Tous calculs faits, on trouve :

${\displaystyle x^{4}-23x^{2}+20x-3=(x^{2}-5x+3)(x^{2}+5x-1)~}$

${\displaystyle x^{4}+2x^{2}+11x-28=(x^{2}+x-4)(x^{2}-x+7)~}$

${\displaystyle x^{4}-8x^{2}+28x-45=(x^{2}-2x+5)(x^{2}+2x-9)~}$

${\displaystyle x^{4}-48x^{2}+35x-6=(x^{2}-7x+3)(x^{2}+7x-2)~}$

${\displaystyle x^{4}-33x^{2}-6x+2=(x^{2}-6x+1)(x^{2}+6x+2)~}$

Essayons de mettre l'équation :

${\displaystyle x^{4}+3x^{2}+x{\sqrt {2}}+6=0}$

sous la forme :

${\displaystyle (x^{2}+ax+b)(x^{2}-ax+c)=0}$.

En développant le premier membre, nous obtenons :

${\displaystyle x^{4}-(a^{2}-b-c)x^{2}-a(b-c)x+bc=0}$.

Par identification des coefficients, nous obtenons le système :

${\displaystyle {\begin{cases}a^{2}-b-c=-3\\a(b-c)=-{\sqrt {2}}\\bc=6.\end{cases}}}$

Nous voyons alors que ce système peut s'écrire :

${\displaystyle {\begin{cases}b+c=a^{2}+3\\b-c=-{\frac {\sqrt {2}}{a}}\\bc=6.\end{cases}}}$

Par addition et soustraction membre à membre des deux premières équations, on obtient :

${\displaystyle {\begin{cases}b={\frac {1}{2}}\left(a^{2}+3-{\frac {\sqrt {2}}{a}}\right)\\c={\frac {1}{2}}\left(a^{2}+3+{\frac {\sqrt {2}}{a}}\right)\\bc=6.\end{cases}}}$

En portant les valeurs trouvées de b et c des deux premières équations dans la troisième, on obtient :

${\displaystyle {\begin{cases}b={\frac {1}{2}}\left(a^{2}+3-{\frac {\sqrt {2}}{a}}\right)\\c={\frac {1}{2}}\left(a^{2}+3+{\frac {\sqrt {2}}{a}}\right)\\{\frac {1}{4}}\left(a^{2}+3-{\frac {\sqrt {2}}{a}}\right)\left(a^{2}+3+{\frac {\sqrt {2}}{a}}\right)=6\end{cases}}}$

La troisième équation peut alors s'écrire, en utilisant l'identité remarquable (a + b)(a - b) = a² - b² :

${\displaystyle (a^{2}+3)^{2}-{\frac {2}{a^{2}}}=24}$.

En multipliant les deux membres par a², en développant et en mettant tous les termes dans le premier membre, on obtient :

${\displaystyle a^{6}+6a^{4}-15a^{2}-2=0}$.

Nous voyons alors que a² est racine de l'équation :

${\displaystyle y^{3}+6y^{2}-15y-2=0}$.

Cette équation admet 2 comme racine évidente. Par conséquent, on peut poser :

${\displaystyle a^{2}=2}$

et l'on peut choisir :

${\displaystyle a={\sqrt {2}}}$.

On en déduit ensuite :

${\displaystyle b={\frac {1}{2}}\left(a^{2}+3-{\frac {\sqrt {2}}{a}}\right)={\frac {1}{2}}\left(2+3-{\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {2}}}\right)=2}$ ;

${\displaystyle c={\frac {1}{2}}\left(a^{2}+3+{\frac {\sqrt {2}}{a}}\right)={\frac {1}{2}}\left(2+3+{\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {2}}}\right)=3}$.

En reportant les valeurs trouvées de a, b, c dans :

${\displaystyle (x^{2}+ax+b)(x^{2}-ax+c)=0}$,

nous voyons que l'équation que l’on devait résoudre s'écrit :

${\displaystyle (x^{2}+x{\sqrt {2}}+2)(x^{2}-x{\sqrt {2}}+3)=0}$

et par conséquent, x vérifie l'une des deux équations du second degré suivantes :

${\displaystyle x^{2}+x{\sqrt {2}}+2=0}$ ;

${\displaystyle x^{2}-x{\sqrt {2}}+3=0}$.

En résolvant ces deux équations, on trouve finalement :

${\displaystyle {\begin{cases}x_{0}={\frac {-{\sqrt {2}}+\mathrm {i} {\sqrt {6}}}{2}}\\x_{1}={\frac {-{\sqrt {2}}-\mathrm {i} {\sqrt {6}}}{2}}\\x_{2}={\frac {{\sqrt {2}}+\mathrm {i} {\sqrt {10}}}{2}}\\x_{3}={\frac {{\sqrt {2}}-\mathrm {i} {\sqrt {10}}}{2}}.\end{cases}}}$

Essayons de mettre cette équation sous la forme :

${\displaystyle (x^{2}+fx+g)(x^{2}+f'x+g')=0}$.

Par identification des coefficients, nous obtenons le système

${\displaystyle {\begin{cases}f+f'&=-1-2{\sqrt {2}}\\g'+g&=3{\sqrt {2}}-ff'\\fg'+f'g&=-6+4{\sqrt {2}}\\gg'&=-4+2{\sqrt {2}},\end{cases}}}$

qui équivaut à

${\displaystyle {\begin{cases}f+f'&=-1-2{\sqrt {2}}\\g'&={\frac {-6+4{\sqrt {2}}-(3{\sqrt {2}}-ff')f'}{f-f'}}\\g&={\frac {(3{\sqrt {2}}-ff')f+6-4{\sqrt {2}}}{f-f'}}\\gg'&=-4+2{\sqrt {2}}.\end{cases}}}$

En portant dans la dernière équation les valeurs de ${\displaystyle g}$ et ${\displaystyle g'}$ des deux équations qui la précèdent, on obtient :

${\displaystyle \left[(3{\sqrt {2}}-ff')f+6-4{\sqrt {2}}\right]\left[-6+4{\sqrt {2}}-(3{\sqrt {2}}-ff')f'\right]=(f-f')^{2}(-4+2{\sqrt {2}})=\left[(f+f')^{2}-4ff'\right](-4+2{\sqrt {2}})}$

ou encore, en posant ${\displaystyle y=-ff'}$ et en tenant compte de la première équation :

${\displaystyle 0=y^{3}+6{\sqrt {2}}y^{2}+24y+16{\sqrt {2}}=(y+2{\sqrt {2}})^{3}}$.

La racine (triple) de la résolvante cubique est par conséquent :

${\displaystyle y_{0}=-2{\sqrt {2}}}$.

Les solutions ${\displaystyle f,f'}$ de

${\displaystyle {\begin{cases}f+f'&=-1-2{\sqrt {2}}\\ff'&=2{\sqrt {2}}\end{cases}}}$

sont :

${\displaystyle f=-2{\sqrt {2}},\quad f'=-1}$

et l'on en déduit :

${\displaystyle g=2,\quad g'=-2+{\sqrt {2}}}$.

En revenant à nos calculs initiaux, l'équation que l'on devait résoudre s'écrit alors :

${\displaystyle 0=(x^{2}-2{\sqrt {2}}x+2)(x^{2}-x-2+{\sqrt {2}})=\left(x-{\sqrt {2}}\right)^{2}\times \left(x-{\sqrt {2}}\right)\left(x-1+{\sqrt {2}}\right)}$

et ses solutions sont donc :

${\displaystyle x_{0}=x_{1}=x_{2}={\sqrt {2}},\qquad x_{3}=1-{\sqrt {2}}}$.

Essayons de mettre cette équation sous la forme :

${\displaystyle (x^{2}+fx+g)(x^{2}+f'x+g')=0}$.

Par identification des coefficients, nous obtenons le système

${\displaystyle {\begin{cases}f+f'&=4\\g'+g&=3-ff'\\fg'+f'g&=-8\\gg'&=-10,\end{cases}}}$

qui équivaut à

${\displaystyle {\begin{cases}f+f'&=4\\g'&={\frac {-8-(3-ff')f'}{f-f'}}\\g&={\frac {(3-ff')f+8}{f-f'}}\\gg'&=-10.\end{cases}}}$

En portant dans la dernière équation les valeurs de ${\displaystyle g}$ et ${\displaystyle g'}$ des deux équations qui la précèdent, on obtient :

${\displaystyle \left[(3-ff')f+8\right]\left[-8-(3-ff')f'\right]=-10(f-f')^{2}=-10\left[(f+f')^{2}-4ff'\right]}$

ou encore, en posant ${\displaystyle y=-ff'}$ et en tenant compte de la première équation :

${\displaystyle y^{3}+6y^{2}+17y=0}$.

Une racine évidente est

${\displaystyle y_{0}=0}$,

ce qui donne

${\displaystyle f'=0,\quad f=4,\quad g'=-2,\quad g=5}$.

En revenant à nos calculs initiaux, l'équation que l'on devait résoudre s'écrit alors :

${\displaystyle (x^{2}+4x+5)(x^{2}-2)=0}$

et ses solutions sont donc :

${\displaystyle x_{0}=-2+\mathrm {i} ,\quad x_{1}=-2-\mathrm {i} ,\quad x_{2}={\sqrt {2}},\quad x_{3}=-{\sqrt {2}}}$.