Nous commencerons par deux rappels :

Mise en équation du problème.

L'équation du cercle C₁ peut se mettre sous la forme :

${\displaystyle (x-2)^{2}+(y-3)^{2}=2^{2}}$.

C₁ est donc le cercle de centre le point de coordonnées (2, 3) et de rayon 2.

L'équation du cercle C₂ peut se mettre sous la forme :

${\displaystyle (x+2)^{2}+(y+2)^{2}=1^{2}~}$

C₂ est donc le cercle de centre le point de coordonnées (-2, -2) et de rayon 1.

Soit une droite d'équation y = mx + p. Cette droite sera tangente à la fois à C₁ et à C₂ si sa distance au centre de C₁ est 2 et si sa distance au centre de C₂ est 1, ce qui se traduit par :

${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {|2m-3+p|}{\sqrt {m^{2}+1}}}=2\\{\frac {|-2m+2+p|}{\sqrt {m^{2}+1}}}=1.\end{cases}}}$

En élevant les deux membres de chaque équation au carré, on obtient :

${\displaystyle {\begin{cases}(2m-3+p)^{2}=4(m^{2}+1)\\(-2m+2+p)^{2}=m^{2}+1.\end{cases}}}$

En développant, on obtient après simplification :

${\displaystyle {\begin{cases}4mp-12m=6p-p^{2}-5\\3m^{2}+3+p^{2}-8m-4mp+4p=0.\end{cases}}}$

En tirant ${\displaystyle m}$ de la première équation et en portant cette valeur dans la deuxième, on obtient :

${\displaystyle {\begin{cases}m={\frac {6p-p^{2}-5}{4p-12}}\\3\left({\frac {6p-p^{2}-5}{4p-12}}\right)^{2}+3+p^{2}-(8+4p){\frac {6p-p^{2}-5}{4p-12}}+4p=0\end{cases}}}$

En simplifiant la deuxième équation, nous obtenons :

${\displaystyle {\begin{cases}m={\frac {6p-p^{2}-5}{4p-12}}\\35p^{4}-180p^{3}+26p^{2}+604p+27=0\end{cases}}}$

Et nous voyons que ${\displaystyle p}$ est racine de l'équation du quatrième degré suivante :

${\displaystyle 35x^{4}-180x^{3}+26x^{2}+604x+27=0}$.

Résolution de l'équation.

Pour résoudre l'équation, nous allons utiliser la méthode de Ferrari.

Nous avons une équation de la forme :

${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0}$

avec :

${\displaystyle a=35\qquad b=-180\qquad c=26\qquad d=604\qquad e=27}$.

Nous posons :

${\displaystyle x=z-{\frac {b}{4a}}=z+{\frac {9}{7}}}$,

ce qui nous donne, tous calculs faits :

${\displaystyle z^{4}-{\frac {2248}{245}}z^{2}+{\frac {3712}{1715}}z+{\frac {191952}{12005}}=0}$.

Nous posons ensuite :

${\displaystyle z^{4}=(z^{2}+y)^{2}-2yz^{2}-y^{2}}$.

Le premier membre de l'équation précédente s'écrit alors :

${\displaystyle {\begin{aligned}z^{4}-{\frac {2248}{245}}z^{2}+{\frac {3712}{1715}}z+{\frac {191952}{12005}}&=(z^{2}+y)^{2}-2yz^{2}-y^{2}-{\frac {2248}{245}}z^{2}+{\frac {3712}{1715}}z+{\frac {191952}{12005}}\\&=(z^{2}+y)^{2}-(2y+{\frac {2248}{245}})z^{2}+{\frac {3712}{1715}}z-y^{2}+{\frac {191952}{12005}}\\&=(z^{2}+y)^{2}-\left[(2y+{\frac {2248}{245}})z^{2}-{\frac {3712}{1715}}z+y^{2}-{\frac {191952}{12005}}\right]\end{aligned}}}$

Nous allons maintenant essayer de déterminer y de façon que l’expression entre crochet s'écrive sous forme de carré.

L'expression :

${\displaystyle (2y+{\frac {2248}{245}})z^{2}-{\frac {3712}{1715}}z+y^{2}-{\frac {191952}{12005}}}$

peut être considérée comme un polynôme du second degré en z. Elle pourra se mettre sous forme de carré si son discriminant est nul.

Calculons son discriminant :

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta &=\left(-{\frac {3712}{1715}}\right)^{2}-4(2y-{\frac {2248}{245}})(+y^{2}-{\frac {191952}{12005}})\\&=-8y^{3}-{\frac {8992}{245}}y^{2}+{\frac {1535616}{12005}}y+{\frac {1739811328}{2941225}}\\&={\frac {-8(245y+1084)(12005y^{2}+1960y-200624)}{2941225}}.\end{aligned}}}$

Nous voyons que l’on peut choisir :

${\displaystyle y=-{\frac {1084}{245}}}$.

On obtient :

${\displaystyle {\begin{aligned}z^{4}-{\frac {2248}{245}}z^{2}+{\frac {3712}{1715}}z+{\frac {191952}{12005}}&=(z^{2}-{\frac {1084}{245}})^{2}+2{\frac {1084}{245}}z^{2}-\left(-{\frac {1084}{245}}\right)^{2}-{\frac {2248}{245}}z^{2}+{\frac {3712}{1715}}z+{\frac {191952}{12005}}\\&=(z^{2}-{\frac {1084}{245}})^{2}-({\frac {2248}{245}}-2{\frac {1084}{245}})z^{2}+{\frac {3712}{1715}}z-\left(-{\frac {1084}{245}}\right)^{2}+{\frac {191952}{12005}}\\&=(z^{2}-{\frac {1084}{245}})^{2}-\left[{\frac {16}{49}}z^{2}-{\frac {3712}{1715}}z+{\frac {215296}{60025}}\right]\\&=(z^{2}-{\frac {1084}{245}})^{2}-\left({\frac {4(35z-116)}{245}}\right)^{2}\\&=\left(z^{2}-{\frac {1084}{245}}+{\frac {4(35z-116)}{245}}\right)\left(z^{2}-{\frac {1084}{245}}-{\frac {4(35z-116)}{245}}\right)\\&=\left(z^{2}-{\frac {4}{7}}z-{\frac {1548}{245}}\right)\left(z^{2}+{\frac {4}{7}}z-{\frac {124}{49}}\right).\end{aligned}}}$

Nous avons donc :

• soit ${\displaystyle z^{2}-{\frac {4}{7}}z-{\frac {1548}{245}}=0}$,
• soit ${\displaystyle z^{2}+{\frac {4}{7}}z-{\frac {124}{49}}=0}$.

Nous voyons que nous nous sommes ramenés à la résolution de deux équations du second degré.

Pour la première équation, le discriminant est :

${\displaystyle \Delta =\left(-{\frac {4}{7}}\right)^{2}+4{\frac {1548}{245}}={\frac {128}{5}}}$

et donc :

${\displaystyle z_{1}={\frac {1}{2}}\left(-{\frac {4}{7}}+{\sqrt {\frac {128}{5}}}\right)}$,

${\displaystyle z_{2}={\frac {1}{2}}\left(-{\frac {4}{7}}-{\sqrt {\frac {128}{5}}}\right)}$.

Pour la deuxième équation, le discriminant est :

${\displaystyle \Delta =\left({\frac {4}{7}}\right)^{2}+4{\frac {124}{49}}={\frac {512}{49}}}$

et donc :

${\displaystyle z_{3}={\frac {1}{2}}\left({\frac {4}{7}}+{\sqrt {\frac {512}{49}}}\right)}$,

${\displaystyle z_{4}={\frac {1}{2}}\left({\frac {4}{7}}-{\sqrt {\frac {512}{49}}}\right)}$.

Finalement, en utilisant la relation ${\displaystyle x=z+{\frac {9}{7}}}$, nous obtenons comme valeur de ${\displaystyle p}$ :

${\displaystyle {\begin{cases}p_{1}=1+{\frac {4{\sqrt {10}}}{5}}\\p_{2}=1-{\frac {4{\sqrt {10}}}{5}}\\p_{3}={\frac {11+8{\sqrt {2}}}{7}}\\p_{4}={\frac {11-8{\sqrt {2}}}{7}}\end{cases}}}$

Compte tenu de la formule ${\displaystyle m={\frac {6p-p^{2}-5}{4p-12}}}$, les valeurs correspondantes de ${\displaystyle m}$ sont :

${\displaystyle {\begin{cases}m_{1}={\frac {2(10+{\sqrt {10}})}{15}}\\m_{2}={\frac {2(10-{\sqrt {10}})}{15}}\\m_{3}={\frac {4(5+3{\sqrt {2}})}{7}}\\m_{4}={\frac {4(5-3{\sqrt {2}})}{7}}.\end{cases}}}$

En conclusion, il y a quatre droites tangentes à la fois au cercle C₁ et au cercle C₂.

Les équations cartésiennes de ces quatre tangentes sont respectivement :

${\displaystyle y={\frac {2(10+{\sqrt {10}})}{15}}x+1+{\frac {4{\sqrt {10}}}{5}}}$

${\displaystyle y={\frac {2(10-{\sqrt {10}})}{15}}x+1-{\frac {4{\sqrt {10}}}{5}}}$

${\displaystyle y={\frac {4(5+3{\sqrt {2}})}{7}}x+{\frac {11+8{\sqrt {2}}}{7}}}$

${\displaystyle y={\frac {4(5-3{\sqrt {2}})}{7}}x+{\frac {11-8{\sqrt {7}}}{7}}}$

Mise en équation du problème.

La fusée rouge a une accélération de 6 m.s^-2. Sa vitesse initiale étant nulle, sa vitesse en fonction du temps est :

${\displaystyle v(t)=6t}$.

Sa position en fonction du temps est :

${\displaystyle p(t)=3t^{2}}$.

La fusée verte a une accélération de 4 m.s^-2. Sa vitesse initiale étant nulle, sa vitesse en fonction du temps est :

${\displaystyle v(t)=4t}$.

Sa position en fonction du temps est :

${\displaystyle p(t)=2t^{2}}$.

Soit x l'instant ou la troisième fusée est lancée avec une accélération de 6 m.s^-2.

Sa vitesse étant nulle pour t = x, sa vitesse en fonction du temps est :

${\displaystyle v(t)=8t-8x}$.

Sa position étant nulle pour t = x, sa position en fonction du temps est :

${\displaystyle p(t)=4t^{2}-8xt+4x^{2}}$.

Soit α, l'instant auquel la troisième fusée rattrape la fusée verte. Pour t = α, les positions des deux fusées sont les mêmes, on a donc :

${\displaystyle 4\alpha ^{2}-8x\alpha +4x^{2}=2\alpha ^{2}}$,

qui se simplifie sous la forme :

${\displaystyle \alpha ^{2}-4x\alpha +2x^{2}=0}$.

Soit β l'instant auquel la troisième fusée rattrape la fusée rouge. Pour t = β, les positions des deux fusées sont les mêmes, on a donc :

${\displaystyle 4\beta ^{2}-8x\beta +4x^{2}=3\beta ^{2}}$,

qui se simplifie sous la forme :

${\displaystyle \beta ^{2}-4x\beta +2x^{2}=0}$.

Comme la troisième fusée rattrape la fusée rouge 2 secondes après avoir rattrapé la fusée verte, on a β = α + 2 et par conséquent la dernière relation devient :

${\displaystyle (\alpha +2)^{2}-4x(\alpha +2)+2x^{2}=0}$,

qui se simplifie sous la forme :

${\displaystyle \alpha ^{2}+4\alpha -4x\alpha +2x^{2}-8x+4=0}$.

En prenant le résultant des relations suivantes :

${\displaystyle {\begin{cases}\alpha ^{2}-4x\alpha +2x^{2}=0\\\alpha ^{2}+4\alpha -4x\alpha +2x^{2}-8x+4=0\end{cases}}}$

par rapport à α, on obtient l'équation du quatrième degré suivante :

${\displaystyle x^{4}+40x^{3}-4x^{2}-16x+4=0}$.

Résolution de l'équation.

Nous utiliserons la méthode de Lagrange.

Nous avons une équation de la forme :

${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0}$

avec :

${\displaystyle a=1\qquad b=40\qquad c=-4\qquad d=-16\qquad e=4}$.

Pour éliminer le monôme de degré 3, nous posons :

${\displaystyle x=z-{\frac {b}{4a}}=z-{\frac {40}{4}}=z-10}$.

On obtient après développement et simplification :

${\displaystyle z^{4}-604z^{2}+8064z-30236=0}$.

Nous avons une équation de la forme :

${\displaystyle z^{4}+pz^{2}+qz+r=0}$

avec :

${\displaystyle p=-604\qquad q=8064\qquad r=-30236}$.

Nous devons maintenant résoudre l'équation :

${\displaystyle y^{3}+2py^{2}+(p^{2}-4r)y-q^{2}=0}$

qui s'écrit, en remplaçant p, q et r par leurs valeurs :

${\displaystyle y^{3}-1208y^{2}+485760y-65028096=0}$.

Une recherche de racines évidentes nous amène à factoriser le premier membre sous la forme :

${\displaystyle (y-432)(y-392)(y-384)=0}$.

Les racines de la résolvante sont donc :

${\displaystyle {\begin{cases}y_{1}=432\\y_{2}=392\\y_{3}=384.\end{cases}}}$

En remarquant que :

${\displaystyle {\sqrt {432}}{\sqrt {392}}{\sqrt {384}}={\sqrt {65028096}}=8064=q}$,

comme nous devons avoir :

${\displaystyle {\sqrt {y_{1}}}\times {\sqrt {y_{2}}}\times {\sqrt {y_{3}}}=-q}$,

nous changeons notre choix des racines et nous prenons par exemple :

${\displaystyle {\begin{cases}{\sqrt {y_{1}}}={\sqrt {432}}=12{\sqrt {3}}\\{\sqrt {y_{2}}}={\sqrt {392}}=14{\sqrt {2}}\\{\sqrt {y_{3}}}=-{\sqrt {384}}=-8{\sqrt {6}}.\end{cases}}}$

Nous en déduisons que les racines de l'équation :

${\displaystyle z^{4}-604z^{2}+8064z-30236=0}$

sont :

${\displaystyle {\begin{cases}z_{1}={\frac {1}{2}}(12{\sqrt {3}}+14{\sqrt {2}}-8{\sqrt {6}})=6{\sqrt {3}}+7{\sqrt {2}}-4{\sqrt {6}}\\z_{2}={\frac {1}{2}}(12{\sqrt {3}}-14{\sqrt {2}}+8{\sqrt {6}})=6{\sqrt {3}}-7{\sqrt {2}}+4{\sqrt {6}}\\z_{3}={\frac {1}{2}}(-12{\sqrt {3}}+14{\sqrt {2}}+8{\sqrt {6}})=-6{\sqrt {3}}+7{\sqrt {2}}+4{\sqrt {6}}\\z_{4}={\frac {1}{2}}(-12{\sqrt {3}}-14{\sqrt {2}}-8{\sqrt {6}}=-6{\sqrt {3}}-7{\sqrt {2}}-4{\sqrt {6}}\end{cases}}}$

et en reportant dans la relation ${\displaystyle x=z-10}$, nous pouvons conclure que les racines de l'équation :

${\displaystyle x^{4}+40x^{3}-4x^{2}-16x+4=0}$

sont :

${\displaystyle {\begin{cases}x_{1}=6{\sqrt {3}}+7{\sqrt {2}}-4{\sqrt {6}}-10\approx 0{,}494\\x_{2}=6{\sqrt {3}}-7{\sqrt {2}}+4{\sqrt {6}}-10\approx 0{,}291\\x_{3}=-6{\sqrt {3}}+7{\sqrt {2}}+4{\sqrt {6}}-10\approx -0{,}695\\x_{4}=-6{\sqrt {3}}-7{\sqrt {2}}-4{\sqrt {6}}-10\approx -40{,}090.\end{cases}}}$

Les deux dernières racines étant négatives, elles sont à rejeter car aux instants négatifs, les fusées n'étaient pas encore lancées.

En conclusion, on doit lancer une troisième fusée, soit à l'instant 0,291 seconde, soit à l'instant 0,494 seconde dans la même direction que les deux premières avec une accélération de 8 m.s^-2 pour que cette troisième fusée dépasse la fusée rouge 2 secondes après avoir dépassé la fusée verte.

Soit x le rayon commun des deux boules. Soit h l’augmentation du niveau de l'eau dans le premier récipient lorsqu'on y met une des deux boules. Dans le deuxième récipient l’augmentation du niveau sera alors de h – 1. Écrivons que le volume des boules est égal au volume d'eau supplémentaire apparaissant dans les récipients lorsqu'on y plonge les boules. On aura respectivement :

${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {4}{3}}\pi x^{3}=\pi (x+2)^{2}\times h\\{\frac {4}{3}}\pi x^{3}=\pi (x+3)^{2}\times (h-1).\end{cases}}}$

Après simplification par ${\displaystyle \pi }$, ces deux relations s'écrivent :

${\displaystyle {\begin{cases}h(x+2)^{2}={\frac {4}{3}}x^{3}\\{\frac {4}{3}}x^{3}+(x+3)^{2}=h(x+3)^{2}.\end{cases}}}$

En faisant le produit membre à membre, h se simplifie et l'on obtient :

${\displaystyle (x+2)^{2}\left[{\frac {4}{3}}x^{3}+(x+3)^{2}\right]={\frac {4}{3}}x^{3}(x+3)^{2}}$.

En développant partiellement, on obtient :

${\displaystyle (x^{2}+4x+4)\left[{\frac {4}{3}}x^{3}+x^{2}+6x+9\right]={\frac {4}{3}}x^{3}(x^{2}+6x+9)}$.

En finissant de développer et en mettant tous les termes dans le premier membre, on obtient l'équation du quatrième degré suivante :

${\displaystyle 5x^{4}-10x^{3}-111x^{2}-180x-108=0}$.

Pour éliminer le terme de degré 3, posons ${\displaystyle x=z+{\frac {1}{2}}}$. L'équation devient :

${\displaystyle 5\left(z^{4}+{\frac {3}{2}}z^{2}+{\frac {1}{2}}z+{\frac {1}{16}}\right)-10\left({\frac {3}{2}}z^{2}+{\frac {3}{4}}z+{\frac {1}{8}}\right)-111\left(z^{2}+z+{\frac {1}{4}}\right)-180\left(z+{\frac {1}{2}}\right)-108=0}$

soit, en divisant par 5 et en regroupant par degrés :

${\displaystyle z^{4}+pz^{2}+qz+r=0}$

avec

${\displaystyle p={\frac {3}{2}}-3-{\frac {111}{5}}=-{\frac {3\times 79}{10}},\quad q={\frac {1}{2}}-{\frac {3}{2}}-{\frac {111}{5}}-36=-{\frac {8\times 37}{5}},\quad r={\frac {1}{16}}-{\frac {1}{4}}-{\frac {111}{20}}-18-{\frac {108}{5}}={\frac {9\times 13\times 31}{80}}}$.

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}

Mise en équation du problème.

En notant d la base du grand triangle,

${\displaystyle h^{2}+d^{2}=4^{2}}$ et ${\displaystyle {\frac {d}{h}}={\frac {1}{h-1}}}$

donc en éliminant ${\displaystyle d}$ :

${\displaystyle h^{2}((h-1)^{2}+1)=16(h-1)^{2}}$,

soit en développant :

${\displaystyle h^{4}-2h^{3}-14h^{2}+32h-16=0}$.

Résolution de l'équation.

Les deux solutions ${\displaystyle h>1}$ (les seules pertinentes physiquement) se déduisent l'une de l'autre en intervertissant ${\displaystyle d}$ et ${\displaystyle h}$ (on le voit simplement physiquement, mais aussi sur les équations car ${\displaystyle {\frac {d}{h}}={\frac {1}{h-1}}\Leftrightarrow dh=d+h}$ donc les deux solutions ${\displaystyle h<1}$ se déduisent de même l'une de l'autre).

Ceci permet de factoriser et résoudre :

${\displaystyle h^{4}-2h^{3}-14h^{2}+32h-16=(h^{2}-S_{+}h+S_{+})(h^{2}-S_{-}h+S_{-})}$ avec ${\displaystyle S_{\pm }=1\pm {\sqrt {17}}}$

et les deux solutions ${\displaystyle h>1}$, associées à ${\displaystyle S_{+}}$, sont

${\displaystyle h_{\pm }={\frac {1+{\sqrt {17}}\pm {\sqrt {14-2{\sqrt {17}}}}}{2}}}$,

soit

${\displaystyle h_{+}\approx 3{,}76}$ et ${\displaystyle h_{-}\approx 1{,}36}$.