1. ${\displaystyle u^{3}+{\overline {u}}^{3}=10}$ et ${\displaystyle u{\overline {u}}=|u|^{2}={\sqrt[{3}]{|5+\mathrm {i} {\sqrt {2}}|^{2}}}=3}$ donc ${\displaystyle \alpha ^{3}=u^{3}+{\overline {u}}^{3}+3\alpha u{\overline {u}}=10+9\alpha }$. Aucun des diviseurs du terme constant ${\displaystyle -10}$ n'est racine du polynôme ${\displaystyle X^{3}-9X-10}$, qui est donc irréductible sur ${\displaystyle \mathbb {Q} }$. C'est donc le polynôme minimal de α.
2. ${\displaystyle \beta =u+v}$ avec ${\displaystyle u^{3}+v^{3}=4}$ et ${\displaystyle uv=1}$ donc ${\displaystyle \beta ^{3}=4+3\beta }$. Aucun des diviseurs du terme constant ${\displaystyle -4}$ n'est racine du polynôme ${\displaystyle X^{3}-3X-4}$, qui est donc irréductible sur ${\displaystyle \mathbb {Q} }$. C'est donc le polynôme minimal de β.
3. ${\displaystyle \gamma =u+v}$ avec ${\displaystyle u^{3}+v^{3}=2}$ et ${\displaystyle uv=-1}$, donc ${\displaystyle \gamma ^{3}=2-3\gamma }$. Le polynôme ${\displaystyle X^{3}+3X-2}$ étant irréductible sur ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, c'est donc le polynôme minimal de γ.

Explicitons le résultat du cours dans ce cas particulier.

${\displaystyle {\begin{aligned}\beta ={\frac {a\alpha +b}{c\alpha +d}}&\Leftrightarrow (c\alpha +d)\beta =a\alpha +b\\&\Leftrightarrow (c\beta -a)\alpha =b-d\beta \\&\Leftrightarrow \alpha ={\frac {b-d\beta }{c\beta -a}}\end{aligned}}}$

Donc ${\displaystyle \beta }$ est une racine du polynôme

${\displaystyle {\begin{aligned}R(X)&:=(cX-a)^{3}P\left({\frac {b-dX}{cX-a}}\right)\\&=(b-dX)^{3}+p(b-dX)^{2}(cX-a)+q(b-dX)(cX-a)^{2}+r(cX-a)^{3}\\&=X^{3}c^{3}P(-d/c)+X^{2}[3bd^{2}+p(-ad^{2}-2bcd)+q(bc^{2}+2acd)-3rac^{2}]\\&+X[-3b^{2}d+p(b^{2}c+2abd)+q(-2abc-a^{2}d)+3ra^{2}c]+b^{3}-pab^{2}+qa^{2}b-ra^{3}\end{aligned}}}$

et son polynôme minimal est le quotient de ce polynôme (irréductible sur ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ par construction) par son coefficient dominant :

${\displaystyle Q(X)={\frac {R(X)}{c^{3}P(-d/c)}}={\frac {(X-a/c)^{3}}{P(-d/c)}}P\left({\frac {b-dX}{cX-a}}\right)}$.

En appliquant ce qui précède à

${\displaystyle \alpha =\cos {\frac {\pi }{7}}}$ dont (cf. cours) on connaît le polynôme minimal

${\displaystyle P(X)=X^{3}-{\frac {1}{2}}X^{2}-{\frac {1}{2}}X+{\frac {1}{8}}\quad {\text{donc}}\quad p=q=-{\frac {1}{2}},\quad r={\frac {1}{8}}}$ et à

${\displaystyle f(t)={\frac {t}{3t-1}}\quad {\text{donc}}\quad a=1,\quad b=0,\quad c=3,\quad d=-1}$,

on trouve :

${\displaystyle R(X)=-{\frac {13}{8}}X^{3}+{\frac {1}{8}}X^{2}+{\frac {5}{8}}X-{\frac {1}{8}}}$

donc le polynôme minimal de ${\displaystyle {\frac {\cos {\frac {\pi }{7}}}{3\cos {\frac {\pi }{7}}-1}}}$ est

${\displaystyle Q(X)=X^{3}-{\frac {1}{13}}X^{2}-{\frac {5}{13}}X+{\frac {1}{13}}}$.

Le polynôme P n'a pas de racine rationnelle, donc il suffit de montrer que ces trois nombres (distincts) sont ses racines.

Pour ${\displaystyle k\in \{1,4,-2\}}$, posons

${\displaystyle \theta ={\frac {k\pi }{9}}}$, ${\displaystyle t=\tan \theta }$ et ${\displaystyle s={\frac {t}{\sqrt {3}}}}$.

Alors,

${\displaystyle {\sqrt {3}}=\tan 3\theta ={\frac {3t-t^{3}}{1-3t^{2}}}}$

donc

${\displaystyle 0=t^{3}-3{\sqrt {3}}t^{2}-3t+1=3{\sqrt {3}}P(s)}$.

C'est un exemple de « résolution trigonométrique en tangente » (chap. 6).

Le polynôme P n'a pas de racine rationnelle, donc il suffit de montrer que ces trois nombres (distincts) sont ses racines.

Pour ${\displaystyle k\in \{1,2,-4\}}$, posons

${\displaystyle \theta ={\frac {k\pi }{9}}}$, ${\displaystyle s=\sin \theta }$ et ${\displaystyle t={\frac {s}{\sqrt {3}}}}$.

Alors,

${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}=\sin 3\theta =3s-4s^{3}}$

donc

${\displaystyle 0=4s^{3}-3s+{\frac {\sqrt {3}}{2}}=12{\sqrt {3}}P(t)}$.

C'est un exemple de « résolution trigonométrique en sinus » (chap. 6).

Pour ces trois valeurs de ${\displaystyle \theta }$, d'après la formule du sinus de l'angle double en fonction de la tangente et puisque le nombre ${\displaystyle x:={\frac {\tan \theta }{\sqrt {7}}}}$ vérifie ${\displaystyle x^{2}(x+1)=x-1/7}$ :

${\displaystyle {\frac {\sin(2\theta )}{\sqrt {7}}}={\frac {2x}{1+7x^{2}}}={\frac {2x}{1+7{\frac {x-1/7}{x+1}}}}={\frac {x+1}{4}}}$.

D'après la question précédente, les trois nombres

${\displaystyle {\frac {\sin {\frac {\pi }{7}}}{\sqrt {7}}}=-{\frac {\sin {\frac {8\pi }{7}}}{\sqrt {7}}}}$, ${\displaystyle -{\frac {\sin {\frac {2\pi }{7}}}{\sqrt {7}}}}$ et ${\displaystyle -{\frac {\sin {\frac {3\pi }{7}}}{\sqrt {7}}}=-{\frac {\sin {\frac {4\pi }{7}}}{\sqrt {7}}}}$

sont algébriques de degré 3 et de polynôme minimal :

${\displaystyle -{\frac {1}{64}}\left((-4X-1)^{3}+(-4X-1)^{2}-(-4X-1)+{\frac {1}{7}}\right)=P(X)}$.

L'équation

${\displaystyle 7x^{2}={\frac {1}{x+1}}}$

peut s'écrire :

${\displaystyle x^{3}+x^{2}-{\frac {1}{7}}=0}$,

ou encore, en divisant par 8 :

${\displaystyle P(x/2)=0}$.

Ses solutions sont donc

${\displaystyle {\frac {2\sin {\frac {\pi }{7}}}{\sqrt {7}}}}$, ${\displaystyle -{\frac {2\sin {\frac {2\pi }{7}}}{\sqrt {7}}}}$ et ${\displaystyle -{\frac {2\sin {\frac {3\pi }{7}}}{\sqrt {7}}}}$.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {2\left(1+\cos {\frac {\pi }{7}}\right)}}+{\sqrt {2\left(1+\cos {\frac {3\pi }{7}}\right)}}+{\sqrt {2\left(1-\cos {\frac {2\pi }{7}}\right)}}&={\sqrt {2\left(1-\cos {\frac {8\pi }{7}}\right)}}+{\sqrt {2\left(1-\cos {\frac {4\pi }{7}}\right)}}+{\sqrt {2\left(1-\cos {\frac {2\pi }{7}}\right)}}\\&=2\left(\sin {\frac {4\pi }{7}}+\sin {\frac {2\pi }{7}}+\sin {\frac {\pi }{7}}\right)\\&=2\left(\sin {\frac {4\pi }{7}}+\sin {\frac {2\pi }{7}}-\sin {\frac {8\pi }{7}}\right)\\&={\frac {1}{2}}\left(\tan {\frac {2\pi }{7}}+\tan {\frac {\pi }{7}}-\tan {\frac {4\pi }{7}}+{\sqrt {7}}\right)\\&={\frac {1}{2}}\left(-2\tan {\frac {4\pi }{7}}\right)\\&=\tan {\frac {3\pi }{7}}.\end{aligned}}}$

Soit ${\displaystyle \gamma }$ algébrique de degré 3, de polynôme minimal ${\displaystyle Q(X)}$.

Le polynôme ${\displaystyle R}$ tel que ${\displaystyle -Q(X)Q(-X)=R(X^{2})}$ est unitaire, de degré 3, à coefficients entiers, et admet ${\displaystyle \gamma ^{2}}$ pour racine.

Il est irréductible car s'il avait une racine rationnelle, ${\displaystyle Q}$ aurait pour racine (irrationnelle, puisque ${\displaystyle Q}$ est irréductible) une racine carrée de ce rationnel donc aussi son opposée, si bien que la troisième racine de ${\displaystyle Q}$, quotient du produit des trois par le produit des deux premières, serait rationnelle, ce qui est absurde.

${\displaystyle R}$ est donc le polynôme minimal de ${\displaystyle \gamma ^{2}}$.