Considérons l'équation ${\displaystyle x^{3}-18x-35=0}$. Le coefficient de ${\displaystyle x^{2}}$ est nul donc nous n'effectuons pas de changement de variable préliminaire.

Posons :

${\displaystyle x=u+v}$.

On obtient :

${\displaystyle (u+v)^{3}-18(u+v)-35=0}$,

qui peut s'écrire :

${\displaystyle (u^{3}+v^{3})+3(uv-6)(u+v)-35=0}$.

En imposant

${\displaystyle uv=6}$,

on a donc :

${\displaystyle u^{3}+v^{3}=35,\qquad u^{3}v^{3}=216}$.

u³ et v³ sont donc racines de l'équation :

${\displaystyle X^{2}-35X+216=0}$,

dont les racines sont 27 et 8.

La paire ${\displaystyle \{u,v\}}$ (vérifiant ${\displaystyle uv=6}$) a donc trois valeurs possibles :

${\displaystyle \{u_{0},v_{0}\}=\{3,2\}}$ ;

${\displaystyle \{u_{1},v_{1}\}=\{3\mathrm {j} ,2{\overline {\mathrm {j} }}\}}$ ;

${\displaystyle \{u_{2},v_{2}\}=\{3{\overline {\mathrm {j} }},2\mathrm {j} \}}$.

En reportant dans ${\displaystyle x=u+v}$, on obtient les trois solutions de l'équation que l'on s'était donné de résoudre :

${\displaystyle x_{0}=3+2=5,\qquad \{x_{1},x_{2}\}=\left\{3\mathrm {j} +2{\overline {\mathrm {j} }},\;3{\overline {\mathrm {j} }}+2\mathrm {j} \right\}=\left\{{\frac {-5+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}},{\frac {-5-\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}\right\}}$.

Posons

${\displaystyle x=u+v}$.

On obtient :

${\displaystyle (u+v)^{3}-3(u+v)-1=0}$,

qui se simplifie sous la forme :

${\displaystyle u^{3}+v^{3}+(3uv-3)(u+v)-1=0}$.

Nous poserons alors :

${\displaystyle 3uv-3=0}$,

soit :

${\displaystyle uv=1}$.

On obtient le système :

${\displaystyle {\begin{cases}u^{3}+v^{3}=1\\u^{3}v^{3}=1.\end{cases}}}$

u³ et v³ sont alors les racines de l'équation :

${\displaystyle X^{2}-X+1=0}$

Les deux racines de cette équation sont :

${\displaystyle {\begin{cases}u^{3}={\frac {1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}=\operatorname {e} ^{\frac {\mathrm {i} \pi }{3}}\\v^{3}={\frac {1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}=\operatorname {e} ^{\frac {-\mathrm {i} \pi }{3}}.\end{cases}}}$

Compte tenu de la condition ${\displaystyle uv=1}$, on en déduit :

${\displaystyle u=\mathrm {j} ^{k}\operatorname {e} ^{\frac {\mathrm {i} \pi }{9}},\quad v={\overline {u}},\quad k\in \{-1,0,1\}}$.

En reportant dans ${\displaystyle x=u+v}$, on obtient :

${\displaystyle x_{k}=\operatorname {e} ^{{\frac {\mathrm {i} \pi }{9}}+k{\frac {2\mathrm {i} \pi }{3}}}+\operatorname {e} ^{-{\frac {\mathrm {i} \pi }{9}}-k{\frac {2\mathrm {i} \pi }{3}}}=\operatorname {e} ^{\frac {(1+6k)\mathrm {i} \pi }{9}}+\operatorname {e} ^{-{\frac {(1+6k)\mathrm {i} \pi }{9}}}\quad k\in \{-1,0,1\}}$

En tenant compte des formules d'Euler, on obtient finalement :

${\displaystyle x_{0}=2\cos {\frac {\pi }{9}},\quad x_{1}=2\cos {\frac {7\pi }{9}},\quad x_{-1}=2\cos {\frac {5\pi }{9}}}$.

Nous avons une équation de la forme :

${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0~}$

avec :

${\displaystyle a=1,\qquad b=-3,\qquad c=0,\qquad d=-1}$.

Pour supprimer le monôme de degré 2, commençons par faire le changement de variable :

${\displaystyle x=z-{\frac {b}{3a}}=z+1}$.

Nous obtenons :

${\displaystyle (z+1)^{3}-3(z+1)^{2}-1=0}$.

En développant et en regroupant par degrés, on obtient :

${\displaystyle z^{3}-3z-3=0}$.

Posons :

${\displaystyle z=u+v}$.

On obtient :

${\displaystyle (u+v)^{3}-3(u+v)-3=0}$,

qui peut s'écrire :

${\displaystyle (u^{3}+v^{3})+3(uv-1)(u+v)-3=0}$.

Posons :

${\displaystyle uv=1}$.

On obtient :

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}u^{3}+v^{3}=3\\u^{3}v^{3}=1\end{matrix}}\right.}$

u³ et v³ sont donc racines de l'équation :

${\displaystyle X^{2}-3X+1=0}$,

c'est-à-dire :

${\displaystyle \{u^{3},v^{3}\}=\left\{{\frac {3+{\sqrt {5}}}{2}},{\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}\right\}}$.

La paire ${\displaystyle \{u,v\}}$ (vérifiant ${\displaystyle uv=1}$) a donc trois valeurs possibles :

${\displaystyle \{u_{0},v_{0}\}=\left\{{\sqrt[{3}]{\frac {3+{\sqrt {5}}}{2}}},{\sqrt[{3}]{\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}}\right\}}$ ;

${\displaystyle \{u_{1},v_{1}\}=\left\{\mathrm {j} {\sqrt[{3}]{\frac {3+{\sqrt {5}}}{2}}},{\overline {\mathrm {j} }}{\sqrt[{3}]{\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}}\right\}}$ ;

${\displaystyle \{u_{2},v_{2}\}=\left\{{\overline {\mathrm {j} }}{\sqrt[{3}]{\frac {3+{\sqrt {5}}}{2}}},\mathrm {j} {\sqrt[{3}]{\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}}\right\}}$.

En reportant dans z = u + v puis x = z + 1, nous en déduisons finalement les trois solutions (une réelle et deux complexes conjuguées) de l'équation que l'on s'était donné de résoudre :

${\displaystyle x_{0}={\sqrt[{3}]{\frac {3+{\sqrt {5}}}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}}+1,\qquad \{x_{1},x_{2}\}=\left\{\mathrm {j} {\sqrt[{3}]{\frac {3+{\sqrt {5}}}{2}}}+{\overline {\mathrm {j} }}{\sqrt[{3}]{\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}}+1,\;{\overline {\mathrm {j} }}{\sqrt[{3}]{\frac {3+{\sqrt {5}}}{2}}}+\mathrm {j} {\sqrt[{3}]{\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}}+1\right\}}$.

Soit à résoudre l'équation :

${\displaystyle 6x^{3}-6x^{2}+12x+7=0}$.

Posons ${\displaystyle x=z+{\frac {1}{3}}}$. On obtient en remplaçant et en développant :

${\displaystyle 54z^{3}+90z+95=0}$.

Posons alors ${\displaystyle z=u+v}$. On obtient

${\displaystyle 54(u+v)^{3}+90(u+v)+95=0}$,

qui s'écrit :

${\displaystyle 54(u^{3}+v^{3})+(162uv+90)(u+v)+95=0}$.

En imposant ${\displaystyle 162uv+90=0}$, c’est-à-dire ${\displaystyle uv=-{\frac {5}{9}}}$, on a donc :

${\displaystyle u^{3}+v^{3}=-{\frac {95}{54}},\quad u^{3}v^{3}=-{\frac {125}{729}}}$.

${\displaystyle u^{3}}$ et ${\displaystyle v^{3}}$ sont donc les racines de l'équation :

${\displaystyle X^{2}+{\frac {95}{54}}X-{\frac {125}{729}}=0}$,

c'est-à-dire :

${\displaystyle \{u^{3},v^{3}\}=\left\{{\frac {5}{2\cdot 27}},-{\frac {50}{27}}\right\}}$.

Les trois paires ${\displaystyle \{u,v\}}$ vérifiant ${\displaystyle uv=-{\frac {5}{9}}}$ sont donc :

${\displaystyle \{u_{0},v_{0}\}=\left\{{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {5}{2}}},-{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{50}}\right\},\qquad \{u_{1},v_{1}\}=\{\mathrm {j} u_{0},{\overline {\mathrm {j} }}v_{0}\},\qquad \{u_{2},v_{2}\}=\{{\overline {\mathrm {j} }}u_{0},\mathrm {j} v_{0}\}}$.

En reportant dans ${\displaystyle z=u+v}$ puis ${\displaystyle x=z+{\frac {1}{3}}}$, on obtient finalement les trois solutions (une réelle et deux complexes conjuguées) de l'équation que l'on s'était donné de résoudre :

${\displaystyle x_{0}={\frac {1}{3}}\left({\sqrt[{3}]{\frac {5}{2}}}-{\sqrt[{3}]{50}}+1\right),\qquad \{x_{1},x_{2}\}=\left\{{\frac {1}{3}}\left(\mathrm {j} {\sqrt[{3}]{\frac {5}{2}}}-{\overline {\mathrm {j} }}{\sqrt[{3}]{50}}+1\right),\;{\frac {1}{3}}\left({\overline {\mathrm {j} }}{\sqrt[{3}]{\frac {5}{2}}}-\mathrm {j} {\sqrt[{3}]{50}}+1\right)\right\}}$.

Considérons l'équation ${\displaystyle x^{3}-6x^{2}+9x-1=0}$.

Pour supprimer le monôme de degré 2, posons ${\displaystyle x=z+2}$. L'équation devient :

${\displaystyle z^{3}-3z+1=0}$.

Posons alors

${\displaystyle z=u+v}$.

On obtient

${\displaystyle (u+v)^{3}-3(u+v)+1=0}$,

qui s'écrit :

${\displaystyle u^{3}+v^{3}+(3uv-3)(u+v)+1=0}$.

En imposant

${\displaystyle uv=1}$,

on a donc :

${\displaystyle u^{3}+v^{3}=-1\qquad {\text{et}}\qquad u^{3}v^{3}=1}$.

${\displaystyle u^{3}}$ et ${\displaystyle v^{3}}$ sont donc les deux racines de l'équation :

${\displaystyle X^{2}+X+1=0}$,

c'est-à-dire

${\displaystyle \{u^{3},v^{3}\}=\{\mathrm {j} ,{\overline {\mathrm {j} }}\}=\{\operatorname {e} ^{\frac {2\mathrm {i} \pi }{3}},\operatorname {e} ^{\frac {-2\mathrm {i} \pi }{3}}\}}$.

Les trois paires ${\displaystyle \{u,v\}}$ vérifiant ${\displaystyle uv=1}$ sont donc :

${\displaystyle \{u_{k},v_{k}\}=\left\{\mathrm {j} ^{k}\operatorname {e} ^{\frac {2\mathrm {i} \pi }{9}},\mathrm {j} ^{-k}\operatorname {e} ^{-{\frac {2\mathrm {i} \pi }{9}}}\right\}=\left\{\operatorname {e} ^{\frac {2\mathrm {i} \pi (1+3k)}{9}},\operatorname {e} ^{-{\frac {2\mathrm {i} \pi (1+3k)}{9}}}\right\},\quad k\in \{0,1,2\}}$.

En reportant dans ${\displaystyle z=u+v}$, on obtient ${\displaystyle z_{k}=2\cos \left({\frac {2\pi (1+3k)}{9}}\right)}$, soit :

${\displaystyle z_{0}=2\cos {\frac {2\pi }{9}},\qquad z_{1}=2\cos {\frac {8\pi }{9}},\qquad z_{2}=2\cos {\frac {4\pi }{9}}}$,

d'où les solutions ${\displaystyle x_{k}=z_{k}+2}$.

Nous avons une équation de la forme :

${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0~}$

avec :

${\displaystyle a=3\qquad b=9\qquad c=-9\qquad d=-29~}$

Pour supprimer le monôme de degré 2, nous commencerons par faire le changement de variable :

${\displaystyle x=z-{\frac {b}{3a}}=z-1~}$

Nous obtenons :

${\displaystyle 3(z-1)^{3}+9(z-1)^{2}-9(z-1)-29=0~}$

En développant et en réduisant les termes semblables, on obtient :

${\displaystyle 3z^{3}-18z-14=0~}$

Posons :

${\displaystyle z=u+v~}$

On obtient :

${\displaystyle 3(u+v)^{3}-18(u+v)-14=0~}$

Qui peut s'écrire :

${\displaystyle 3(u^{3}+v^{3})+9(uv-2)(u+v)-14=0~}$

Posons :

${\displaystyle uv=2~}$

On obtient :

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}u^{3}+v^{3}={\frac {14}{3}}\\u^{3}v^{3}=8\end{matrix}}\right.}$

u³ et v³ sont donc racines de l'équation :

${\displaystyle X^{2}-{\frac {14}{3}}X+8=0~}$

Qui a pour racines :

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}u^{3}={\frac {7+i{\sqrt {23}}}{3}}\\v^{3}={\frac {7-i{\sqrt {23}}}{3}}\end{matrix}}\right.}$

Tout cela pour dire en fait que u a trois valeurs possibles qui sont :

${\displaystyle u={\sqrt[{3}]{\frac {7+i{\sqrt {23}}}{3}}}\qquad ou\qquad u=j.{\sqrt[{3}]{\frac {7+i{\sqrt {23}}}{3}}}\qquad ou\qquad u=j^{2}.{\sqrt[{3}]{\frac {7+i{\sqrt {23}}}{3}}}~}$

et v a aussi trois valeurs possibles qui sont :

${\displaystyle v={\sqrt[{3}]{\frac {7-i{\sqrt {23}}}{3}}}\qquad ou\qquad v=j.{\sqrt[{3}]{\frac {7-i{\sqrt {23}}}{3}}}\qquad ou\qquad v=j^{2}.{\sqrt[{3}]{\frac {7-i{\sqrt {23}}}{3}}}~}$

Nous devons ensuite en déduire x en ajoutant une valeur de u avec une valeur de v.

Comment savoir quelle valeur de u va avec quelle valeur de v ?

Nous devons choisir une valeur de u et une valeur de v vérifiant la relation posée plus haut :

${\displaystyle uv=2~}$

Compte tenu du fait que j³ = 1, nous accouplerons u et v de la façon suivante :

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}u={\sqrt[{3}]{\frac {7+i{\sqrt {23}}}{3}}}\\v={\sqrt[{3}]{\frac {7-i{\sqrt {23}}}{3}}}\end{matrix}}\right.\qquad ou\qquad \left\{{\begin{matrix}u=j.{\sqrt[{3}]{\frac {7+i{\sqrt {23}}}{3}}}\\v=j^{2}.{\sqrt[{3}]{\frac {7-i{\sqrt {23}}}{3}}}\end{matrix}}\right.\qquad ou\qquad \left\{{\begin{matrix}u=j^{2}.{\sqrt[{3}]{\frac {7+i{\sqrt {23}}}{3}}}\\v=j.{\sqrt[{3}]{\frac {7-i{\sqrt {23}}}{3}}}\end{matrix}}\right.}$

Comme z = u + v, nous en déduisons trois valeurs pour z qui sont :

${\displaystyle z_{1}={\sqrt[{3}]{\frac {7+i{\sqrt {23}}}{3}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {7-i{\sqrt {23}}}{3}}}~}$

${\displaystyle z_{2}=j.{\sqrt[{3}]{\frac {7+i{\sqrt {23}}}{3}}}+j^{2}.{\sqrt[{3}]{\frac {7-i{\sqrt {23}}}{3}}}~}$

${\displaystyle z_{3}=j^{2}.{\sqrt[{3}]{\frac {7+i{\sqrt {23}}}{i}}}+j.{\sqrt[{3}]{\frac {7-i{\sqrt {23}}}{3}}}~}$

En reportant les trois valeurs de z dans la relation :

${\displaystyle x=z-1~}$

Nous en déduisons finalement :

α) L'équation :

${\displaystyle {\frac {4x^{2}}{3}}={\frac {{\sqrt {3}}-6x}{2x-{\sqrt {27}}}}}$

Se met sous la forme :

${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}$

avec

${\displaystyle a=8,\quad b=-12{\sqrt {3}},\quad c=18,\quad d=-3{\sqrt {3}}}$.

Par le changement de variable ${\displaystyle x=z-{\frac {b}{3a}}}$, elle devient

${\displaystyle z^{3}+pz+q=0}$

avec

${\displaystyle p={\frac {3ac-b^{2}}{3a^{2}}}=0}$ ;

${\displaystyle q={\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d}{27a^{3}}}=0}$.

Il s'ensuit que les trois racines de l'équation à résoudre sont :

${\displaystyle x_{0}=x_{1}=x_{2}=-{\frac {b}{3a}}=-{\frac {-12{\sqrt {3}}}{3\times 8}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}}$.

β) L'équation :

${\displaystyle x^{3}-5x^{2}+x-1=4x{\sqrt {2}}}$

se met sous la forme :

${\displaystyle x^{3}-5x^{2}+(1-4{\sqrt {2}})x-1=0}$.

Par le changement de variable ${\displaystyle x=z-{\frac {b}{3a}}}$, elle devient

${\displaystyle z^{3}+pz+q=0}$

avec

${\displaystyle p={\frac {c}{a}}-{\frac {b^{2}}{3a^{2}}}=1-4{\sqrt {2}}-{\frac {(-5)^{2}}{3}}=-4{\sqrt {2}}-{\frac {22}{3}}}$ ;

${\displaystyle q={\frac {2b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {bc}{3a^{2}}}+{\frac {d}{a}}={\frac {2(-5)^{3}}{27}}-{\frac {-5(1-4{\sqrt {2}})}{3}}-1={\frac {-20{\sqrt {2}}}{3}}-{\frac {232}{27}}}$

Calculons le discriminant de cette équation.

${\displaystyle \Delta =-4p^{3}-27q^{2}=0}$.

Calculons p et q :

${\displaystyle p={\frac {c}{a}}-{\frac {b^{2}}{3a^{2}}}={\frac {1-4{\sqrt {2}}}{1}}-{\frac {(-5)^{2}}{3\times 1^{2}}}=-4{\sqrt {2}}-{\frac {22}{3}}~}$

${\displaystyle q={\frac {2b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {bc}{3a^{2}}}+{\frac {d}{a}}={\frac {2(-5)^{3}}{27\times 1^{3}}}-{\frac {-5(1-4{\sqrt {2}})}{3\times 1^{2}}}+{\frac {-1}{1}}={\frac {-20{\sqrt {2}}}{3}}-{\frac {232}{27}}~}$

Il s'ensuit que les trois racines de l'équation à résoudre sont :

${\displaystyle x_{0}={\frac {3q}{p}}-{\frac {b}{3a}}=3+2{\sqrt {2}}}$ ;

${\displaystyle x_{1}=x_{2}=-{\frac {3q}{2p}}-{\frac {b}{3a}}=1-{\sqrt {2}}}$.

Première méthode

Nous voyons que l'équation admet la racine évidente x₁ = 1. Nous pouvons donc la factoriser par x - 1.

Nous obtenons :

${\displaystyle (x-1)(x^{2}+mx+2)=0~}$

Cette factorisation a été faites de façon à ce qu'en développant, on retrouve le terme de plus haut degré et le terme constant. Il nous reste à déterminer m. Pour cela on redéveloppe :

${\displaystyle x^{3}+(m-1)x^{2}+(2-m)x-2=0~}$

Et l’on identifie avec l'équation initiale. On obtient :

${\displaystyle {\begin{cases}m-1=-2\\2-m=3\end{cases}}}$

Dans les deux cas, on voit que m = -1. L'équation factorisée s'écrit donc :

${\displaystyle (x-1)(x^{2}-x+2)=0~}$

Il nous reste à résoudre :

${\displaystyle x^{2}-x+2=0~}$

Calculons le discriminant :

${\displaystyle \Delta =(-1)^{2}-4\times 1\times 2=-7=\left(i{\sqrt {7}}\right)^{2}~}$

Les deux racines de la dernière équation du second degré sont donc :

${\displaystyle {\begin{cases}x_{2}={\frac {1+i{\sqrt {7}}}{2}}\\x_{3}={\frac {1-i{\sqrt {7}}}{2}}\end{cases}}}$

Finalement les trois racines de l'équation :

${\displaystyle x^{3}-2x^{2}+3x-2=0~}$

sont :

${\displaystyle {\begin{cases}x_{1}=1\\x_{2}={\frac {1+i{\sqrt {7}}}{2}}\\x_{3}={\frac {1-i{\sqrt {7}}}{2}}\end{cases}}}$

Deuxième méthode

Dans :

${\displaystyle x^{3}-2x^{2}+3x-2=0~}$

Posons :

${\displaystyle x=z+{\frac {2}{3}}~}$

On obtient après simplification :

${\displaystyle 27z^{3}+45z-16=0~}$

Posons ensuite :

${\displaystyle z=u+v~}$

On obtient :

${\displaystyle 27(u+v)^{3}+45(u+v)-16=0~}$

Qui se simplifie sous la forme :

${\displaystyle 27\left(u^{3}+v^{3}\right)+9(9uv+5)(u+v)-16=0~}$

Nous poserons alors :

${\displaystyle 9uv+5=0~}$

Soit :

${\displaystyle uv=-{\frac {5}{9}}~}$

On obtient le système :

${\displaystyle {\begin{cases}u^{3}+v^{3}={\frac {16}{27}}={\frac {432}{729}}\\u^{3}v^{3}=-{\frac {125}{729}}\end{cases}}}$

u³ et v³ sont alors les racines de l'équation :

${\displaystyle 729X^{2}-432X-125=0~}$

Les deux racines de cette équation sont :

${\displaystyle {\begin{cases}u^{3}={\frac {8+3{\sqrt {21}}}{27}}\\v^{3}={\frac {8-3{\sqrt {21}}}{27}}\end{cases}}}$

Compte tenu de la condition :

${\displaystyle uv=-{\frac {5}{9}}~}$

on en déduit :

${\displaystyle {\begin{cases}u={\sqrt[{3}]{\frac {8+3{\sqrt {21}}}{27}}}\\v={\sqrt[{3}]{\frac {8-3{\sqrt {21}}}{27}}}\end{cases}}ou\quad {\begin{cases}u=j{\sqrt[{3}]{\frac {8+3{\sqrt {21}}}{27}}}\\v=j^{2}{\sqrt[{3}]{\frac {8-3{\sqrt {21}}}{27}}}\end{cases}}ou\quad {\begin{cases}u=j^{2}{\sqrt[{3}]{\frac {8+3{\sqrt {21}}}{27}}}\\v=j{\sqrt[{3}]{\frac {8-3{\sqrt {21}}}{27}}}\end{cases}}}$

En reportant dans z = u + v, on obtient :

${\displaystyle {\begin{cases}z_{1}={\sqrt[{3}]{\frac {8+3{\sqrt {21}}}{27}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {8-3{\sqrt {21}}}{27}}}\\z_{2}=j{\sqrt[{3}]{\frac {8+3{\sqrt {21}}}{27}}}+j^{2}{\sqrt[{3}]{\frac {8-3{\sqrt {21}}}{27}}}\\z_{3}=j^{2}{\sqrt[{3}]{\frac {8+3{\sqrt {21}}}{27}}}+j{\sqrt[{3}]{\frac {8-3{\sqrt {21}}}{27}}}\end{cases}}}$

En reportant dans :

${\displaystyle x=z+{\frac {2}{3}}~}$

On trouve finalement :

${\displaystyle {\begin{cases}x_{1}={\sqrt[{3}]{\frac {8+3{\sqrt {21}}}{27}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {8-3{\sqrt {21}}}{27}}}+{\frac {2}{3}}\\x_{2}=j{\sqrt[{3}]{\frac {8+3{\sqrt {21}}}{27}}}+j^{2}{\sqrt[{3}]{\frac {8-3{\sqrt {21}}}{27}}}+{\frac {2}{3}}\\x_{3}=j^{2}{\sqrt[{3}]{\frac {8+3{\sqrt {21}}}{27}}}+j{\sqrt[{3}]{\frac {8-3{\sqrt {21}}}{27}}}+{\frac {2}{3}}\end{cases}}}$

Conclusion

Chacune des deux méthodes précédentes nous donne une racine réelle et deux racines complexes conjuguées. Il est donc évident que les racines réelles données par les deux méthodes sont égales. Ce qui se traduit par :

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{\frac {8+3{\sqrt {21}}}{27}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {8-3{\sqrt {21}}}{27}}}+{\frac {2}{3}}=1}$.

1. Pour ${\displaystyle k,z}$ fixés, on a, pour tout ${\displaystyle y\neq 0}$ : ${\displaystyle z=y-{\frac {k}{y}}\Leftrightarrow y^{2}-zy-k=0}$, or l'équation ${\displaystyle y^{2}-zy-k=0}$ a toujours au moins une solution ${\displaystyle y}$ non nulle, sauf si ${\displaystyle k=z=0}$.
2. ${\displaystyle z^{3}+pz+q=0\Leftrightarrow (y^{2}-k)^{3}+p(y^{2}-k)y^{2}+qy^{3}=0\Leftrightarrow y^{6}+(p-3k)y^{4}+qy^{3}+(3k^{2}-pk)y^{2}-k^{3}=0}$.
3. ${\displaystyle k={\frac {p}{3}},\;r=q,\;s=-k^{3}=-{\frac {p^{3}}{27}}}$. On pose ${\displaystyle w=y^{3}}$ et l'on résout donc ${\displaystyle w^{2}+rw+s=0}$. Soit ${\displaystyle \delta }$ l'une des deux racines carrées de ${\displaystyle r^{2}-4s=q^{2}+4{\frac {p^{3}}{27}}}$. Les 2 solutions de l'équation en ${\displaystyle w}$ sont : ${\displaystyle w_{0}={\frac {-q+\delta }{2}},\;w_{1}={\frac {-q-\delta }{2}}}$. Les 6 solutions de l'équation en ${\displaystyle y}$ sont donc ${\displaystyle \mathrm {j} ^{l}u_{k}}$ pour ${\displaystyle k\in \{0,1\}}$ et ${\displaystyle l\in \{0,1,2\}}$, où ${\displaystyle u_{0}}$ est l'une des trois racines cubiques de ${\displaystyle w_{0}}$, et ${\displaystyle u_{1}=-{\frac {p}{3u_{0}}}}$ (racine cubique de ${\displaystyle w_{1}=-{\frac {p^{3}}{27w_{0}}}}$).
4. Les 3 solutions de ${\displaystyle z^{3}+pz+q=0}$ sont donc ${\displaystyle z_{l}:=\mathrm {j} ^{l}u_{0}-{\frac {p}{3\mathrm {j} ^{l}u_{0}}}=\mathrm {j} ^{-l}u_{1}-{\frac {p}{3\mathrm {j} ^{-l}u_{1}}}=\mathrm {j} ^{l}u_{0}+\mathrm {j} ^{-l}v_{0}}$ pour ${\displaystyle l\in \{0,1,2\}}$ (ou ${\displaystyle l\in \{-1,0,1\}}$), où ${\displaystyle u_{0}}$ est l'une des trois racines cubiques de ${\displaystyle {\frac {-q+\delta }{2}}}$ et ${\displaystyle v_{0}:=u_{1}}$ est la racine cubique de ${\displaystyle {\frac {-q-\delta }{2}}}$ telle que ${\displaystyle u_{0}v_{0}=-{\frac {p}{3}}}$, ${\displaystyle \delta }$ étant l'une des deux racines carrées de ${\displaystyle q^{2}+4{\frac {p^{3}}{27}}=-{\frac {\Delta }{27}}}$.

1. Toute permutation des ${\displaystyle x_{i}}$ laisse évidemment ${\displaystyle y_{0}}$ invariant. Elle envoie ${\displaystyle (y_{1},y_{2})}$ sur :
   • ${\displaystyle (\mathrm {j} ^{2}y_{1},\mathrm {j} y_{2})}$ ou ${\displaystyle (\mathrm {j} y_{1},\mathrm {j} ^{2}y_{2})}$ si c'est une permutation circulaire ;
   • ${\displaystyle (y_{2},y_{1})}$ ou ${\displaystyle (\mathrm {j} y_{2},\mathrm {j} ^{2}y_{1})}$ ou ${\displaystyle (\mathrm {j} ^{2}y_{2},\mathrm {j} y_{1})}$ si c'est une transposition.
2. D'après la question précédente, toute permutation des ${\displaystyle x_{i}}$ laisse fixes ${\displaystyle y_{0}}$, ${\displaystyle y_{1}y_{2}}$ et ${\displaystyle y_{1}^{3}+y_{2}^{3}}$.
3.  

   ${\displaystyle y_{0}=\sigma _{1}=-{\frac {b}{a}}}$ ;

   ${\displaystyle {\begin{aligned}y_{1}y_{2}&=(x_{0}+\mathrm {j} x_{1}+\mathrm {j} ^{2}x_{2})(x_{0}+\mathrm {j} ^{2}x_{1}+\mathrm {j} x_{2})\\&=\sum x_{i}^{2}-\sum _{i<j}x_{i}x_{j}\\&=\sigma _{1}^{2}-3\sigma _{2}\\&=\left(-{\frac {b}{a}}\right)^{2}-3{\frac {c}{a}}\\&={\frac {b^{2}-3ac}{a^{2}}}~;\end{aligned}}}$

   ${\displaystyle {\begin{aligned}y_{1}^{3}+y_{2}^{3}&=\left(x_{0}+\mathrm {j} x_{1}+\mathrm {j} ^{2}x_{2}\right)^{3}+\left(x_{0}+\mathrm {j} ^{2}x_{1}+\mathrm {j} x_{2}\right)^{3}\\&=2\sum x_{i}^{3}-3\sum _{i\neq j}x_{i}^{2}x_{j}+12x_{0}x_{1}x_{2}\\&=2(\sigma _{1}^{3}-3\sigma _{1}\sigma _{2}+3\sigma _{3})-3(\sigma _{1}\sigma _{2}-3\sigma _{3})+12\sigma _{3}\\&=2\sigma _{1}^{3}-9\sigma _{1}\sigma _{2}+27\sigma _{3}\\&=2\left(-{\frac {b}{a}}\right)^{3}-9\left(-{\frac {b}{a}}\right){\frac {c}{a}}+27\left(-{\frac {d}{a}}\right)\\&={\frac {-2b^{3}+9abc-27a^{2}d}{a^{3}}}.\end{aligned}}}$

4. Notons ${\displaystyle A={\frac {-2b^{3}+9abc-27a^{2}d}{a^{3}}}}$ et ${\displaystyle B={\frac {b^{2}-3ac}{a^{2}}}}$.
   ${\displaystyle y_{1}^{3}}$ et ${\displaystyle y_{2}^{3}}$ ont pour somme ${\displaystyle A}$ et pour produit ${\displaystyle B^{3}}$ donc ${\displaystyle y_{1}^{3}={\frac {A+C}{2}}}$ et ${\displaystyle y_{2}^{3}={\frac {A-C}{2}}}$, avec ${\displaystyle C^{2}=A^{2}-4B^{3}}$. De plus, ${\displaystyle y_{1}y_{2}=B}$.
   Ceci permet donc (par extraction d'une racine carrée et d'une racine cubique) de calculer la paire ${\displaystyle \{y_{1},y_{2}\}}$. On sait également que ${\displaystyle y_{0}=-{\frac {b}{a}}}$. On peut ensuite calculer
   ${\displaystyle x_{0}={\frac {y_{0}+y_{1}+y_{2}}{3}}}$ et ${\displaystyle \{x_{1},x_{2}\}=\left\{{\frac {y_{0}+\mathrm {j} ^{2}y_{1}+\mathrm {j} y_{2}}{3}},{\frac {y_{0}+\mathrm {j} y_{1}+\mathrm {j} ^{2}y_{2}}{3}}\right\}}$.
5. Soient ${\displaystyle p={\frac {3ac-b^{2}}{3a^{2}}}}$ et ${\displaystyle q={\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d}{27a^{3}}}}$ (les coefficients de l'équation ${\displaystyle z^{3}+pz+q=0}$ à laquelle ${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}$ se ramène par changement de variable ${\displaystyle x=z-{\frac {b}{3a}}}$). Les formules précédentes se réécrivent :
   ${\displaystyle A=-27q,\;B=-3p}$ et, en posant ${\displaystyle \delta ={\frac {C}{27}},\;u={\frac {y_{1}}{3}},\;v={\frac {y_{2}}{3}}}$ :
   ${\displaystyle \delta ^{2}=q^{2}+{\frac {4p^{3}}{27}},\;u^{3}={\frac {-q+\delta }{2}},\;v^{3}={\frac {-q-\delta }{2}},\;uv=-{\frac {p}{3}},\;x_{0}=u+v-{\frac {b}{3a}},\;\{x_{1},x_{2}\}=\left\{\mathrm {j} ^{2}u+\mathrm {j} v-{\frac {b}{3a}},\mathrm {j} u+\mathrm {j} ^{2}v-{\frac {b}{3a}}\right\}}$.