Soit z le terme médian des trois termes consécutifs de produit 1/3. Les trois termes consécutifs en question seront donc :

${\displaystyle z-1,\quad z,\quad z+1}$.

Le produit de ces trois nombres étant 1/3, nous sommes ramenés à résoudre l'équation :

${\displaystyle z(z+1)(z-1)={\frac {1}{3}}}$

En développant et en regroupant dans le premier membre, nous obtenons :

${\displaystyle z^{3}-z-{\frac {1}{3}}=0}$.

Nous avons alors avec les notations de cours :

${\displaystyle p=-1,\quad q=-{\frac {1}{3}}}$.

Nous ferons donc le changement de variable suivant :

${\displaystyle z={\sqrt {-{\frac {4p}{3}}}}\cos \theta ={\frac {2}{\sqrt {3}}}\cos \theta }$.

Nous obtenons :

${\displaystyle {\frac {8}{3{\sqrt {3}}}}\cos ^{3}\theta -{\frac {2}{\sqrt {3}}}\cos \theta -{\frac {1}{3}}=0}$,

qui se simplifie en :

${\displaystyle 4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta ={\frac {\sqrt {3}}{2}}}$.

La linéarisation du premier membre donne :

${\displaystyle \cos 3\theta ={\frac {\sqrt {3}}{2}}=\cos {\frac {\pi }{6}}}$.

Nous en déduisons :

${\displaystyle z_{k}={\frac {2}{\sqrt {3}}}\cos \theta _{k}}$

avec

${\displaystyle \theta _{k}={\frac {\pi }{18}}+{\frac {2k}{3}}\pi ,\quad k\in \{0,1,2\}}$,

soit

${\displaystyle {\begin{cases}z_{1}={\frac {2}{\sqrt {3}}}\cos {\frac {\pi }{18}}\\z_{2}={\frac {2}{\sqrt {3}}}\cos {\frac {11\pi }{18}}\\z_{3}={\frac {2}{\sqrt {3}}}\cos {\frac {13\pi }{18}},\end{cases}}}$

qui sont les trois racines de l'équation à résoudre.

Comme l'énoncé nous précisait que les termes recherchés de la suite doivent être positifs, nous voyons que la seule possibilité pour les trois termes consécutifs de produit 1/3 est :

${\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {3}}}\cos {\frac {\pi }{18}}-1,\qquad {\frac {2}{\sqrt {3}}}\cos {\frac {\pi }{18}},\qquad {\frac {2}{\sqrt {3}}}\cos {\frac {\pi }{18}}+1}$

(on peut vérifier que le produit de ces trois termes est bien 1/3).

Comme le premier de ces trois termes est compris entre 0 et 1, le précédent serait négatif, ce qui n’est pas possible. On peut en déduire que le premier des trois termes trouvés est u₀. On a donc :

${\displaystyle u_{0}={\frac {2}{\sqrt {3}}}\cos {\frac {\pi }{18}}-1}$.

L'équation peut s'écrire :

${\displaystyle z^{3}+pz+q=0}$

avec :

${\displaystyle p=-{\frac {3}{2+{\sqrt {2}}}},\quad q=-{\frac {1}{2+{\sqrt {2}}}}}$.

Nous ferons donc le changement de variable suivant :

${\displaystyle z={\sqrt {-{\frac {4p}{3}}}}\cos \theta ={\frac {2}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}\cos \theta }$.

L'équation de départ devient alors :

${\displaystyle {\frac {8}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}\cos ^{3}\theta ={\frac {6}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}\cos \theta +1}$,

qui se simplifie en :

${\displaystyle 4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta ={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}}$,

qui s'écrit aussi :

${\displaystyle \cos(3\theta )=\cos {\frac {\pi }{8}}}$.

Nous en déduisons :

${\displaystyle z_{k}={\frac {2}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}\cos \theta _{k}={\sqrt {2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\cos \theta _{k}}$

avec

${\displaystyle \theta _{k}={\frac {{\frac {\pi }{8}}+2k\pi }{3}}={\frac {(1+16k)\pi }{24}}={\frac {k\pi }{2}}+{\frac {(1+4k)\pi }{24}},\quad k\in \{-1,0,1\}}$,

soit :

${\displaystyle {\begin{cases}z_{-1}={\sqrt {2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\sin {\frac {-3\pi }{24}}=-{\sqrt {2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\sin {\frac {\pi }{8}}\\z_{0}={\sqrt {2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\cos {\frac {\pi }{24}}\\z_{1}=-{\sqrt {2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\sin {\frac {5\pi }{24}}.\end{cases}}}$

L'équation peut s'écrire :

${\displaystyle z^{3}+pz+q=0}$

avec :

${\displaystyle p=-{\frac {3}{2}},\quad q=-1}$.

${\displaystyle p}$ est négatif et Δ < 0.

Nous ferons donc le changement de variable suivant :

${\displaystyle z={\sqrt {-{\frac {4p}{3}}}}\cosh \theta ={\sqrt {2}}\cosh \theta }$.

Nous obtenons :

${\displaystyle 4{\sqrt {2}}\cosh ^{3}\theta -3{\sqrt {2}}\cosh \theta -2=0}$,

qui se simplifie en :

${\displaystyle 4\cosh ^{3}\theta -3\cosh \theta ={\sqrt {2}}}$.

La linéarisation du premier membre donne :

${\displaystyle \cosh(3\theta )={\sqrt {2}}}$.

On en déduit :

${\displaystyle 3\theta =\operatorname {arcosh} {\sqrt {2}}}$,

qui s'écrit aussi :

${\displaystyle 3\theta =\ln(1+{\sqrt {2}})}$,

soit :

${\displaystyle \theta ={\frac {\ln(1+{\sqrt {2}})}{3}}}$.

En reportant dans :

${\displaystyle z={\sqrt {2}}\cosh \theta }$,

on obtient la solution réelle de l'équation à résoudre :

${\displaystyle z={\sqrt {2}}\cosh {\frac {\ln(1+{\sqrt {2}})}{3}}={\frac {(1+{\sqrt {2}})^{1/3}+(1+{\sqrt {2}})^{-1/3}}{\sqrt {2}}}}$

(Cette méthode, étendue à la trigonométrie complexe, donne aussi les deux solutions non réelles :

${\displaystyle {\frac {(1+{\sqrt {2}})^{1/3}\mathrm {j} +(1+{\sqrt {2}})^{-1/3}\mathrm {j} ^{-1}}{\sqrt {2}}}}$ et son conjugué.)

L'équation peut s'écrire :

${\displaystyle z^{3}+pz+q=0~}$

avec :

${\displaystyle p=1,\quad q=-{\frac {2}{3}}}$.

${\displaystyle p}$ est positif et Δ < 0.

Nous ferons donc le changement de variable suivant :

${\displaystyle z={\sqrt {\frac {4p}{3}}}\sinh \theta ={\frac {2}{\sqrt {3}}}\sinh \theta }$.

Nous obtenons :

${\displaystyle {\frac {8}{\sqrt {3}}}\sinh ^{3}\theta +2{\sqrt {3}}\sinh \theta -2=0}$,

qui se simplifie en :

${\displaystyle 4\sinh ^{3}\theta +3\sinh \theta ={\sqrt {3}}}$.

La linéarisation du premier membre donne :

${\displaystyle \sinh(3\theta )={\sqrt {3}}}$.

On en déduit :

${\displaystyle 3\theta =\operatorname {arsinh} {\sqrt {3}}}$,

qui s'écrit aussi :

${\displaystyle 3\theta =\ln(2+{\sqrt {3}})}$,

soit :

${\displaystyle \theta ={\frac {\ln(2+{\sqrt {3}})}{3}}}$.

En reportant dans :

${\displaystyle z={\frac {2}{\sqrt {3}}}\sinh \theta }$,

on obtient :

${\displaystyle z={\frac {2}{\sqrt {3}}}\sinh {\frac {\ln(2+{\sqrt {3}})}{3}}={\frac {(2+{\sqrt {3}})^{1/3}-(2+{\sqrt {3}})^{-1/3}}{\sqrt {3}}}}$,

qui est la solution réelle de l'équation à résoudre.

(Cette méthode, étendue à la trigonométrie complexe, donne aussi les deux solutions non réelles :

${\displaystyle {\frac {(2+{\sqrt {3}})^{1/3}\mathrm {j} -(2+{\sqrt {3}})^{-1/3}\mathrm {j} ^{-1}}{\sqrt {3}}}}$ et son conjugué.)

Cette équation est de la forme :

${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}$

avec :

${\displaystyle a=1,\quad b=0,\quad c=-48,\quad d=-32\left(1-{\sqrt {5}}\right)}$.

Commençons par faire le changement de variable :

${\displaystyle x=z-{\frac {bc-9ad}{2(b^{2}-3ac)}}=z+{\sqrt {5}}-1}$.

On obtient :

${\displaystyle z^{3}+3({\sqrt {5}}-1)z^{2}-6(5+{\sqrt {5}})z-8{\sqrt {5}}=0}$,

qui est une équation de la forme :

${\displaystyle rz^{3}+sz^{2}+pz+q=0}$

avec :

${\displaystyle r=1,\quad s=3({\sqrt {5}}-1),\quad p=-6(5+{\sqrt {5}}),\quad q=-8{\sqrt {5}}}$.

On peut vérifier que l’on a bien ${\displaystyle sp-9rq=0}$.

Posons ensuite :

${\displaystyle z={\sqrt {-{\frac {p}{3r}}}}\tan \theta ={\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}\tan \theta }$.

On obtient :

${\displaystyle 2(5+{\sqrt {5}}){\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}\tan ^{3}\theta +24{\sqrt {5}}\tan ^{2}\theta -6(5+{\sqrt {5}}){\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}\tan \theta -8{\sqrt {5}}=0}$,

que l’on peut écrire :

${\displaystyle 2(5+{\sqrt {5}}){\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}(\tan ^{3}\theta -3\tan \theta )=-8{\sqrt {5}}(3\tan ^{2}\theta -1)}$,

que l’on peut mettre sous la forme :

${\displaystyle {\frac {\tan ^{3}\theta -3\tan \theta }{3\tan ^{2}\theta -1}}={\frac {-8{\sqrt {5}}}{2(5+{\sqrt {5}}){\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}}}}$,

qui se simplifie en :

${\displaystyle \tan(3\theta )=-{\sqrt {1-{\frac {2}{5}}{\sqrt {5}}}}}$,

qui peut encore s'écrire :

${\displaystyle \tan(3\theta )=\tan {\frac {-\pi }{10}}}$.

Nous en déduisons :

${\displaystyle z_{k}={\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}\tan \theta _{k},\qquad k\in \{-1,0,1\}}$

avec

${\displaystyle \theta _{k}={\frac {{\frac {-\pi }{10}}+k\pi }{3}}={\frac {(10k-1)\pi }{30}}={\frac {k\pi }{2}}-{\frac {(5k+1)\pi }{30}}}$,

soit :

${\displaystyle {\begin{cases}z_{-1}=-{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}\cot {\frac {2\pi }{15}}\\z_{0}=-{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}\tan {\frac {\pi }{30}}\\z_{1}={\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}\cot {\frac {\pi }{5}}.\end{cases}}}$

En reportant finalement ces valeurs dans :

${\displaystyle x=z+{\sqrt {5}}-1}$,

on obtient les trois racines de l'équation que l’on devait résoudre :

${\displaystyle {\begin{cases}x_{-1}=-{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}\cot {\frac {2\pi }{15}}+{\sqrt {5}}-1\\x_{0}=-{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}\tan {\frac {\pi }{30}}+{\sqrt {5}}-1\\x_{1}={\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}\cot {\frac {\pi }{5}}+{\sqrt {5}}-1.\end{cases}}}$

Cette équation est de la forme :

${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0~}$

avec :

${\displaystyle a=6,\quad b=-3,\quad c=3,\quad d=-1}$.

Nous commencerons par faire le changement de variable :

${\displaystyle x=z-{\frac {bc-9ad}{2(b^{2}-3ac)}}=z+{\frac {1}{2}}}$.

On obtient :

${\displaystyle 12z^{3}+12z^{2}+9z+1=0}$,

qui est une équation de la forme :

${\displaystyle rz^{3}+sz^{2}+pz+q=0}$

avec :

${\displaystyle r=s=12,\quad p=9,\quad q=1}$.

On peut vérifier que l’on a bien ${\displaystyle sp-9rq=0}$.

Posons ensuite :

${\displaystyle z={\sqrt {\frac {p}{3r}}}\tanh \theta ={\frac {\tanh \theta }{2}}}$.

On obtient :

${\displaystyle 3\tanh ^{3}\theta +6\tanh ^{2}\theta +9\tanh \theta +2=0}$,

que l’on peut écrire :

${\displaystyle 3(\tanh ^{3}\theta +3\tanh \theta )=-2(3\tanh ^{3}\theta +1)}$,

que l’on peut mettre sous la forme :

${\displaystyle {\frac {\tanh ^{3}\theta +3\tanh \theta }{3\tanh ^{3}\theta +1}}=-{\frac {2}{3}}}$,

qui se simplifie en :

${\displaystyle \tanh(3\theta )=-{\frac {2}{3}}}$.

Nous en déduisons :

${\displaystyle 3\theta =\operatorname {artanh} \left(-{\frac {2}{3}}\right)}$,

que nous pouvons écrire sous la forme :

${\displaystyle 3\theta ={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1-{\frac {2}{3}}}{1+{\frac {2}{3}}}}}$,

qui se simplifie en :

${\displaystyle \theta =-{\frac {\ln 5}{6}}}$.

En reportant dans :

${\displaystyle z={\frac {\tanh \theta }{2}}}$,

on obtient :

${\displaystyle z=-{\frac {1}{2}}\tanh {\frac {\ln 5}{6}}}$.

Il ne nous reste plus qu'à reporter dans :

${\displaystyle x=z+{\frac {1}{2}}}$.

On obtient :

${\displaystyle x={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}\tanh {\frac {\ln 5}{6}}={\frac {1}{2}}\left(1-\tanh {\frac {\ln 5}{6}}\right)={\frac {1}{{\sqrt[{3}]{5}}+1}}}$,

qui est la racine réelle de l'équation que l’on devait résoudre.

En utilisant la trigonométrie complexe, on trouve de même les deux autres racines :

${\displaystyle {\frac {1}{\mathrm {j} {\sqrt[{3}]{5}}+1}}}$ et son conjugué.

Mais, bien plus rapidement et moins savamment : il saute aux yeux que l'équation se met sous la forme

${\displaystyle 5x^{3}+(x-1)^{3}=0}$

donc équivaut à

${\displaystyle x\mathrm {j} ^{n}{\sqrt[{3}]{5}}=1-x,\quad n\in \{-1,0,1\}}$,

soit

${\displaystyle x={\frac {1}{\mathrm {j} ^{n}{\sqrt[{3}]{5}}+1}},\quad n\in \{-1,0,1\}}$.

L'équation est de la forme :

${\displaystyle rz^{3}+sz^{2}+pz+q=0}$

avec :

${\displaystyle r=m-1,\quad s=-3k(m+1),\quad p=3k^{2}(m-1),\quad q=-k^{3}(m+1)}$.

Cette équation vérifie déjà ${\displaystyle sp-9rq=0}$. Il est donc inutile de faire le changement de variable indiqué dans le cours.

De plus, nous avons :

${\displaystyle p^{2}-3sq=-36km^{4}<0}$.

Nous ferons donc le changement de variable :

${\displaystyle x={\sqrt {\frac {p}{3r}}}\coth \theta =k\coth \theta }$.

On obtient :

${\displaystyle k^{3}(m-1)\coth ^{3}\theta -3k^{3}(m+1)\coth ^{2}\theta +3k^{3}(m-1)\coth \theta -k^{3}(m+1)=0}$.

Comme ${\displaystyle k}$ est strictement positif, on peut simplifier par ${\displaystyle k^{3}}$ :

${\displaystyle (m-1)\coth ^{3}\theta -3(m+1)\coth ^{2}\theta +3(m-1)\coth \theta -(m+1)=0}$,

que l’on peut écrire :

${\displaystyle (m-1)(\coth ^{3}\theta +3\coth \theta )=(m+1)(3\coth ^{2}\theta +1)}$,

que l’on peut mettre sous la forme :

${\displaystyle {\frac {\coth ^{3}\theta +3\coth \theta }{3\coth ^{2}\theta +1}}={\frac {m+1}{m-1}}}$,

qui se simplifie sous la forme :

${\displaystyle \coth(3\theta )={\frac {m+1}{m-1}}}$.

Nous en déduisons :

${\displaystyle 3\theta =\operatorname {arcoth} {\frac {m+1}{m-1}}}$,

que nous pouvons écrire sous la forme :

${\displaystyle 3\theta ={\frac {1}{2}}\ln {\frac {{\frac {m+1}{m-1}}+1}{{\frac {m+1}{m-1}}-1}}}$,

qui se simplifie sous la forme :

${\displaystyle \theta ={\frac {\ln m}{6}}}$.

En reportant dans :

${\displaystyle x=k\coth \theta }$,

on obtient :

${\displaystyle x=k\coth {\frac {\ln m}{6}}=k{\frac {{\sqrt[{3}]{m}}+1}{{\sqrt[{3}]{m}}-1}}}$,

qui est la racine réelle de l'équation que l’on devait résoudre.

Remarque : plus simplement, et sans ${\displaystyle m}$ et ${\displaystyle k}$ soient nécessairement positifs ni même réels, l'équation est de la forme

${\displaystyle m(x-k)^{3}-(x+k)^{3}=0}$

donc ses trois solutions complexes sont :

${\displaystyle x_{n}=k{\frac {\mathrm {j} ^{n}{\sqrt[{3}]{m}}+1}{\mathrm {j} ^{n}{\sqrt[{3}]{m}}-1}},\quad n\in \{-1,0,1\}}$.