}(a.{id}_{\mathbb {R} ^{n}}+b){\Big )}={card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}{epi}(a'.{id}_{\mathbb {R} ^{n}}+b){\Big )}}$

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}{epi}(a.{id}_{\mathbb {R} ^{n}}+b){\Big )}>{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}{epi}(a.{id}_{\mathbb {R} ^{n}}+b'){\Big )}}$ si $b,b'\perp H_{a,0}=a.{id}_{\mathbb {R} ^{n}}(\mathbb {R} ^{n})$

(Axiome en cours d'étude)

Remarque (Sous réserve) : Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2.

Autres tentatives de généralisation du cardinal quantitatif sur $\mathbb {R} ^{n}$

Partie 1

Soit $n\in \mathbb {N} ^{*}$ .

Remarques :

Remarque :

Soit ${\cal {R}}$ un repère orthonormé direct de $\mathbb {R}$ , d'origine $O(0)$ .

Comme $\mathbb {R} \in {PV2}(\mathbb {R} )$

et comme $\displaystyle {\forall r\in \mathbb {N} ,\,\,[-r,r]\in {PV}(\mathbb {R} )}$ telle que $\displaystyle {\lim _{r\in \mathbb {N} ,r\rightarrow \infty }[-r,r]={\Big [}\mathbb {R} ,{([-r,r])}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}}$ ,

on a (Conjecture) : $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[\mathbb {R} ,{([-r,r])}_{r\in \mathbb {N} }]{\Big )}={card}_{Q,{\cal {R}}}(\lim _{r\in \mathbb {N} ,\,\,r\rightarrow +\infty }[-r,r])=\lim _{r\in \mathbb {N} ,\,\,r\rightarrow +\infty }{card}_{Q,{\cal {R}}}([-r,r])}$ .

(Voir aussi la page de discussion associée : Série de remarques 1)

Et plus généralement, soit ${\cal {R}}$ un repère orthonormé direct de $\mathbb {R} ^{n}$ , d'origine $O{(0)}_{i\in \mathbb {N} _{n}^{*}}$ .

comme $\mathbb {R} ^{n}\in {PV2}(\mathbb {R} ^{n})$ ,

si $I\in {\cal {P}}(\mathbb {R} )$ , non bornée à droite

et si $\displaystyle {\forall i\in I,\,\,A_{i}\in {PV}(\mathbb {R} ^{n})}$ telle que $\displaystyle {\lim _{i\in I,i\rightarrow \infty }A_{i}={\Big [}\mathbb {R} ^{n},{(A_{i})}_{i\in I}{\Big ]}}$ .

alors on a (Conjecture) : $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {R} ^{n},{(A_{i})}_{i\in I}{\Big ]}{\bigg )}={card}_{Q,{\cal {R}}}(\lim _{i\in I,\,\,i\rightarrow +\infty }A_{i})=\lim _{i\in I,\,\,i\rightarrow +\infty }{card}_{Q,{\cal {R}}}(A_{i})}$ .

Mais, étant donné le plafonnement sphérique à l'infini, autour de l'origine, on ne peut pas prendre n'importe quelle famille ${(A_{i})}_{i\in I}$ définie précédemment.

Il faut que ce soit une famille croissante de boules pour la distance euclidienne, de centre $O$ ou une famille croissante de polyèdres réguliers, de centre $O$ , ayant un nombre de côtés croissant, convergeant vers l'ensemble $\mathbb {R} ^{n}$ .

Il faut mieux choisir $I$ dénombrable infini.

On pourra alors remplacer dans l'avant dernière phrase à partir de celle-ci, "croissant(e)", par "strictement croissant(e)".

(Voir aussi la page de discussion associée : Série de remarques 1)

Remarque :

Soit ${\cal {R}}$ un repère orthonormé direct de $\mathbb {R}$ , d'origine $O(0)$ .

Soient $A,B\in {\cal {P}}(\mathbb {R} ),\,\,A\in {\cal {P}}(B)\,\,{\mbox{ou}}\,\,B\in {\cal {P}}(A),\,\,B\neq \emptyset$ .

Soit $C\in {\cal {P}}(\mathbb {R} ),\,\,A\in {\cal {P}}(C)\,\,{\mbox{ou}}\,\,C\in {\cal {P}}(A),\,\,{\mbox{et}}\,\,B\in {\cal {P}}(C)\,\,{\mbox{ou}}\,\,C\in {\cal {P}}(B),\,\,C\neq \emptyset$ .

Si on considère la densité quantitative, relative au repère orthonormé ${\cal {R}}$ , de l'ensemble $A$ par rapport à l'ensemble $B$ , $d_{Q,{\cal {R}},B}(A)$ , on a :

$\displaystyle {d_{Q,{\cal {R}},B}(A)={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(A)}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(B)}}={\frac {\displaystyle {\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(A)}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(C)}}}{\displaystyle {\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(B)}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(C)}}}}={\frac {d_{Q,{\cal {R}},C}(A)}{d_{Q,{\cal {R}},C}(B)}}}$ .

En particulier, si $A,B\in {\cal {P}}(\mathbb {R} ),\,\,A\in {\cal {P}}(B)\,\,{\mbox{ou}}\,\,B\in {\cal {P}}(A)$ , on a :

$\displaystyle {d_{Q,{\cal {R}},B}(A)={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(A)}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(B)}}={\frac {\displaystyle {\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(A)}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {R} )}}}{\displaystyle {\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(B)}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {R} )}}}}={\frac {d_{Q,{\cal {R}},\mathbb {R} }(A)}{d_{Q,{\cal {R}},\mathbb {R} }(B)}}}$ .

Par extension, si $P\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ),\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(P)={card}_{Q,{\cal {R}}}(A)$

alors $d_{Q,{\cal {R}},B}(P)={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(P)}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(B)}}$

Remarque : Si $x_{0}\in \mathbb {R}$ , alors $\{x_{0}\}\in {PV}(\mathbb {R} )$ et même $\{x_{0}\}\in {PV}_{0}(\mathbb {R} )$ .

Remarque :

Soit ${\cal {R}}$ un repère orthonormé direct de $\mathbb {R}$ , d'origine $O(0)$ .

Soient $A,B\in {\cal {P}}(\mathbb {R} )$ , réunions (dénombrables [voire, nécessairement, infinies, non bornées]) de parties

${\Big (}$ Option classique : de ${PV}(\mathbb {R} )$ , disjointes ${\Big )}$ ,

ou ${\Big (}$ Option spéculative : convexes, (connexes), disjointes, de $\mathbb {R} {\Big )}$ ,

$A\in {\cal {P}}(B),\,\,B\neq \emptyset$ .

Soit $I\in {\cal {P}}(B)$ (ou telle que $I\in {\cal {P}}(\mathbb {R} )$ et ${card}_{Q,{\cal {R}}}(I)\leq {card}_{Q,{\cal {R}}}(B)$ ).

Si $\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in {\cal {P}}(\mathbb {R} )$ , réunions finies de parties ${\Big (}$ Option classique : de ${PV}(\mathbb {R} )$ , disjointes ${\Big )}$ , ou ${\Big (}$ Option spéculative : bornées, convexes, (connexes), disjointes, de $\mathbb {R}$ ${\Big )}$ ,

telles que $\forall i\in I,\,\,A_{i}\in {\cal {P}}(B_{i})\,\,{\mbox{et}}\,\,B_{i}\neq \emptyset$

et telles que ${(A_{i})}_{i\in I}\,\,\nearrow \,\,[A,{(A_{i})}_{i\in I}]$ et ${(B_{i})}_{i\in I}\,\,{\mbox{strict.}}\,\,\nearrow \,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]$

(c'est-à-dire telles que $\displaystyle {\lim _{i\in I,\,\,i\rightarrow \sup(I)}\uparrow A_{i}=[A,{(A_{i})}_{i\in I}]}$ et $\displaystyle {\lim _{i\in I,\,\,i\rightarrow \sup(I)}{\mbox{strict.}}\uparrow B_{i}=[B,{(B_{i})}_{i\in I}]}$ ),

alors

$\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(A)}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(B)}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]{\Big )}}{{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[B,{(B_{i})}_{i\in I}]{\Big )}}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(\displaystyle {\lim _{i\in I,\,\,i\rightarrow \sup(I)}A_{i}})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(\displaystyle {\lim _{i\in I,\,\,i\rightarrow \sup(I)}B_{i}})}}={\frac {\displaystyle {\lim _{i\in I,\,\,i\rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal {R}}}(A_{i})}}{\displaystyle {\lim _{i\in I,\,\,i\rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal {R}}}(B_{i})}}}=\displaystyle {\lim _{i\in I,\,\,i\rightarrow \sup(I)}{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(A_{i})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(B_{i})}}}}$ .

(Voir aussi la page de discussion associée : Série de remarques 1)

Je pense que le cas d'une partie $A$ bornée, convexe, (connexe), de $\mathbb {R}$ , peut se ramener au cas de la partie ${\overline {A}}$ compacte, convexe, (connexe) de $\mathbb {R}$ ,

grâce à la formule ${card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {A}})={card}_{Q,{\cal {R}}}(A)+{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {A}}\setminus A)$ c'est-à-dire ${card}_{Q,{\cal {R}}}(A)={card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {A}})-{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {A}}\setminus A)$ ,

sachant que ${\overline {A}}\setminus A\in {\cal {P}}(\partial A)$ , avec $\partial A={\overline {A}}\setminus {\stackrel {\circ }{A}}$ .

Donc, comme $2\mathbb {Z} ^{*},\,\,\mathbb {Z} ^{*}\in {\cal {P}}(\mathbb {R} )$ , réunions (dénombrables infinies, non bornées) de parties de ${PV}(\mathbb {R} )$ , disjointes,

et $2\mathbb {Z} ^{*}\in {\cal {P}}(\mathbb {Z} ^{*})$ et $\mathbb {Z} ^{*}\neq \emptyset$ ,

et $\mathbb {N} ^{*}\in {\cal {P}}(\mathbb {Z} ^{*})$

et $\forall n\in \mathbb {N} ^{*},\,\,A_{n}=\displaystyle {\bigcup _{m\in \mathbb {N} _{n}^{*}}\{-2m,\,\,2m\}}\,\,{\mbox{et}}\,\,B_{n}=\displaystyle {\mathbb {Z} \bigcap {\Big (}[-2n,-1]\bigcup [1,2n]{\Big )}}$

et $\forall n\in \mathbb {N} ^{*},\,\,A_{n},B_{n}\in {\cal {P}}(\mathbb {R} )$ , réunions finies de parties de ${PV}(\mathbb {R} )$ , disjointes,

et $\forall n\in \mathbb {N} ^{*},A_{n}\in {\cal {P}}(B_{n})\,\,{\mbox{et}}\,\,B_{n}\neq \emptyset$

et ${(A_{n})}_{n\in \mathbb {N} ^{*}}\,\,\nearrow \,\,[2\mathbb {Z} ^{*},{(A_{n})}_{n\in \mathbb {N} }]$ et ${(B_{n})}_{n\in \mathbb {N} ^{*}}\,\,{\mbox{strict.}}\,\,\nearrow \,\,[\mathbb {Z} ^{*},{(B_{n})}_{n\in \mathbb {N} }]$

(c'est-à-dire $\displaystyle {\lim _{n\in \mathbb {N} ^{*},\,\,n\rightarrow +\infty }\uparrow A_{n}=[2\mathbb {Z} ^{*},{(A_{n})}_{n\in \mathbb {N} }]}$ et $\displaystyle {\lim _{n\in \mathbb {N} ^{*},\,\,n\rightarrow +\infty }{\mbox{strict.}}\uparrow B_{n}=[\mathbb {Z} ^{*},{(B_{n})}_{n\in \mathbb {N} }]}$ ),

on a bien : $\displaystyle {d_{Q,{\cal {R}},\mathbb {Z} ^{*}}(2\mathbb {Z} ^{*})={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(2\mathbb {Z} ^{*})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {Z} ^{*})}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[2\mathbb {Z} ^{*},{(A_{n})}_{n\in \mathbb {N} }]{\Big )}}{{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[\mathbb {Z} ^{*},{(B_{n})}_{n\in \mathbb {N} }]{\Big )}}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(\displaystyle {\lim _{n\in \mathbb {N} ^{*},\,\,n\rightarrow +\infty }A_{n}})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(\displaystyle {\lim _{n\in \mathbb {N} ^{*},\,\,n\rightarrow +\infty }B_{n}})}}={\frac {\displaystyle {\lim _{n\in \mathbb {N} ^{*},\,\,n\rightarrow +\infty }{card}_{Q,{\cal {R}}}(A_{n})}}{\displaystyle {\lim _{n\in \mathbb {N} ^{*},\,\,n\rightarrow +\infty }{card}_{Q,{\cal {R}}}(B_{n})}}}=\displaystyle {\lim _{n\in \mathbb {N} ^{*},\,\,n\rightarrow +\infty }{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(A_{n})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(B_{n})}}}}$

$\displaystyle {=\lim _{n\in \mathbb {N} ^{*},\,\,n\rightarrow +\infty }{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}\displaystyle {\bigcup _{m\in \mathbb {N} _{n}^{*}}\{-2m,\,\,2m\}}{\Big )}}{{card}_{Q,{\cal {R}}}{\bigg (}\displaystyle {\mathbb {Z} \bigcap {\Big (}[-2n,-1]\bigcup [1,2n]{\Big )}}{\bigg )}}}=\lim _{n\in \mathbb {N} ^{*},\,\,n\rightarrow +\infty }{\frac {2n}{4n}}=\lim _{n\in \mathbb {N} ^{*},\,\,n\rightarrow +\infty }{\frac {1}{2}}={\frac {1}{2}}}$ ,

donc $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(2\mathbb {Z} ^{*})={\frac {1}{2}}{card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {Z} ^{*})}$ ,

(Voir aussi la page de discussion associée : Série de remarques 1)

donc $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(2\mathbb {Z} )={\frac {1}{2}}{card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {Z} ^{*})+1={\frac {1}{2}}{\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {Z} )-1{\Big )}+1={\frac {1}{2}}{card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {Z} )+{\frac {1}{2}}}$

et comme $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {Z} )={card}_{Q,{\cal {R}}}(2\mathbb {Z} )+{card}_{Q,{\cal {R}}}(2\mathbb {Z} +1)}$ ,

on a : $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(2\mathbb {Z} +1)={card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {Z} )-{card}_{Q,{\cal {R}}}(2\mathbb {Z} )={card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {Z} )-{\Big (}{\frac {1}{2}}{card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {Z} )+{\frac {1}{2}}{\Big )}={\frac {1}{2}}{card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {Z} )-{\frac {1}{2}}}$

et plus généralement,

$\forall m\in \mathbb {N} ^{*},\,\,\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(m\mathbb {Z} ^{*})={\frac {1}{m}}{card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {Z} ^{*})}$ et $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {Z} )=\sum _{i\in \mathbb {N} _{m-1}}{card}_{Q,{\cal {R}}}(m\mathbb {Z} +i)}$

et $\forall a\in \mathbb {R} _{+}^{*},\,\,\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(a\mathbb {Z} ^{*})={\frac {1}{a}}{card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {Z} ^{*})}$ .

L'ensemble $\mathbb {Z} ^{*}$ est non borné, mais est dénombrable.

Si $A,B\in {\cal {P}}(\mathbb {R} ),\,\,A\in {\cal {P}}(B)$ ,

alors ${card}_{Q,{\cal {R}}}(A)\leq {card}_{Q,{\cal {R}}}(B)$

et $\displaystyle {d_{Q,{\cal {R}},B}(A)={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(A)}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(B)}}\leq 1}$

et si de plus, $A\neq B$ ,

alors ${card}_{Q,{\cal {R}}}(A)<{card}_{Q,{\cal {R}}}(B)$

et $\displaystyle {d_{Q,{\cal {R}},B}(A)={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(A)}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(B)}}<1}$ .

Par ailleurs, normalement, on devrait avoir : $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(2\mathbb {R} ^{*})=2\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {R} ^{*})}$ , mais comme $2\mathbb {R} ^{*}=\mathbb {R} ^{*}$ , on est obligé d'imposer que $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(2\mathbb {R} ^{*})={card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {R} ^{*})}$ ,

et plus généralement, si $a\in \mathbb {R} _{+}^{*}$ , on devrait, normalement, avoir : $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(a\mathbb {R} ^{*})=a\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {R} ^{*})}$ , mais comme $a\mathbb {R} ^{*}=\mathbb {R} ^{*}$ , on est obligé d'imposer que $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(a\mathbb {R} ^{*})={card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {R} ^{*})}$ ,

ce qui ne sera peut-être pas sans poser problème, mais peut-être pas.

L'ensemble $\mathbb {R} ^{*}$ qui est la réunion disjointe de 2 ensembles connexes, non bornés, et ayant la puissance du continue, semble aussi dense, quantitativement, que des ensembles, qui sont, proportionnellement et de manière arbitraire, strictement, plus ou moins denses, quantativement, que lui, et qui se révèlent, finalement, être lui-même.

Mais, Cantor dirait, sans problème, dans ce cas, que $\displaystyle {{card}_{E}(a\mathbb {R} ^{*})={\frac {1}{a}}{card}_{E}(\mathbb {R} ^{*})={card}_{E}(\mathbb {R} ^{*})}$ .

Je pense, dans le cas des parties non bornées de $\mathbb {R}$ , que considérer, seulement, une partie faite d'une sous-partie dénombrable, et d'une réunion de sous-parties connexes ayant la puissance du continue, non bornée et disjointe de la sous-partie précédente, c'est-à-dire une partie faite de matière discrète et de matière continue, non bornée, est ${\Big (}$ sous réserve : insuffisant, encore faut-il préciser la densité (quantitative) de la matière continue qui la {compose|constitue}, en considérant, dans un premier temps, qu'elle est uniforme ${\Big )}$ .

Partie 2

Hypothèses, axiomes ou conjectures sur le cardinal quantitatif d'une partie dénombrable infinie de $\mathbb {R}$

Soit $N\in {\mathbb {N} }^{*}$ .

Soit ${\cal {R}}_{N}$ un repère orthonormé direct de $\mathbb {R} ^{N}$ dont il sera peut-être nécessaire de supposer qu'il a pour origine $O_{N}{(0)}_{i\in \mathbb {N} _{N}^{*}}$ .

On pose, pour simplifier, ${card}_{Q}={card}_{Q,N}={card}_{Q,{\cal {R}}_{N}}$ , où ${card}_{Q,{\cal {R}}_{N}}$ désigne le cardinal quantitatif relatif au repère ${\cal {R}}_{N}$ .

${card}_{E}$ est le cardinal classique ou le cardinal de Cantor noté habituellement $card$ , que je nomme aussi cardinal équipotentiel, pour le distinguer du cardinal quantitatif ${card}_{Q}$ , qui mérite presque tout autant son appellation que le premier, car tous deux cherchent à étendre la notion de quantité d'éléments dans le cas des ensembles finis à n'importe quel ensemble, mais alors qu'on sait définir le 1er pour toutes les parties de $\mathbb {R} ^{N}$ , on ne sait, à l'heure actuelle, définir le 2nd que sur une classe de parties bornées de $\mathbb {R} ^{N}$ ou plus précisément sur la classe des parties compactes, convexes, connexes de $\mathbb {R} ^{N}$ de classe $C^{1}$ par morceaux.

Soient $A$ et $B$ des ensembles.

${card}_{E}(A)={card}_{E}(B)\,\,\Longleftrightarrow _{d{\acute {e}}f}\,\,\exists \,\,b\,\,:\,\,A\,\,\longrightarrow \,\,B$ , bijection.

On pose usuellement $\aleph _{0}={card}_{E}(\mathbb {N} )$ et $\aleph _{1}={card}_{E}(\mathbb {R} )={card}_{E}{\Big (}{\cal {P}}(\mathbb {N} ){\Big )}=2^{\aleph _{0}}$

On a par exemple $\aleph _{0}={card}_{E}(\mathbb {Z} )={card}_{E}(\mathbb {Q} )={card}_{E}(\mathbb {N} ^{N})$ et $\aleph _{1}={card}_{E}(]0,1[)={card}_{E}({\mathbb {R} }^{N})$

La notion de cardinal quantitatif se veut une notion qui affine celle de cardinal équipotentiel et qui se veut la notion optimale de quantité d'éléments.

Dans la suite, on suppose $N=1$ .

Soient $R,S\subset \mathbb {R} \colon {card}_{E}(R)={card}_{E}(S)=\aleph _{0}$ telles que :

$\displaystyle {R=\{r_{i}\in \mathbb {R} |i\in \mathbb {Z} \}\,\,{\mbox{et}}\,\,S=\{s_{i}\in \mathbb {R} |i\in \mathbb {Z} \}}$

et $\forall i\in \mathbb {Z} ,\,\,r_{i+1}>r_{i}\,\,{\mbox{et}}\,\,\forall i\in \mathbb {Z} ,\,\,s_{i+1}>s_{i}$ .

Il sera peut-être nécessaire de supposer $r_{0}=s_{0}=0$ .

Soit $n\in \mathbb {Z}$ .

On appelle $r_{n}$ est le $n$ ème terme de $R$

On pose $\displaystyle {{(\Delta R)}_{n+1}=r_{n+1}-r_{n}\,\,{\mbox{si}}\,\,n\in \mathbb {N} \,\,{\mbox{et}}\,\,{(\Delta R)}_{n-1}=r_{n}-r_{n-1}\,\,{\mbox{si}}\,\,n\in -\mathbb {N} }$

et $\displaystyle {{(\Delta S)}_{n+1}=s_{n+1}-s_{n}\,\,{\mbox{si}}\,\,n\in \mathbb {N} \,\,{\mbox{et}}\,\,{(\Delta S)}_{n-1}=s_{n}-s_{n-1}\,\,{\mbox{si}}\,\,n\in -\mathbb {N} }$

Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de $R$ et $S$

.

On suppose de plus que $\displaystyle {\exists n_{R}^{+},n_{S}^{+}\in \mathbb {N} \,\,\colon \,\,{{\Big (}{(\Delta R)}_{n+1}{\Big )}}_{n\geq n_{R}^{+}},\,\,{{\Big (}{(\Delta S)}_{n+1}{\Big )}}_{n\geq n_{S}^{+}}\nearrow }$ (respectivement $\searrow$ )

$\exists n_{R}^{-},n_{S}^{-}\in -\mathbb {N} \,\,{{\Big (}{(\Delta R)}_{n-1}{\Big )}}_{n\leq n_{R}^{-}},\,\,{{\Big (}{(\Delta S)}_{n-1}{\Big )}}_{n\leq n_{S}^{-}}\nearrow$ (respectivement $\searrow$ )

ou que $\displaystyle {\exists n_{R}^{+},n_{S}^{+}\in \mathbb {N} \,\,\colon \,\,{{\Big (}{(\Delta R)}_{n+1}{\Big )}}_{n\geq n_{R}^{+}},\,\,{{\Big (}{(\Delta S)}_{n+1}{\Big )}}_{n\geq n_{S}^{+}}\nearrow }$ (respectivement $\searrow$ )

et $\exists n_{R}^{-},n_{S}^{-}\in -\mathbb {N} \,\,{{\Big (}{(\Delta R)}_{n-1}{\Big )}}_{n\leq n_{R}^{-}},\,\,{{\Big (}{(\Delta S)}_{n-1}{\Big )}}_{n\leq n_{S}^{-}}\searrow$ (respectivement $\nearrow$ ).

On définit $\displaystyle {\forall n\in \mathbb {N} ,\,\,a_{R,n}={\frac {\displaystyle {\sum _{i\in \mathbb {N} _{n}}{(\Delta R)}_{i+1}+\sum _{i\in -\mathbb {N} _{n}}{(\Delta R)}_{i-1}}}{2n+2}}={\frac {\displaystyle {\sum _{i\in \mathbb {N} _{n}}(r_{i+1}-r_{i})+\sum _{i\in -\mathbb {N} _{n}}(r_{i}-r_{i-1})}}{2n+2}}}$

C'est la moyenne des pas de $R$ compris entre le $(n+1)$ ème et le $-(n+1)$ ème terme.

Remarque : Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a :

$\displaystyle {\forall n\in \mathbb {N} ,\,\,a_{R,n}={\frac {(r_{n+1}-r_{0})+(r_{0}-r_{-(n+1)})}{2n+2}}={\frac {r_{n+1}-r_{-(n+1)}}{2n+2}}}$

On remarque que cette quantité ne dépend que des 2 derniers termes et du nombre de points de $R$ compris entre ces 2 termes inclus.

On pose $\displaystyle {a_{R}=\lim _{n\in \mathbb {N} ,\,\,n\rightarrow +\infty }a_{R,n}}$ si cette limite existe dans ${\overline {\mathbb {R} _{+}}}$ .

C'est la limite de la moyenne des pas de $R$ compris entre son $(n-1)$ ème et son $-(n-1)$ ème terme, quand $n\rightarrow +\infty$ , donc c'est la moyenne de tous les pas de $R$ sur $\mathbb {R}$ .

Conjecture :

$\displaystyle {\exists n_{0}\in \mathbb {N} ,\,\,\forall n\geq n_{0},\,\,a_{R,n}<a_{S,n}\Longrightarrow {card}_{Q}(R)>{card}_{Q}(S)}$

Cela signifie qu'à partir d'un certain rang $n_{0}$ , $\forall n\geq n_{0}$ , si la moyenne des pas de $R$ compris entre son $(n+1)$ ème et son $-(n+1)$ ème terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de $S$ compris entre son $(n+1)$ ème et son $-(n+1)$ ème terme, alors le cardinal quantitatif de l'ensemble $R$ est strictement plus grand que celui de l'ensemble $S$ .

Cela signifie que si $R$ est strictement plus dense quantitativement que $S$ , à partir d'un certain rang $n_{0}$ , alors ${card}_{Q}(R)>{card}_{Q}(S)$

Si $\displaystyle {\lim _{n\rightarrow +\infty }{(\Delta R)}_{n+1}>1\,\,{\mbox{et}}\,\,\lim _{n\rightarrow -\infty }{(\Delta R)}_{n-1}>1,\,\,{\mbox{comme}}\,\,\forall n\in \mathbb {Z} ^{*}\,\,{(\Delta \mathbb {Z} )}_{n}=1}$

alors $\displaystyle {\exists n_{0}\in \mathbb {N} ,\,\,\forall n\geq n_{0}\,\,\colon \,\,a_{R,n}>1=a_{\mathbb {Z} ,n}}$ et ${card}_{Q}(R)<{card}_{Q}(\mathbb {Z} )$

En particulier si $\displaystyle {\lim _{n\in \mathbb {N} ,\,\,n\rightarrow +\infty }{(\Delta R)}_{n+1}=\lim _{n\in \mathbb {N} ,\,\,n\rightarrow -\infty }{(\Delta R)}_{n-1}=+\infty }$ ,

et $\displaystyle {\exists n_{0}\in \mathbb {N} ,\,\,\forall n\geq n_{0}\,\,\colon \,\,a_{R,n}>1=a_{\mathbb {Z} ,n}\,\,{\mbox{et}}\,\,{card}_{Q}(R)<{card}_{Q}(\mathbb {Z} )\,\,{\mbox{et}}\,\,a_{R}=+\infty }$ ,

Remarque : La notion de limite usuelle est insuffisante, car on peut avoir

$\displaystyle {a_{R}=\lim _{n\in \mathbb {N} ,\,\,n\rightarrow +\infty }a_{R,n}=+\infty =\lim _{n\in \mathbb {N} ,\,\,n\rightarrow +\infty }a_{S,n}=a_{S}}$ et ${card}_{Q}(R)<{card}_{Q}(S)$ .

Que pensez, par exemple, du cas où $\displaystyle {\exists a\in \mathbb {R} _{+}^{*},\,\,\exists b\in \mathbb {R} _{+},\,\,\exists c\in \mathbb {R} \,\,\colon \,\,R=a\mathbb {Z} ^{\bullet 2}+b\mathbb {Z} +c}$ ?

A t-on bien $\exists a_{0}\in \mathbb {R} _{+}^{*},\,\,\exists b_{0}\in \mathbb {R} \,\,\colon \,\,{card}_{Q}(R)={card}_{Q}(a_{0}\mathbb {Z} +b_{0})$ ?

Réponse : Non, car $\displaystyle {\forall a_{0}\in \mathbb {R} _{+}^{*},\,\,\forall b_{0}\in \mathbb {R} ,\,\,\exists n_{0}\in \mathbb {N} ,\,\,\forall n\geq n_{0}\,\,\colon \,\,a_{R,n}>a_{0}=a_{a_{0}\mathbb {Z} +b_{0},n}}$

et ${card}_{Q}(R)<{card}_{Q}(a_{0}\mathbb {Z} +b_{0})$ .

Plus, généralement $\displaystyle {\forall n,m\in \mathbb {N} ^{*}\,\,\colon \,\,n>m,\,\,a_{n},b_{m}\neq 0,\,\,{card}_{Q}{\Big (}\sum _{i\in \mathbb {N} _{n}}a_{i}\mathbb {Z} ^{\bullet i}{\Big )}<{card}_{Q}{\Big (}\sum _{j\in \mathbb {N} _{m}}b_{j}\mathbb {Z} ^{\bullet j}{\Big )}}$

Avec les mêmes hypothèses sur $R$ , qu'initialement :

Si $\displaystyle {\exists m,M\in \mathbb {R} ,\,\,\forall i\in \mathbb {Z} ,\,\,m\leq r_{i+1}-r_{i}\leq M}$

alors $\displaystyle {\forall n\in \mathbb {N} ,\,\,a_{m\mathbb {Z} ,n}=m\leq a_{R,n}\leq M=a_{M\mathbb {Z} ,n}\,\,{\mbox{et}}\,\,{card}_{Q}(m\mathbb {Z} )\geq {card}_{Q}(R)\geq {card}_{Q}(M\mathbb {Z} )}$

Avec les mêmes hypothèses sur $R$ , qu'initialement, et en le supposant de plus à variations périodiques, de période $m\in \mathbb {N} ^{*}$

alors ${card}_{Q}(R)={card}_{Q}(a_{R,m-1}\mathbb {Z} )$

Remarque :

$T=R\bigcup S$ , telle que $R\bigcap S=\emptyset$ , avec $R$ à variations décroissantes, $S$ à variations croissantes et $\forall i\in \mathbb {Z} ,\,\,r_{i}<s_{i}$

$\not \Longrightarrow$

$T=\{t_{i}\in \mathbb {R} |i\in \mathbb {Z} \,\,{\mbox{et}}\,\,\forall i\in \mathbb {Z} ,\,\,t_{i+1}>t_{i}\}$

Soient $R,S\subset \mathbb {R} _{+}\,\,:\,\,{card}_{E}(R)={card}_{E}(S)=\aleph _{0}$ telles que :

$\displaystyle {R=\{r_{i}\in \mathbb {R} _{+}|i\in \mathbb {N} \}\,\,{\mbox{et}}\,\,S=\{s_{i}\in \mathbb {R} _{+}|i\in \mathbb {N} \}}$

et $\forall i\in \mathbb {N} ,\,\,r_{i+1}>r_{i}\,\,{\mbox{et}}\,\,\forall i\in \mathbb {N} ,\,\,s_{i+1}>s_{i}$

Soit $n\in \mathbb {N}$

On appelle $r_{n}$ est le $n$ ème terme de $R$

On pose $\displaystyle {{(\Delta R)}_{n+1}=r_{n+1}-r_{n}}$

et $\displaystyle {{(\Delta S)}_{n+1}=s_{n+1}-s_{n}}$

Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de $R$ et $S$ .

On suppose de plus que $\displaystyle {\exists n_{R}^{+},n_{S}^{+}\in \mathbb {N} \colon {{\Big (}{(\Delta R)}_{n+1}{\Big )}}_{n\geq n_{R}^{+}},\,\,{{\Big (}{(\Delta S)}_{n+1}{\Big )}}_{n\geq n_{S}^{+}}\nearrow }$ (respectivement $\searrow$ )

On définit $\displaystyle {\forall n\in \mathbb {N} ,\,\,a_{R,n}={\frac {\displaystyle {\sum _{i\in \mathbb {N} _{n}}{(\Delta R)}_{i+1}}}{n+1}}={\frac {\displaystyle {\sum _{i\in \mathbb {N} _{n}}(r_{i+1}-r_{i})}}{n+1}}}$

C'est la moyenne des pas de $R$ compris entre le $0$ ème et le $(n+1)$ ème terme.

Remarque : Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a :

$\displaystyle {\forall n\in \mathbb {N} ,\,\,a_{R,n}={\frac {r_{n+1}-r_{0}}{n+1}}}$

On remarque que cette quantité ne dépend que des 2 derniers termes et du nombre de points de $R$ compris entre ces 2 termes inclus.

On pose $\displaystyle {a_{R}=\lim _{n\in \mathbb {N} ,\,\,n\rightarrow +\infty }a_{R,n}}$ si cette limite existe dans ${\overline {\mathbb {R} _{+}}}$ .

C'est la limite de la moyenne des pas de $R$ compris entre son $0$ ème et son $(n+1)$ ème terme, quand $n\rightarrow +\infty$ , donc c'est la moyenne de tous les pas de $R$ sur $\mathbb {Z} _{+}$ .

Conjecture :

$\displaystyle {\exists n_{0}\in \mathbb {N} ,\,\,\forall n\geq n_{0},\,\,a_{R,n}<a_{S,n}\Longrightarrow {card}_{Q}(R)>{card}_{Q}(S)}$

Cela signifie qu'à partir d'un certain rang $n_{0}$ , $\forall n\geq n_{0}$ , si la moyenne des pas de $R$ compris entre son $(n+1)$ ème et son $-(n+1)$ ème terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de $S$ compris entre son $(n+1)$ ème et son $-(n+1)$ ème terme, alors le cardinal quantitatif de l'ensemble $R$ est strictement plus grand que celui de l'ensemble $S$ .

Cela signifie que si $R$ est strictement plus dense quantitativement que $S$ , à partir d'un certain rang $n_{0}$ , alors ${card}_{Q}(R)>{card}_{Q}(S)$

Conjecture :

$\displaystyle {\forall n\in \mathbb {N} ,\,\,a_{R,n}=a_{S,n}\,\,{\mbox{et}}\,\,\min R<\min S\Longrightarrow {card}_{Q}(R)>{card}_{Q}(S)}$

en particulier (sous réserve) : $\forall a\in \mathbb {N} ^{*},\,\,\forall b_{1},b_{2}\in \mathbb {N} \,\,\colon \,\,b_{1}<b_{2},\,\,{card}_{Q}(a\mathbb {N} +b_{1})>{card}_{Q}(a\mathbb {N} +b_{2})$

et on a $\displaystyle {\bigcup _{i\in \mathbb {N} _{m-1}}(m\mathbb {N} +i)=\mathbb {N} \,\,{\mbox{et}}\,\,\bigcap _{i\in \mathbb {N} _{m-1}}(m\mathbb {N} +i)=\emptyset }$ ,

on a $\displaystyle {\sum _{i\in \mathbb {N} _{m-1}}{card}_{Q}(m\mathbb {N} +i)={card}_{Q}(\mathbb {N} )}$

Idée pour généraliser la notion de cardinal quantitatif aux parties non convexes de $\mathbb {R} ^{n}$ , donc aux parties quelconques de $\mathbb {R} ^{n}$

Conjecture

Toute partie non convexe, connexe, de $\mathbb {R} ^{n}$ est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de $\mathbb {R} ^{n}$ ,

donc toute partie non convexe, de $\mathbb {R} ^{n}$ est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de $\mathbb {R} ^{n}$ ,

donc toute partie de $\mathbb {R} ^{n}$ est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de $\mathbb {R} ^{n}$ .

Cardinal quantitatif défini sur ${PV}({\mathbb {R} ''}^{n})$

Préliminaires

Définitions de $+\infty _{f}$ , $+\infty _{\cal {F(\mathbb {R} )}}$ , $+\infty _{\mathbb {R} }$ , ${\widetilde {\mathbb {R} }}$ , $\mathbb {R} '$ , $\mathbb {R} ''$ et ${\widetilde {\mathbb {R} ''}}$

Motivation : Cela permettra entre autre de définir l'ensemble ${\mathbb {R} ''}^{n}$ .

Remarque importante préliminaire :

Je vais essayer de prolonger $\mathbb {R} _{+}$ par une « infinité continue de nombres infinis positifs ».

(On pourrait construire, de même, le prolongement de $\mathbb {R} _{-}$ et donc aussi de $\mathbb {R}$ ).

Ce prolongement me servira d'ensemble de valeurs pour une extension de la mesure de Lebesgue généralisée ou de Hausdorff.

On pourra alors mesurer et distinguer les longueurs de deux courbes infinies, les aires de deux surfaces infinies, etc.

Définitions :

(voir Série de remarques 7.2 dans la page de discussion)

A) Soient $a,b\in {\overline {\mathbb {R} }},\,\,a<b$ .

Je pose et je note $+\infty _{\mathbb {R} }=+\infty$ .

Je note :

${\mathcal {F}}\left(\left(a,b\right[\right)={\mathcal {F}}_{2}((a,b[)\,\,{\underset {?}{\text{ou}}}\,\,{\mathcal {F}}_{3}((a,b[)$ ,

où $\displaystyle {{\mathcal {F}}_{1}((a,b[)=\{f\,\,|\,\,f\,\,:\,\,(a,b[\,\,\rightarrow \,\,\mathbb {R} \}}$ ,

$\displaystyle {{\mathcal {F}}_{2}((a,b[)=\{f\in {\mathcal {F}}_{1}((a,b[)\,\,|\,\,f\,\,{\mbox{continue, strictement croissante telle que}}\,\,\lim _{b^{-}}f=+\infty _{\mathbb {R} }\}}$ ,

et $\displaystyle {{\mathcal {F}}_{3}((a,b[)=\{f\in {\mathcal {F}}_{2}((a,b[)\,\,|\,\,\not \exists g\in {\mathcal {F}}_{2}((a,b[),\,\,\not \exists h\in {\mathcal {F}}_{1}((a,b[),\,\,{\mbox{oscillante}},\,\,f=g+h\}}$ ,

« oscillante » (en un sens que je n'ai pas défini)

(Je sais, il y a un hic concernant l'existence, hors l'ensemble $\emptyset$ , de l'ensemble $\displaystyle {{\mathcal {F}}_{3}((a,b[)}$ , mais peut-être faut-il, juste, ne pas le prendre en compte, et, plutôt, prendre en compte l'ensemble $\displaystyle {{\mathcal {F}}_{2}((a,b[)}$ . Mais cela ne sera-t-il pas problématique ?);

$+\infty _{\lim ,f,b^{-}}$ ou bien $+\infty _{f}$ , s'il n' y a aucune confusion possible :

$\forall f\in {\cal {F\left(\left(a,b\right[\right),\,\,+\infty _{f}=+\infty _{\lim ,f,b^{-}}\equiv {cl}_{\underset {b^{-}}{\sim }}(f)=\{g\in {\cal {F\left(\left(a,b\right[\right)\,\,|\,\,g\,\,{\underset {b^{-}}{\sim }}\,\,f\}}}}}$ , où ${\underset {b^{-}}{\sim }}$ est la relation d'équivalence définie en B);

$+\infty _{\cal {F\left(\left(a,b\right[\right)}}=\{+\infty _{f}\,\,|\,\,f\in {\cal {F\left(\left(a,b\right[\right)\}}}$ .

B) Définition des relations d'équivalence " ${\underset {b^{-}}{\sim }}$ " et d'ordre " ${\underset {b^{-}}{\leq }}$ " sur ${\cal {F\left(\left(a,b\right[\right)}}$ et des relations d'égalité " $=$ " et d'ordre $\leq$ sur $+\infty _{\cal {F\left(\left(a,b\right[\right)}}$ :

Soient $f,g\in {\cal {F\left(\left(a,b\right[\right)}}$ .

Mes relations d'équivalence " ${\underset {b^{-}}{\sim }}$ " et d'égalité " $=$ " sont définies par :

\displaystyle {+\infty _{f}=+\infty _{g}\Longleftrightarrow f{\underset {b^{-}}{\sim }}g\Longleftrightarrow \lim _{b^{-}}(f-g)=0}

.

Mes relations d'ordre " ${\underset {b^{-}}{\leq }}$ " et " $\leq$ " sont celles dont les ordres stricts sont définis par :

\displaystyle {+\infty _{f}<+\infty _{g}\Longleftrightarrow f{\underset {b^{-}}{<}}g\Longleftrightarrow \lim _{b^{-}}(f-g)<0}

,

et la seconde relation d'ordre est totale.

C) Si $f$ a une expression « élémentaire [synthétique] » (en un sens que je n'ai pas défini) au voisinage de $+\infty _{\mathbb {R} }$ , je la prolongerai en une application (encore notée $f$ ) définie sur $\left(a,b\right[\cup \{+\infty _{id_{\mathbb {R} }}\}$ en posant :

f\left(+\infty _{id_{\mathbb {R} }}\right)=+\infty _{f}

,

où $id_{\mathbb {R} }$ est l'application identité de $\mathbb {R}$ .

Remarque : Par exemple si $f\,\,:\,\,\mathbb {R} \to \mathbb {R} :\,\,x\,\,\mapsto \,\,{\Bigg \{}{\begin{matrix}3x+5&{\text{si}}\,\,x\in \mathbb {R} _{-}\\\displaystyle {\frac {e^{-x}}{6x+2}}&{\text{si}}\,\,x\in \mathbb {R} _{+}^{*}\end{matrix}}$ , $f$ a une expression élémentaire sur $\mathbb {R} _{-}$ , et $f$ a une expression élémentaire sur $\mathbb {R} _{+}^{*}$ , c'est intuitif, mais je ne sais pas le définir de manière formelle et générale.

Mais le problème est que $\displaystyle {\forall x\in \mathbb {R} ,\,\,f(x)=(3x+5)\,\,\mathbb {I} _{\mathbb {R} _{-}}(x)+{\frac {e^{-x}}{6x+2}}\,\,\mathbb {I} _{\mathbb {R} _{+}^{*}}(x)}$ , qui peut, aussi, d'une certaine façon être considérée comme une expression élémentaire, plus synthétique.

Par ailleurs, il existe des fonctions $g\,\,:\,\,\mathbb {R} \,\,\to \,\,\mathbb {R}$ , qui, à part, l'expression que l'on note $\forall x\in \mathbb {R} ,\,\,g(x)$ , ont une expression (élémentaire) aléatoire, en chaque point ou sur chaque singleton, ou, plutôt, une valeur (élémentaire) aléatoire, en chaque point, et qui sont telles qu'on ne peut pas les exprimer avec les fonctions usuelles.

(De toute façon, si je n'arrive pas à définir pour certaines fonctions $f\,\,:\,\,\mathbb {R} \,\,\rightarrow \,\,\mathbb {R}$ , le fait que " $f$ a une expression élémentaire sur $A\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} )$ ", je supprimerai la condition qui lui est relative.)

D)

Remarque : J'hésite à omettre la notation " ${\widetilde {\,\,\,\,\,\,}}$ " concernant les objets suivants : ${\widetilde {{vol}^{1}}}$ ou ${\widetilde {diam}}$ .

On a(axiome)(sous réserve):

$\forall a\in \mathbb {R} \bigcup \{+\infty _{\mathbb {R} }\}$ ,

$\displaystyle {\forall f_{0}\in {\cal {F}}(]-\infty _{\mathbb {R} },a[),\,\,+\infty _{f_{0}}=\sup _{f\in {\cal {F}}(\mathbb {R} )}+\infty _{f}}$

Remarque :

On a $\displaystyle {{\overline {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \bigcup \{\inf(\mathbb {R} ),\sup(\mathbb {R} )\}=\mathbb {R} \bigcup \{-\infty _{\mathbb {R} },+\infty _{\mathbb {R} }\}}$ .

Dans ma nouvelle théorie à construire (Mais il faudra aussi prendre en compte de la nature et le choix du plafonnement à l'infini de $\mathbb {R}$ autour de l'origine $O(0)$ du repère orthonormé ${\cal {R}}$ de $\mathbb {R}$ ) :

On pose : $\displaystyle {\mathbb {R} ={\Big [}\mathbb {R} ,{([-r,r])}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}}$ .

Définitions :

Cf. aussi : Série de remarques 3 de la Discussion associée.

$\mathbb {R} '=]-\infty _{{id}_{\mathbb {R} }},+\infty _{{id}_{\mathbb {R} }}[$

$\mathbb {R} ''=-\infty _{{\cal {F}}(\mathbb {R} )}\bigcup \mathbb {R} '\bigcup +\infty _{{\cal {F}}(\mathbb {R} )}$ , réunion non disjointe,

où $\displaystyle {\forall f,g\in {\cal {F}}(\mathbb {R} ),\,\,\forall a,b\in \mathbb {R} ,\,\,a\leq b,\,\,\forall c_{+}\in \mathbb {R} _{+}^{*},}$

$\displaystyle {{\Big (}-\infty _{\mathbb {R} ''}<-\infty _{f}<-\inf(+\infty _{{\cal {F}}(\mathbb {R} )})<2(-\infty _{\mathbb {R} })<-\infty _{\mathbb {R} }-c_{+}<-\infty _{\mathbb {R} }<-\infty _{\mathbb {R} }+c_{+}<a\leq b<+\infty _{\mathbb {R} }-c_{+}<+\infty _{\mathbb {R} }<+\infty _{\mathbb {R} }+c_{+}}$

$\displaystyle {<2(+\infty _{\mathbb {R} })<\inf(+\infty _{{\cal {F}}(\mathbb {R} )})<+\infty _{g}<+\infty _{\mathbb {R} ''}{\Big )}}$

et $\displaystyle {]a,b[\subsetneq \mathbb {R} \subsetneq {\widetilde {\mathbb {R} }}\subsetneq ]-\infty _{f},+\infty _{g}[\subsetneq \mathbb {R} ''}$ .

Dans cette conception :

$\displaystyle {\mathbb {R} =\bigcap _{c_{+}\in \mathbb {R} _{+}}]-\infty _{\mathbb {R} }+c_{+},+\infty _{\mathbb {R} }-c_{+}[\subsetneq ]-\infty _{\mathbb {R} },+\infty _{\mathbb {R} }[=]-{vol}^{1}(\mathbb {R} _{+}),{vol}^{1}(\mathbb {R} _{+})[={\widetilde {\mathbb {R} }}}$ .

${\widetilde {\mathbb {R} }}=]-{vol}^{1}(\mathbb {R} _{+}),{vol}^{1}(\mathbb {R} _{+})[=]-\sup({\widetilde {\mathbb {R} }}),\sup({\widetilde {\mathbb {R} }})[=]-\sup(\mathbb {R} ),\sup(\mathbb {R} )[=]-\infty _{\mathbb {R} },+\infty _{\mathbb {R} }[=]-\sup({\widetilde {\mathbb {N} }}),\sup({\widetilde {\mathbb {N} }})[=]-\sup(\mathbb {N} ),\sup(\mathbb {N} )[$

$=]-\infty _{\mathbb {N} },+\infty _{\mathbb {N} }[=]-{card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {N} ^{*}),{card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {N} ^{*})[$

et par analogie ${\widetilde {\mathbb {R} ''}}=]-{vol}^{1}({\mathbb {R} ''}_{+}),{vol}^{1}({\mathbb {R} ''}_{+})[=]-\sup({\widetilde {\mathbb {R} ''}}),\sup({\widetilde {\mathbb {R} ''}})[=]-\sup(\mathbb {R} ''),\sup(\mathbb {R} '')[=]-\infty _{\mathbb {R} ''},+\infty _{\mathbb {R} ''}[=]-\sup({\widetilde {\mathbb {N} ''}}),\sup({\widetilde {\mathbb {N} ''}})[$

$=]-\sup(\mathbb {N} ''),\sup(\mathbb {N} '')[=]-\infty _{\mathbb {N} ''},+\infty _{\mathbb {N} ''}[=]-{card}_{Q,{\cal {R}}}({\mathbb {N} ''}^{*}),{card}_{Q,{\cal {R}}}({\mathbb {N} ''}^{*})[$

où $\displaystyle {{vol}^{1}(\mathbb {R} _{+})=\sup({\widetilde {\mathbb {R} }})=\sup(\mathbb {R} )=+\infty _{\mathbb {R} }=\sup({\widetilde {\mathbb {N} }})=\sup(\mathbb {N} )=+\infty _{\mathbb {N} }={card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {N} ^{*})\not \in \mathbb {R} _{+}\bigcup +\infty _{{\cal {F}}(\mathbb {R} )}}$

et on a $\inf(+\infty _{{\cal {F}}(\mathbb {R} )})\not \in \mathbb {R} _{+}\bigcup +\infty _{{\cal {F}}(\mathbb {R} )}$

et $\mathbb {R} \subsetneq {\widetilde {\mathbb {R} }}\subsetneq \mathbb {R} '\subsetneq \mathbb {R} ''\subsetneq {\widetilde {\mathbb {R} ''}}$ .

Remarque :

Le fait que : $2\inf(+\infty _{{\cal {F}}(\mathbb {R} )})>\inf(+\infty _{{\cal {F}}(\mathbb {R} )})$ semble poser problème :

En effet, il semble que : $\displaystyle {2\inf(+\infty _{{\cal {F}}(\mathbb {R} )})=2\inf _{f\in {\cal {F}}(\mathbb {R} )}+\infty _{f}=\inf _{f\in {\cal {F}}(\mathbb {R} )}2(+\infty _{f})=\inf _{f\in {\cal {F}}(\mathbb {R} )}+\infty _{2f}=\inf _{f\in 2{\cal {F}}(\mathbb {R} )}+\infty _{f}=\inf _{f\in {\cal {F}}(\mathbb {R} )}+\infty _{f}=\inf(+\infty _{{\cal {F}}(\mathbb {R} )})}$ .

Peut-être qu'il faut plutôt définir et considérer l'ensemble ${\cal {F}}(\mathbb {N} )$ qui est l'ensemble ${\cal {F}}(\mathbb {R} )$ , en remplaçant $\mathbb {R}$ , par $\mathbb {N}$ , et en abandonnant la condition de continuité des éléments de ce 1er ensemble.

En effet, dans ce cas, on a : $\displaystyle {2\inf(+\infty _{{\cal {F}}(\mathbb {N} )})=2\inf _{f\in {\cal {F}}(\mathbb {N} )}+\infty _{f}=\inf _{f\in {\cal {F}}(\mathbb {N} )}2(+\infty _{f})=\inf _{f\in {\cal {F}}(\mathbb {N} )}+\infty _{2f}=\inf _{f\in 2{\cal {F}}(\mathbb {N} )}+\infty _{f}\neq \inf _{f\in {\cal {F}}(\mathbb {N} )}+\infty _{f}=\inf(+\infty _{{\cal {F}}(\mathbb {N} )})}$

Remarque :

$\displaystyle {\exists a,c\in -\infty _{{\cal {F}}(\mathbb {R} )},\,\,\exists b,d\in +\infty _{{\cal {F}}(\mathbb {R} )},\,\,a\neq c,\,\,b\neq d,\,\,a<b,\,\,c<d,\,\,]a,b[\subsetneq \mathbb {R} '\subsetneq ]c,d[}$

Remarques sur $+\infty _{f}$ , $+\infty _{\cal {F(\mathbb {R} )}}$ , $+\infty _{\mathbb {R} }$ , ${\widetilde {\mathbb {R} }}$ , $\mathbb {R} '$ , $\mathbb {R} ''$ et ${\widetilde {\mathbb {R} ''}}$

Remarque importante :

J'ai besoin de fonctions $f$ , à minima continues, strictement croissantes, tendant vers $+\infty _{\mathbb {R} }$ , quand leurs variables tendent vers $+\infty _{\mathbb {R} }$ ,

définies sur des intervalles du type $(a,+\infty _{\mathbb {R} }[$ ,

où $a\in \mathbb {R}$

(respectivement sur $\mathbb {R}$ ),

pour lesquelles il n'existe pas de fonctions $g$ et $h$ , telles que $f=g+h$ ,

avec $g$ continue, strictement croissante, tendant vers $+\infty _{\mathbb {R} }$ , quand sa variable tend vers $+\infty _{\mathbb {R} }$ , et $h$ continue, oscillante :

(Remarque : J'ai un peu de mal à me dépatouiller dans le paragraphe suivant)

En effet, par exemple, si $g$ et $h$ sont définies sur $(0,+\infty _{\mathbb {R} }[$ , par $g(x)=x^{2}$ et $h(x)=\cos(x)$ ,

on aurait alors dans ce cas :

$\{+\infty _{f}|f\,\,d{\acute {e}}finie\,\,pr{\acute {e}}c{\acute {e}}demment\}$

$=\{+\infty _{g+h}|g\,\,et\,\,h\,\,d{\acute {e}}finies\,\,pr{\acute {e}}c{\acute {e}}demment\}$

$={(g+h)}^{\sim }(+\infty _{\mathbb {R} })$

$=g^{\sim }(+\infty _{\mathbb {R} })+h^{\sim }(+\infty _{\mathbb {R} })$

(car $g^{\sim }(+\infty _{\mathbb {R} })=\{+\infty _{g}\}$ , est un singleton)

$=+\infty _{g}+h^{\sim }(+\infty _{\mathbb {R} })$

$=+\infty _{g}+\cos ^{\sim }(+\infty _{\mathbb {R} })$

$=+\infty _{g}+\cos(+\infty _{\mathbb {R} })$

(car $\cos(\mathbb {R} )=[-1,1]$ , ensemble borné dans $\mathbb {R}$ )

$=+\infty _{g}+\cos(\mathbb {R} )$

$=+\infty _{g}+[-1,1]$ ,

qui est un ensemble infini, donc de plus de $1$ élément

(et $+\infty _{f}$ serait, en quelque sorte, un infini positif "oscillant" qui serait fonction des valeurs de $x$ , quand $x\rightarrow +\infty _{\mathbb {R} }$ ),

qui est, ici, borné par une constante infinie positive : $(+\infty _{g})+1=+\infty _{g+1}$ ,

mais qui ne se réduit pas à un singleton, comme je le voudrais.

Remarque :

Dans le cas borné, à l'aide des mesures de Lebesgue généralisées ou de Hausdorff, qui mesurent chacune des volumes de dimension $i(0\leq i\leq n)$ , on peut construire et comparer les cardinaux quantitatifs d'ensembles appartenant à une classe d'ensembles bornés de $\mathbb {R} ^{n}$ et appartenant à des chaînes distinctes d'ensembles, pour l'inclusion.

Cf. La saga du "cardinal" version 4 (voir supra)

Moyennant une redéfinition de l'ensemble de départ et/ou de l'ensemble d'arrivée des mesures de Lebesgue, en remplaçant le point usuel $+\infty _{\mathbb {R} }$ par un ensemble infini de nombres infinis positifs $+\infty _{{\cal {F}}(\mathbb {R} )}$

(ici, je pense [vraisemblablement dans le cas où $n=1$ ]

Remarques et notations :

Si on considère $id_{\mathbb {R} }\,\,:\,\,\mathbb {R} \,\,\rightarrow \,\,\mathbb {R} \,\,:\,\,x\,\,\mapsto \,\,x$ , la fonction identité définie sur $\mathbb {R}$

$\displaystyle {\mathbb {R} '=]-\infty _{{id}_{\mathbb {R} }},+\infty _{{id}_{\mathbb {R} }}[\,\,{\mbox{et}}\,\,\mathbb {R} _{+}^{'}=[0,+\infty _{{id}_{\mathbb {R} }}[}$

et $\displaystyle {{\overline {\mathbb {R} '}}=[-\infty _{{id}_{\mathbb {R} }},+\infty _{{id}_{\mathbb {R} }}]\,\,{\mbox{et}}\,\,{\overline {\mathbb {R} _{+}^{'}}}=[0,+\infty _{{id}_{\mathbb {R} }}]}$

Peut-être qu'une grande partie de ce qui est entre parenthèses dans le paragraphe suivant est inutile dans ma théorie :

[Il faudra, auparavant, faire correspondre $+\infty _{id_{\mathbb {R} }}$ , qui correspond à la longueur de l'intervalle ${\mathbb {R} '}_{+}=[0,+\infty _{id_{\mathbb {R} }}[$ ,

qui est strictement inclus dans $\mathbb {R} '=]-\infty _{{id}_{\mathbb {R} }},+\infty _{{id}_{\mathbb {R} }}[$ ,

qui est strictement inclus dans $\mathbb {R} ''$ ,

et qui n'est pas un intervalle de $\mathbb {R}$ ,

mais un intervalle borné de $\mathbb {R} ''$ ,

au cardinal d'une certaine partie infinie bornée de $\mathbb {R}$ ,

par exemple, l'intervalle borné $[0,1[$ .

Mais, si on fait ça, alors, le cardinal quantitatif de $\mathbb {R} _{+}$ et tous les cardinaux quantitatifs des parties non bornées équipotentes à $\mathbb {R}$ , vaudront tous :

$\displaystyle {+\infty _{x=0}=_{d{\acute {e}}f}\sup _{n\in \mathbb {N} ^{*}}+\infty _{n\,\,id_{\mathbb {R} }}}$ :

Remarque :

Chaque élément d'un ensemble est un indivisible :

Un ensemble fini ne peut contenir par exemple $1,5$ éléments, mais un nombre fini entier d'éléments, de même un ensemble infini d'éléments ne peut contenir qu'un nombre infini "entier" d'éléments, même si cet ensemble n'est pas dénombrable :

Le cardinal quantitatif d'un ensemble est un nombre fini ou infini "entier" (ou transfini), contrairement, par exemple à toutes les mesures généralisées de cet ensemble, qui elles sont des nombres finis ou infinis "réels".)]

Enfin, on pourra construire et étendre, le cardinal quantitatif et sa formule, dans le cas de certaines parties bornées de $\mathbb {R} ^{n}$ et qui fait appel aux mesures de Lebesgue généralisées ou de Hausdorff de dimension $i\,\,(0\leq i\leq n)$ , au cas de parties non bornées de $\mathbb {R} ^{n}$ , en tenant compte du "plafonnement sphérique à l'infini".

Définition de ${PV}({\mathbb {R} ''}^{n})$

Soit $n\in \mathbb {N} ^{*}$

${PV}({\mathbb {R} ''}^{n})$

$={\Big \{}{A}\in {\cal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n})\,\,{\Big |}\,\,{A}\,\,sous{\text{-}}vari{\acute {e}}t{\acute {e}}\,\,compacte,\,\,convexe,\,\,(connexe)\,\,de\,\,{\mathbb {R} ''}^{n},\,\,de\,\,classe\,\,(C^{0})\,\,et\,\,(C^{1}\,\,par\,\,morceaux){\Big \}}$

Construction et définition

Définition du cardinal quantitatif sur ${\mathbb {R} ''}^{n}$ (axiomes de définition, généraux + axiomes de définition, dans le cas des parties bornées)

Remarque : J'hésite à omettre la notation " ${\widetilde {\,\,\,\,\,\,}}$ " concernant les objets suivants : ${\widetilde {{vol}^{1}}}$ ou ${\widetilde {diam}}$ .

Soit ${\cal {R}}$ un repère orthonormé de ${\mathbb {R} ''}^{n}$ , d'origine $O$ .

${card}_{Q,{\cal {R}}}\,\,:\,\,{\cal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n})\longrightarrow (F,+,\times ,\leq )$

où $(F,+,\times ,\leq )$ est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

(Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné $(F,+,\times ,\leq )$ , c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application ${card}_{Q,{\mathcal {R}}}$ , mais j'aurais pu l'appeler ${card}_{Q,{\mathcal {R}}}{\Big (}{\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n}){\Big )}$ , et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des axiomes de définition de ${card}_{Q,{\mathcal {R}}}$ et de ${\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n})$ .)

définie et donnée sur ${PV}({\mathbb {R} ''}^{n})$ , par une formule exprimant ${card}_{Q,{\cal {R}}}$ en fonction de ${({vol}^{i})}_{i\in \mathbb {N} _{n}^{*}}$ (ou de ${({vol}^{i})}_{i\in \mathbb {N} _{n}}$ , si on considère ${vol}^{0}$ , comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties dénombrables de $\mathbb {R} ^{n}$ ) et qui est une formule dérivée de celle donnée par Michel Coste,

dans La saga du "cardinal" version 4 (voir supra)

ou dans les propositions suivantes : Proposition 1.4 de GF (Guillaume FOUCART), dans les PDF de Michel COSTE (voir infra) et Proposition (voir infra)

ou dans Exemples 2 ("Suite 1 CQ de parties de $\mathbb {R} ^{n}$ (26)").

elle doit, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur les cardinaux au sens de la quantité) :

1)

[a) $\forall A\in {\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n})$ , $card_{Q,{\cal {R}}}(A)\geq 0$ ]

b) $card_{Q,{\cal {R}}}(\emptyset )=0$

c) $\forall x\in {\mathbb {R} ''}^{n},\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{x\})=1$

2)

a1) $\forall A,B\in {\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n})$ ,

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(A\bigcup B)={card}_{Q,{\cal {R}}}(A)+{card}_{Q,{\cal {R}}}(B)-{card}_{Q,{\cal {R}}}(A\bigcap B)}$

a2) REMARQUE IMPORTANTE : OBSTACLE ET FACTEUR, POUR L'INSTANT, LIMITANT DE "MA THEORIE" :

Dans le cas des parties de ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$ , Michel Coste a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie du cardinal quantitatif, mais moi je crois qu'on peut construire ${card}_{Q,{\cal {R}}}$ , même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur ${\mathcal {P}}({\mathbb {R} }^{n})$ , dans la théorie classique, mais que ce le sera dans la nouvelle théorie, quitte à introduire la nouvelle notation (excluant l'ancienne) et la nouvelle notion de "plafonnement à l'infini" $''[A,{(A_{i})}_{i\in I}]''$ où $A\in {PV2}(\mathbb {R} ^{n})$ et ${(A_{i})}_{i\in I}\subset {PV}(\mathbb {R} ^{n})$ , ou où $A\in {PV2}({\mathbb {R} ''}^{n})$ et ${(A_{i})}_{i\in I}\subset {PV}({\mathbb {R} ''}^{n})$ .

3)

$\displaystyle {\forall {(x_{m})}_{m\in \mathbb {N} }\subset {\mathbb {R''} },\,\,({\acute {e}}ventuellement\,\,convergente),\,\,\lim _{m\rightarrow +\infty }{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,x_{m}])={card}_{Q,{\cal {R}}}([0,\lim _{m\rightarrow +\infty }x_{m}])}$

4) Soient $\forall i\in \mathbb {N} _{n}^{*},\,\,{\cal {R}}_{i}$ un repère orthonormé de ${\mathbb {R} ''}^{i}$ d'origine $O_{i}{(0)}_{j\in \mathbb {N} _{i}^{*}}$ .

$\forall k\in \mathbb {N} _{n-1},$

$\displaystyle {\forall A\in {\cal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n-k})}$ , $\displaystyle {\forall B\in {\cal {P}}({\mathbb {R} ''}^{k})}$ ,

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(A\times B)={card}_{Q,{\cal {R}}_{n}}(A\times B)={card}_{Q,{\cal {R}}_{n}}(A\times \prod _{i\in \mathbb {N} _{k}^{*}}\{0\})\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{n}}(\prod _{i\in \mathbb {N} _{n-k}^{*}}\{0\}\times B)={card}_{Q,{\cal {R}}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{k}}(B)}$

@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose qu'il y a un plafonnement sphérique, à l'infini, autour de l'origine du repère orthonormé direct ${\cal {R}}$ .@

5)

A)

a) $\forall I\,\,{\mbox{intervalle de}}\,\,{\mathbb {R} ''}^{n}$ , $I\in {PV}({\mathbb {R} ''}^{n})$ ou $I\in {\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n}),\,\,I\,\,{\text{bornée}}$

${card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}{is}(I){\Big )}={card}_{Q,{\cal {R}}}(I)$ , pour toutes les isométries de $\mathbb {R} ''^{n}$

En particulier :

a1) $\forall I\,\,{\mbox{intervalle de}}\,\,{\mathbb {R} ''}^{n}$ , $I\in {PV}({\mathbb {R} ''}^{n})$ ou $I\in {\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n}),\,\,I\,\,{\text{bornée}}$ ,

$\forall x\in {\mathbb {R} ''}^{n},\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(I+x)={card}_{Q,{\cal {R}}}(I)$

a2) $\forall I\,\,{\mbox{intervalle de}}\,\,{\mathbb {R} ''}^{n}$ , $I\in {PV}({\mathbb {R} ''}^{n})$ ou $I\in {\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n}),\,\,I\,\,{\text{bornée}}$ ,

$\displaystyle {\forall M\in {\mathbb {R} ''}^{n}}$ ,

$\forall \theta _{n}\in {\begin{cases}\{0,\pi \}+2k\pi ;\,\,k\in \mathbb {Z} &{\text{si }}n=1\\{\mathbb {R} }^{n-1}&{\text{si }}n\neq 1\\\end{cases}}$ ,

${card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}{rot}_{(M,\theta _{n})}(I){\Big )}={card}_{Q,{\cal {R}}}(I)$

Si les axiomes donnés dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les axiomes donnés dans 3) B).

B)

a) $\forall A\in {PV}({\mathbb {R} ''}^{n})$ ou $A\in {\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n}),\,\,A\,\,{\text{bornée}}$ ,

${card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}{is}(A){\Big )}={card}_{Q,{\cal {R}}}(A)$ , pour toutes les isométries de ${\mathbb {R} ''}^{n}$ , $is$

En particulier :

a1) $\forall A\in {PV}({\mathbb {R} ''}^{n})$ ou $A\in {\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n}),\,\,A\,\,{\text{bornée}}$ ,

$\displaystyle {\forall x\in {\mathbb {R} ''}^{n},\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(A+x)={card}_{Q,{\cal {R}}}(A)}$

a2) $\forall A\in {PV}({\mathbb {R} ''}^{n})$ ou $A\in {\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n}),\,\,A\,\,{\text{bornée}}$ ,

$\forall M\in {\mathbb {R} ''}^{n}$ ,

$\forall \theta _{n}\in {\begin{cases}\{0,\pi \}+2k\pi ;\,\,k\in \mathbb {Z} &{\text{si }}n=1\\{\mathbb {R} }^{n-1}&{\text{si }}n\neq 1\\\end{cases}}$ ,

${card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}{rot}_{(M,\theta _{n})}(A){\Big )}={card}_{Q,{\cal {R}}}(A)$

Existence admise

Cf. La saga du "cardinal" version 4 de Michel COSTE (voir supra), en remplaçant " ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$ " par " ${PV}({\mathbb {R} ''}^{n})$ ".

Propriétés immédiates découlant de la définition du cardinal quantitatif sur ${\mathbb {R} ''}^{n}$

Il en découle de 1)b), de 2)a1) et peut-être d'autres axiomes de définition du cardinal quantitatif, en particulier que :

$\forall I\in {\cal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n}),\,\,{card}_{E}(I)\leq \aleph _{0},\,\,\forall (A_{i})_{i\in I}\subset {PV}({\mathbb {R} ''}^{n})$ ,

$\forall i,j\in I,\,\,i\neq j,\,\,A_{i}\bigcap A_{j}=\emptyset$

${card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}\bigcup _{i\in I}A_{i}{\Big )}=\sum _{i\in I}{card}_{Q,{\cal {R}}}(A_{i})$

La $\sigma$ -additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que ${PV}({\mathbb {R} ''}^{n})$ , avec la notation classique de la notion de limite de parties ${(A_{i})}_{i\in I}$ ayant pour limite une partie $A$ non bornée de ${\mathbb {R} ''}^{n}$ , dans la théorie classique, elle l'est si ${(A_{i})}_{i\in I}\subset {PV}({\mathbb {R} ''}^{n})$ et $A\in {PV2}({\mathbb {R} ''}^{n})$ , moyennant une nouvelle notation de la notion de limite d'une famille de parties ${(A_{i})}_{i\in I}$ ayant pour limite une partie $A$ non bornée de ${\mathbb {R} ''}^{n}$ , dans la nouvelle théorie, (excluant l'ancienne notation), c-à-d l'introduction de la notion de plafonnement à l'infini.

En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que :

a) $\forall A,B\in {\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n}),\,\,B\in {\mathcal {P}}(A)$

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(A\setminus B)={card}_{Q,{\cal {R}}}(A)-{card}_{Q,{\cal {R}}}(B)}$

b) $\forall A,B\in {\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n}),\,\,A\in {\mathcal {P}}(B),\,\,A\neq B$ ,

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(A)<{card}_{Q,{\cal {R}}}(B)}$

Il découle, en particulier, de 5), sous réserve de la remarque associée, que :

Si $I,{(I_{i})}_{i\in \mathbb {N} _{n}}$ sont des intervalles de $\mathbb {R''}$ , alors :

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(\prod _{i\in {\mathbb {N} }_{n}^{*}}I_{i})={card}_{Q,{\cal {R}}_{n}}(\prod _{i\in {\mathbb {N} }_{n}^{*}}I_{i})=\prod _{i\in {\mathbb {N} }_{n}^{*}}{card}_{Q,{\cal {R}}_{n}}(I_{i}\times \prod _{j\in \mathbb {N} _{n-1}^{*}}\{0\})=\prod _{i\in {\mathbb {N} }_{n}^{*}}{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}(I_{i})}$

et donc en particulier

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(I^{n})={card}_{Q,{\cal {R}}_{n}}(I^{n})={card}_{Q,{\cal {R}}_{n}}(\prod _{i\in {\mathbb {N} }_{n}^{*}}I)=\prod _{i\in {\mathbb {N} }_{n}^{*}}{card}_{Q,{\cal {R}}_{n}}(I\times \prod _{j\in \mathbb {N} _{n-1}^{*}}\{0\})=\prod _{i\in {\mathbb {N} }_{n}^{*}}{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}(I)={{\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}(I){\Big )}}^{n}={card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}^{n}(I)}$

Le cardinal quantitatif est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel, qui ne néglige aucun point de ${\mathbb {R} ''}^{n}$ et qui est uniforme ( $\forall x\in {\mathbb {R} ''}^{n},\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{x\})=1$ ).

Remarque :

$\forall {\mathcal {R}},{\mathcal {R}}'$ repères orthonormés de ${\mathbb {R} ''}^{n},\,\,{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}}_{|\{A\in {\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n})\,\,|\,\,A\,\,{\text{bornée}}\}}={{card}_{Q,{\mathcal {R}}'}}_{|\{A\in {\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n})\,\,|\,\,A\,\,{\text{bornée}}\}}$

On pose : $\forall {\mathcal {R}}$ repère orthonormé de ${\mathbb {R} ''}^{n},\,\,{card}_{Q}={{card}_{Q,{\mathcal {R}}}}_{|\{A\in {\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n})\,\,|\,\,A\,\,{\text{bornée}}\}}$

Proposition :

Soit ${\widetilde {E}}$ une partie bornée de ${\mathbb {R} ''}^{n}$ .

Si $\forall x\in {\widetilde {E}},\,\,A_{x}\in {\cal {P(\mathbb {R} ^{n})}}$ et $\forall x,y\in {\widetilde {E}},\,\,x\neq y,\,\,A_{x}\bigcap A_{y}=\emptyset$ et $A=\bigcup _{x\in {\widetilde {E}}}A_{x}$

alors ${card}_{Q,{\cal {R}}}(A)={card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}\bigcup _{x\in {\widetilde {E}}}A_{x}{\Big )}=\int _{\widetilde {E}}{card}_{Q,{\cal {R}}}(A_{x})\,\,d\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(x)$

(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les "plafonnements à l'infini", mais sans nécessairement considérer ${\widetilde {E}}$ bornée)

Résultats sur les intervalles $I$ , bornés, de $\mathbb {R} ''$ , et, en particulier, sur les parties de ${PV}(\mathbb {R} '')$

Soit ${\cal {R}}$ un repère orthonormé de $\mathbb {R} ''$ , d'origine $O$ .

Notations

Soit $N\in \mathbb {N} ^{*}$ .

Soit $A\in {\cal {P}}(E)$ .

${\stackrel {\circ }{A}}^{E}$ est l'intérieur de $A$ dans |par rapport à $E$ (on note aussi ${\stackrel {\circ }{A}}$ )

${\overline {A}}^{E}$ est l'adhérence de $A$ dans |par rapport à $E$ (on note aussi ${\overline {A}}$ )

$\displaystyle {\forall i\in \mathbb {N} _{N}^{*},\,\,\forall n\in \mathbb {N} _{N}^{*},\,\,n\geq i,\,\,{vol}^{i}={vol}^{i,n}}$ désigne la mesure de Lebesgue généralisée ou de Hausdorff, de dimension $i$ , dans ${\mathbb {R} ''}^{n}$ , de tribu de départ ${\cal {A}}_{i,n}=\{A_{i,n}\in {\cal {B}}({\mathbb {R} ''}^{n})|{dim}(A_{i,n})=i\}$

$\displaystyle {\forall n\in \mathbb {N} _{N}^{*},\,\,{vol}^{0}={vol}^{0,n}}$ désigne la mesure de Lebesgue ou de Hausdorff, de dimension $0$ , sur $\mathbb {R} ^{n}$ , c'est-à-dire la mesure de comptage sur $\mathbb {R} ^{n}$ , de tribu de départ ${\cal {A}}_{0,n}=\{A_{0,n}\in {\cal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n})|{dim}(A_{0,n})=0\}=\{A_{0,n}\in {\cal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n})|{card}_{E}(A_{0,n})\leq \aleph _{0}\}$

$\forall i\in \mathbb {N} _{N},\,\,{\widetilde {{vol}^{i}}}$ , notée, encore, ${vol}^{i}$ , désigne le prolongement de la mesure de Lebesgue généralisée ou de Hausdorff, de dimension $i$ , sur $\displaystyle {\bigcup _{n\in \mathbb {N} _{N}^{*},\,\,n\geq i}{\mathbb {R} ''}^{n}}$ , de tribu de départ $\displaystyle {{\cal {A}}_{i}=\bigcup _{n\in \mathbb {N} _{N}^{*},\,\,n\geq i}{\cal {A}}_{i,n}}$ telle que $\forall n\in \mathbb {N} _{N}^{*},\,\,n\geq i,\,\,{\widetilde {{vol}^{i}}}_{|{\cal {A}}_{i,n}}={vol}^{i,n}$

et telle que $\displaystyle {\forall n\in \mathbb {N} _{N}^{*},\,\,n\geq i,\,\,A_{i,n}\in {\cal {A}}_{i,n},\,\,A_{i}=\bigcup _{n\in \mathbb {N} _{N}^{*},n\geq i}A_{i,n},\,\,{\widetilde {{vol}^{i}}}(A_{i})={\widetilde {{vol}^{i}}}(\bigcup _{n\in \mathbb {N} _{N}^{*},\,\,n\geq i}A_{i,n})=\sum _{n\in \mathbb {N} _{N}^{*},\,\,n\geq i}{\widetilde {{vol}^{i}}}(A_{i,n})}$

Préliminaires :

Remarque

Remarque : J'hésite à omettre la notation " ${\widetilde {\,\,\,\,\,\,}}$ " concernant les objets suivants : ${\widetilde {{vol}^{1}}}$ ou ${\widetilde {diam}}$ .

Soient $I$ et $J$ , deux intervalles de $\mathbb {R} ''$ , non vides et non réduits à un singleton pour lesquels les milieux respectifs de ${\overline {I}}$ et ${\overline {J}}$ ou de ${\stackrel {\circ }{I}}$ et ${\stackrel {\circ }{J}}$ existent et sont notés $i_{0}$ et $j_{0}$ , alors on remarque que :

1)

$\displaystyle {\forall x_{0}\in {\mathbb {R} ''}^{n},\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{x_{0}\})={vol}^{0}(\{x_{0}\})=1}$

$\displaystyle {{vol}^{1}(I)={vol}^{1}(J)\Longleftrightarrow {card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {I}})={card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {J}})\,\,et\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{I}})={card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{J}})}$

En effet $\displaystyle {\forall I,J\,\,intervalle\,\,born{\acute {e}}\,\,de\,\,{\mathbb {R} ''}\,\,:\,\,{vol}^{1}(I)={vol}^{1}(J),\,\,\exists a_{I,J}\in \mathbb {R} ,\,\,{\overline {J}}={\overline {I}}+a_{I,J}\,\,et\,\,{\stackrel {\circ }{J}}={\stackrel {\circ }{I}}+a_{I,J}}$

2)

$\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {I}}\setminus \{i_{0}\})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {J}}\setminus \{j_{0}\})}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\bigg (}{\Big (}{\stackrel {\circ }{I}}\bigcup ({\overline {I}}\setminus {\stackrel {\circ }{I}}){\Big )}\setminus \{i_{0}\}{\bigg )}}{{card}_{Q,{\cal {R}}}{\bigg (}{\Big (}{\stackrel {\circ }{J}}\bigcup ({\overline {J}}\setminus {\stackrel {\circ }{J}}){\Big )}\setminus \{j_{0}\}{\bigg )}}}}$

c'est-à-dire

$\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {I}})-{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{i_{0}\})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {J}})-{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{j_{0}\})}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}{\stackrel {\circ }{I}}\bigcup ({\overline {I}}\setminus {\stackrel {\circ }{I}}){\Big )}-{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{i_{0}\})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}{\stackrel {\circ }{J}}\bigcup ({\overline {J}}\setminus {\stackrel {\circ }{J}}){\Big )}-{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{j_{0}\})}}}$

c'est-à-dire

$\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {I}})-{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{i_{0}\})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {J}})-{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{j_{0}\})}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{I}})+{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {I}}\setminus {\stackrel {\circ }{I}})-{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{i_{0}\})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{J}})+{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {J}}\setminus {\stackrel {\circ }{J}})-{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{j_{0}\})}}}$

c'est-à-dire

$\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {I}})-{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{i_{0}\})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {J}})-{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{j_{0}\})}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{I}})+{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{\displaystyle {\inf _{i\in I}i,\sup _{i\in I}i}\})-{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{i_{0}\})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{J}})+{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{\displaystyle {\inf _{j\in J}j,\sup _{j\in J}j}\})-{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{j_{0}\})}}}$

c'est-à-dire

$\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {I}})-1}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {J}})-1}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{I}})+2-1}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{J}})+2-1}}}$

c'est-à-dire

$\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {I}})-1}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {J}})-1}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{I}})+1}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{J}})+1}}}$

Proposition (Proposition 1.4 de GF, dans les PDF de Michel COSTE)

Remarque : J'hésite à omettre la notation " ${\widetilde {\,\,\,\,\,\,}}$ " concernant les objets suivants : ${\widetilde {{vol}^{1}}}$ ou ${\widetilde {diam}}$ .

Soient $I$ et $J$ , deux intervalles de $\mathbb {R} ''$ , non vides et non réduits à un singleton pour lesquels les milieux respectifs de ${\overline {I}}$ et ${\overline {J}}$ ou de ${\stackrel {\circ }{I}}$ et ${\stackrel {\circ }{J}}$ existent et sont notés $i_{0}$ et $j_{0}$ , alors a :

$\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {I}}\setminus \{i_{0}\})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {J}}\setminus \{j_{0}\})}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {I}})-1}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {J}})-1}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{I}})+1}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{J}})+1}}}={\frac {vol^{1}(I)}{vol^{1}(J)}}$

Démonstration :

Si on suppose que $I$ et $J$ sont bornés dans $\mathbb {R} ''$ , sans s'assimiler à des "demi-droites" de $\mathbb {R} ''$ , alors :