Une fonction arithmétique, c'est-à-dire une application ${\displaystyle f:\mathbb {N} ^{*}\to K}$ (${\displaystyle K}$ corps commutatif, en général ${\displaystyle \mathbb {C} }$), est dite :

• multiplicative si ${\displaystyle f(1)=1}$ et ${\displaystyle a\land b=1\Rightarrow f(ab)=f(a)f(b)}$ ;
• complètement multiplicative si l'on a même ${\displaystyle f(ab)=f(a)f(b)}$, sans hypothèse sur ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$.

• ${\displaystyle \delta _{1}}$ (« Dirac en 1 », définie par ${\displaystyle \delta _{1}(1)=1}$ et ${\displaystyle \delta _{1}(n)=0}$ pour tout entier ${\displaystyle n>1}$) ;
• ${\displaystyle \mathbf {1} }$ (la fonction constante ${\displaystyle n\mapsto 1}$) ;
• ${\displaystyle \mathrm {id} }$ (l'application identité) ;
• tous les produits et puissances (même d'exposant ${\displaystyle a}$ complexe) de fonctions complètement multiplicatives, par exemple ${\displaystyle \mathrm {id} ^{a}:n\mapsto n^{a}}$ (remarque : ${\displaystyle \mathbf {1} =\mathrm {id} ^{0}}$).

L'indicatrice d'Euler est la fonction arithmétique ${\displaystyle \varphi }$ définie par :

pour tout entier ${\displaystyle n\geq 1}$, ${\displaystyle \varphi (n)}$ est le nombre d'entiers ${\displaystyle k}$ premiers avec ${\displaystyle n}$ tels que ${\displaystyle 0<k\leq n}$^[3].

Pour tout entier ${\displaystyle n\geq 1}$, ${\displaystyle \varphi (n)}$ est égal :

1. au nombre d'éléments du groupe ${\displaystyle \left(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \right)^{\times }}$ des inversibles de l'anneau ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ ;
2. au nombre de générateurs d'un groupe cyclique d'ordre ${\displaystyle n}$.

1. ${\displaystyle \varphi }$ est multiplicative ;
2. si ${\displaystyle n=\prod _{i=1}^{r}p_{i}^{k_{i}}}$ (avec ${\displaystyle p_{1},\dots ,p_{r}}$ premiers distincts et ${\displaystyle k_{1},\dots ,k_{r}\in \mathbb {N} ^{*}}$) alors

   ${\displaystyle \varphi (n)=\prod _{i=1}^{r}p_{i}^{k_{i}-1}\left(p_{i}-1\right)=n\prod _{i=1}^{r}{\left(1-{\frac {1}{p_{i}}}\right)}}$.

Le produit de convolution de deux fonctions arithmétiques ${\displaystyle f}$ et ${\displaystyle g}$ est la fonction arithmétique ${\displaystyle f*g}$ définie par

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad (f*g)(n)=\sum _{ab=n}f(a)g(b)=\sum _{d|n}f(d)g(n/d)}$.

• ${\displaystyle \varphi *{\bf {1}}={\rm {id}}}$, d'après l'identité remarquable précédente.
• On vérifie facilement que ${\displaystyle \delta _{1}}$ est neutre pour ${\displaystyle *}$, c'est-à-dire que pour toute fonction arithmétique ${\displaystyle f}$, on a ${\displaystyle f*\delta _{1}=\delta _{1}*f=f}$.
• Pour tout nombre complexe ${\displaystyle a}$, la fonction « somme des puissances ${\displaystyle a}$-ièmes des diviseurs », ${\displaystyle \sigma _{a}:n\mapsto \sum _{d\mid n}d^{a}}$, peut s'écrire ${\displaystyle \sigma _{a}=\mathrm {id} ^{a}*\mathbf {1} }$. En particulier la fonction « nombre de diviseurs », notée ${\displaystyle d}$ (ou parfois ${\displaystyle \tau }$), est égale à ${\displaystyle \sigma _{0}=\mathbf {1} *\mathbf {1} }$, et la fonction « somme des diviseurs », notée ${\displaystyle \sigma }$, est égale à ${\displaystyle \sigma _{1}=\mathrm {id} *\mathbf {1} }$. Un calcul élémentaire donne, pour ${\displaystyle p}$ premier :

  ${\displaystyle \sigma _{a}\left(p^{k}\right)={\begin{cases}{\frac {p^{(k+1)a}-1}{p^{a}-1}}&{\text{si }}p^{a}\neq 1\\k+1&{\text{si }}p^{a}=1\end{cases}}}$,

  en particulier :

  ${\displaystyle \mathrm {d} \left(p^{k}\right)=k+1}$ et ${\displaystyle \sigma \left(p^{k}\right)={\frac {p^{k+1}-1}{p-1}}}$^[4].

L'ensemble des fonctions arithmétiques, muni de l'addition et de la convolution de Dirichlet, forme un anneau commutatif intègre^[5].

Une fonction arithmétique ${\displaystyle f}$ est inversible pour la convolution si et seulement si ${\displaystyle f(1)\neq 0}$.

Dans l'anneau de convolution des fonctions arithmétiques, l'ensemble des fonctions multiplicatives est un sous-groupe du groupe des inversibles.

La fonction inverse de ${\displaystyle {\bf {1}}}$ pour ${\displaystyle *}$ est notée ${\displaystyle \mu }$ et appelée la fonction de Möbius.

${\displaystyle \forall r\in \mathbb {N} \quad \forall p_{1},\dots ,p_{r}{\text{ premiers distincts}}\quad \forall k_{1},\dots ,k_{r}\in \mathbb {N} ^{*}}$

${\displaystyle \mu \left(p_{1}^{k_{1}}\dots p_{n}^{k_{r}}\right)={\begin{cases}(-1)^{r}&{\text{si tous les }}k_{i}{\text{ sont égaux à }}1\\0&{\text{sinon.}}\end{cases}}}$

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ^{*}\;g(n)=\sum _{d\mid n}f(d)}$ si et seulement si ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ^{*}\;f(n)=\sum _{d\mid n}\mu (d)g(n/d)}$.

De ${\displaystyle \varphi *\mathbf {1} =\mathrm {id} }$, on déduit : ${\displaystyle \varphi =\mu *\mathrm {id} }$, c.-à-d ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad \varphi (n)=\sum _{d\mid n}\mu (d){\frac {n}{d}}}$.