a) L'équation peut s'écrire :

${\displaystyle 5x(x^{2}-2)=x^{2}+2}$

${\displaystyle 5x^{3}-10x=x^{2}+2}$

${\displaystyle 5x^{3}-x^{2}-10x-2=0}$

L'équation donnée était donc du troisième degré.

b) Développons les deux membres, on obtient :

${\displaystyle (x^{2}+x-2)(x+3)=(x^{2}+2x-8)(x+1)}$

${\displaystyle x^{3}+x^{2}-2x+3x^{2}+3x-6=x^{3}+2x^{2}-8x+x^{2}+2x-8}$

${\displaystyle x^{2}+7x+2=0}$

L'équation donnée était donc du second degré.

a) Résolvons l'équation :

${\displaystyle x^{3}+x^{2}+x+1=0}$.

Elle a une racine évidente ${\displaystyle x_{0}=-1}$. On factorise, comme dans la démonstration du cours ou bien en écrivant a priori :

${\displaystyle x^{3}+x^{2}+x+1=(x-x_{0})(ax^{2}+bx+c)}$,

puis en développant pour identifier les coefficients :

${\displaystyle x^{3}+x^{2}+x+1=(x+1)(ax^{2}+bx+c)=ax^{3}+(a+b)x^{2}+(b+c)x+c}$

donc

${\displaystyle 1=a}$, ${\displaystyle 1=a+b}$, ${\displaystyle 1=b+c}$ (et ${\displaystyle 1=c}$),

ce qui donne :

${\displaystyle a=1}$, ${\displaystyle b=0}$, ${\displaystyle c=1}$

donc

${\displaystyle x^{3}+x^{2}+x+1=(x+1)(x^{2}+1)}$.

Les deux solutions de ${\displaystyle x^{2}+1=0}$ sont ${\displaystyle \mathrm {i} }$ et ${\displaystyle -\mathrm {i} }$ donc les trois solutions de ${\displaystyle x^{3}+x^{2}+x+1=0}$ sont ${\displaystyle -1}$, ${\displaystyle \mathrm {i} }$ et ${\displaystyle -\mathrm {i} }$.

b) Résolvons l'équation :

${\displaystyle x^{3}+3x^{2}-3x-10=0}$.

Nous voyons que l'équation admet la racine évidente x₁ = -2. Nous pouvons donc la factoriser par x + 2.

Nous obtenons :

${\displaystyle (x+2)(x^{2}+mx-5)=0}$.

Cette factorisation a été faite de telle façon qu'en développant, on retrouve le terme de plus haut degré et le terme constant. Il nous reste à déterminer m. Pour cela on redéveloppe :

${\displaystyle x^{3}+(m+2)x^{2}+(2m-5)x-10=0}$

et l’on identifie avec l'équation initiale. On obtient :

${\displaystyle {\begin{cases}m+2=3\\2m-5=-3\end{cases}}}$

Dans les deux cas, on voit que m = 1. L'équation factorisée s'écrit donc :

${\displaystyle (x+2)(x^{2}+x-5)=0}$.

Il nous reste à résoudre :

${\displaystyle x^{2}+x-5=0}$.

Calculons le discriminant :

${\displaystyle \Delta =1^{2}-4\times 1\times -5=21=\left({\sqrt {21}}\right)^{2}}$.

Les deux racines de la dernière équation du second degré sont donc :

${\displaystyle {\begin{cases}x_{2}={\frac {-1+{\sqrt {21}}}{2}}\\x_{3}={\frac {-1-{\sqrt {21}}}{2}}.\end{cases}}}$

Finalement, les trois racines de l'équation :

${\displaystyle x^{3}+3x^{2}-3x-10=0}$

sont :

${\displaystyle {\begin{cases}x_{1}=-2\\x_{2}={\frac {-1+{\sqrt {21}}}{2}}\\x_{3}={\frac {-1-{\sqrt {21}}}{2}}.\end{cases}}}$

c) Résolvons l'équation :

${\displaystyle 3x^{3}+x^{2}-5x+2=0}$

Nous voyons que l'équation admet la racine évidente x₁ = 2/3. Nous pouvons donc la factoriser par 3x - 2.

Nous obtenons :

${\displaystyle (3x-2)(x^{2}+mx-1)=0}$

Cette factorisation a été faite de façon à ce qu'en développant, on retrouve le terme de plus haut degré et le terme constant. Il nous reste à déterminer m. Pour cela on redéveloppe :

${\displaystyle 3x^{3}+(3m-2)x^{2}+(-2m-3)x+2=0}$

Et l’on identifie avec l'équation initiale. On obtient :

${\displaystyle {\begin{cases}3m-2=1\\-2m-3=-5\end{cases}}}$

Dans les deux cas, on voit que m = 1. L'équation factorisée s'écrit donc :

${\displaystyle (3x-2)(x^{2}+x-1)=0}$.

Il nous reste à résoudre :

${\displaystyle x^{2}+x-1=0}$.

Calculons le discriminant :

${\displaystyle \Delta =1^{2}-4\times 1\times (-1)=5=\left({\sqrt {5}}\right)^{2}}$.

Les deux racines de la dernière équation du second degré sont donc :

${\displaystyle {\begin{cases}x_{2}={\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}\\x_{3}={\frac {-1-{\sqrt {5}}}{2}}.\end{cases}}}$

Finalement, les trois racines de l'équation :

${\displaystyle 3x^{3}+x^{2}-5x+2=0}$

sont :

${\displaystyle {\begin{cases}x_{1}={\frac {2}{3}}\\x_{2}={\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}\\x_{3}={\frac {-1-{\sqrt {5}}}{2}}.\end{cases}}}$

a) Supposons que x₁ est racine multiple du polynôme P. Celui-ci peut alors s'écrire :

${\displaystyle P(X)=a(X-x_{1})^{2}(X-x_{0})}$,

x₀ étant la troisième racine de P. En appliquant la règle de dérivation (formelle) d'un produit, on en déduit :

${\displaystyle P'(X)=2a(X-x_{1})\times (X-x_{0})+a(X-x_{1})^{2}\times 1=3a(X-x_{1})\left(X-{\frac {x_{1}+2x_{0}}{3}}\right)}$,

ce qui montre que x₁ est racine de P'. Réciproquement, si x₁ est racine de P' alors celui-ci s'écrit

${\displaystyle P'(X)=3a(X-x_{1})\left(X-y_{0}\right)}$

donc d'après le calcul de dérivée précédent (et en posant ${\displaystyle x_{0}={\frac {3y_{0}-x_{1}}{2}}}$, pour avoir ${\displaystyle {\frac {x_{1}+2x_{0}}{3}}=y_{0}}$)

${\displaystyle P(X)=a(X-x_{1})^{2}(X-x_{0})+k}$

avec

${\displaystyle k=P(x_{1})=0}$

donc la racine x₁ de P est multiple.

De plus, avec ces notations, un calcul immédiat montre que x₀ = x₁ si et seulement si y₀ = x₁.

b) Notons ${\displaystyle a,\,b,\,c,\,d}$ les coefficients de P et ${\displaystyle p=3a,\,q=2b,\,r=c}$ ceux de P'.

D'après les calculs faits en cours, le système

${\displaystyle {\begin{cases}P'(x)&=0\\P(x)&=0\end{cases}}}$

est équivalent à

${\displaystyle {\begin{cases}P'(x)&=0\\\alpha x+\beta &=0\end{cases}}}$

avec

${\displaystyle {\begin{cases}\alpha &=aq^{2}-apr-bpq+cp^{2}&=2a(3ac-b^{2})\\\beta &=aqr-bpr+dp^{2}&=a(9ad-bc).\end{cases}}}$

Supposons que x₁ est racine de P et racine seulement simple de P'.

Alors, ${\displaystyle \alpha \neq 0}$ (sinon, on aurait ${\displaystyle \beta =-\alpha x_{1}=0}$ et les deux racines de P', distinctes, seraient racines de P, multiples d'après la question précédente, donc P aurait plus de racines que son degré), et les racines de P sont donc :

${\displaystyle x_{2}=x_{1}=-{\frac {\beta }{\alpha }}={\frac {bc-9ad}{2(3ac-b^{2})}},\quad x_{0}=-{\frac {b}{a}}-2x_{1}}$.

Remarque : on retrouvera ce résultat au chapitre 4.

c) Application à la résolution d'équations.

α) L'équation :

${\displaystyle {\frac {4x^{2}}{3}}={\frac {{\sqrt {3}}-6x}{2x-{\sqrt {27}}}}}$

se met sous la forme ${\displaystyle P(x)=0}$, avec :

${\displaystyle P(X)=8X^{3}-12X^{2}{\sqrt {3}}+18X-3{\sqrt {3}}}$

donc

${\displaystyle P'(X)=24X^{2}-24X{\sqrt {3}}+18=6(4X^{2}-4X{\sqrt {3}}+3)=6(2X-{\sqrt {3}})^{2}}$.

Or la racine double ${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$ de P' est racine de P car

${\displaystyle P\left({\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)=8\left({\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)^{3}-12\left({\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)^{2}{\sqrt {3}}+18{\frac {\sqrt {3}}{2}}-3{\sqrt {3}}=3{\sqrt {3}}-9{\sqrt {3}}+9{\sqrt {3}}-3{\sqrt {3}}=0}$

Par conséquent, ${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$ est racine triple de P, et les racines de l'équation à résoudre sont donc :

${\displaystyle x_{0}=x_{1}=x_{2}={\frac {\sqrt {3}}{2}}}$.

β) L'équation :

${\displaystyle x^{3}-5x^{2}+x-1=4x{\sqrt {2}}}$

se met sous la forme ${\displaystyle P(x)=0}$, avec :

${\displaystyle P(X)=X^{3}-5X^{2}+(1-4{\sqrt {2}})X-1=aX^{3}+bX^{2}+cX+d}$

avec

${\displaystyle a=1\quad b=-5\quad c=1-4{\sqrt {2}}\quad d=-1}$.

Calculons le nombre qui, d'après la question b, sera racine double de P s'il est racine de P'.

${\displaystyle x_{1}:={\frac {bc-9ad}{2(3ac-b^{2})}}={\frac {-5(1-4{\sqrt {2}})+9}{2(3(1-4{\sqrt {2}})-(-5)^{2})}}=-{\frac {1+5{\sqrt {2}}}{11+6{\sqrt {2}}}}=-{\frac {(1+5{\sqrt {2}})(11-6{\sqrt {2}})}{11^{2}-6^{2}\times 2}}=1-{\sqrt {2}}}$.

${\displaystyle P'(x_{1})=3\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{2}-10\left(1-{\sqrt {2}}\right)+1-4{\sqrt {2}}=3\left(3-2{\sqrt {2}}\right)-10\left(1-{\sqrt {2}}\right)+1-4{\sqrt {2}}=0}$.

Par conséquent, ${\displaystyle x_{1}}$ est bien racine double de P, et l'autre racine est ${\displaystyle x_{0}=-{\frac {b}{a}}-2x_{1}=5-2\left(1-{\sqrt {2}}\right)=3+2{\sqrt {2}}}$.

Les racines de l'équation à résoudre sont donc :

${\displaystyle x_{2}=x_{1}=1-{\sqrt {2}},\quad x_{0}=3+2{\sqrt {2}}}$.

Remarque : nous retrouverons ces deux équations dans l'exercice 4-3.

Portons z de la troisième équation dans les deux premières :

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}y(x+2y)=x-7\\x(x+2y)=y+7\\x+2y=z\end{matrix}}\right.}$.

Le système peut alors se réécrire ainsi :

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}z=x+2y\\2y^{2}+xy+7-x=0\\(2x-1)y+x^{2}-7=0\end{matrix}}\right.}$.

Nous allons éliminer y entre les deux dernières équations en utilisant leur résultant par rapport à y. La dernière équation est considérée comme de degré ${\displaystyle n=1}$ par rapport à y car on ne peut pas avoir à la fois ${\displaystyle 2x-1=0}$ et ${\displaystyle x^{2}-7=0}$.

En utilisant les notations du cours, on pose :

${\displaystyle p=2\qquad q=x\qquad r=7-x\qquad a=b=0\qquad c=2x-1\qquad d=x^{2}-7}$.

Nous obtenons alors :

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Res} (pY^{2}+qY+r,cY+d)&=c[cr-dq]+pd^{2}\\&=(2x-1)[(2x-1)(7-x)-(x^{2}-7)x]+2(x^{2}-7)^{2}\\&=-3x^{3}+18x^{2}-36x+105\\&=-3(x^{3}-6x^{2}+12x-35).\end{aligned}}}$

Le système peut donc s'écrire :

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}z=x+2y\\(2x-1)y+x^{2}-7=0\\x^{3}-6x^{2}+12x-35=0\end{matrix}}\right.}$.

(C'est la troisième équation du système précédent qu'il faut garder car elle est du premier degré en y.)

Nous remarquons que x = 5 est une racine évidente de la troisième équation. Le système s'écrira donc :

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}z=x+2y\\(2x-1)y+x^{2}-7=0\\(x-5)(x^{2}-x+7)=0\end{matrix}}\right.}$.

Pour finir de résoudre la troisième équation, il nous reste à résoudre :

${\displaystyle x^{2}-x+7=0}$,

qui a pour solution :

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x_{1}={\frac {1}{2}}+{\frac {3i{\sqrt {3}}}{2}}\\x_{2}={\frac {1}{2}}-{\frac {3i{\sqrt {3}}}{2}}\end{matrix}}\right.}$.

En joignant la solution x = 5, les valeurs possibles de x sont :

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x_{1}={\frac {1}{2}}+{\frac {3i{\sqrt {3}}}{2}}\\x_{2}={\frac {1}{2}}-{\frac {3i{\sqrt {3}}}{2}}\\x_{3}=5\end{matrix}}\right.}$.

De la deuxième équation du système, nous tirons :

${\displaystyle y={\frac {7-x^{2}}{2x-1}}}$.

En conséquence, les valeurs de y correspondantes respectivement aux valeurs de x trouvées précédemment sont :

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}y_{1}=-{\frac {1}{2}}-{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}\\y_{2}=-{\frac {1}{2}}+{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}\\y_{3}=-2\end{matrix}}\right.}$

Et comme :

${\displaystyle z=x+2y}$,

les valeurs respectives de z correspondantes sont :

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}z_{1}=-{\frac {1}{2}}-{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}\\z_{2}=-{\frac {1}{2}}+{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}\\z_{3}=1\end{matrix}}\right.}$

Notons ${\displaystyle P(X)=a(X-\beta )(X-\gamma )}$.

${\displaystyle \Delta _{Q}=a^{4}(\alpha -\beta )^{2}(\alpha -\gamma )^{2}(\beta -\gamma )^{2}=a^{2}(\beta -\gamma )^{2}\times (P(\alpha ))^{2}=\Delta _{P}\times (P(\alpha ))^{2}}$.

Pour une généralisation, voir Résultant/Exercices/Discriminant#Exercice 2.

1. Le volume de la boîte (en cm³) est (pour ${\displaystyle 0\leq x\leq 10}$) : ${\displaystyle V(x)=x\left(20-2x\right)^{2}}$. Pour ${\displaystyle a=2{,}5}$, on a bien ${\displaystyle V(a)=2{,}5\times 15^{2}=562{,}5}$.
2. On cherche les ${\displaystyle x\in \left[0,10\right]}$ différents de ${\displaystyle a}$ tels que ${\displaystyle V(x)-V(a)=0}$, c'est-à-dire (en simplifiant par ${\displaystyle 4}$) tels que ${\displaystyle x^{3}-a^{3}-20\left(x^{2}-a^{2}\right)+100\left(x-a\right)=0}$. Ce sont donc (en simplifiant par ${\displaystyle X-a}$) les racines du polynôme ${\displaystyle X^{2}+aX+a^{2}-20\left(X+a\right)+100=X^{2}+\left(a-20\right)X+{\frac {V(a)}{4a}}=X^{2}-17{,}5X+56{,}25}$ comprises entre ${\displaystyle 0}$ et ${\displaystyle 10}$. Il n'y en a qu'une : ${\displaystyle {\frac {17{,}5-{\sqrt {81{,}25}}}{2}}\approx 4{,}243}$ (l'autre est trop grande).