Vergence

En optique géométrique, la vergence, dans certains cas nommée puissance intrinsèque[1], est une grandeur algébrique qui caractérise les propriétés de focalisation d'un système optique. Elle est homogène à l'inverse d'une longueur et s'exprime en dioptrie (δ). La vergence d'un système optique est positive pour un système convergent et négative pour un système divergent : elle prend le même signe que la distance focale image.

Vergence

Dans l'air, la vergence est l'inverse de la distance focale image.

Données clés
Unités SI	dioptrie
Dimension	L⁻¹
Base SI	m⁻¹
Nature	Grandeur scalaire extensive
Symbole usuel	V
Lien à d'autres grandeurs	$V=1/f'$

Dans le cas d'un système optique plongé dans l'air ou le vide, la vergence peut être définie simplement comme l'inverse de la distance focale image.

Pour un système optique séparant des milieux dont les indices de réfraction, n et n' dans le sens de la propagation de la lumière, sont différents, la vergence est définie à partir des distances focales objet f et image f' par :

V={\frac {n'}{f'}}=-{\frac {n}{f}}.

De manière plus générale, en prenant en compte les systèmes optiques constitués d'un nombre impair de miroirs, m étant le nombre d'éléments catoptriques, la vergence s'exprime[2] :

V={\frac {(-1)^{m}\cdot n'}{f'}}.

La vergence est tout particulièrement utilisée pour caractériser les lentilles correctrices (verres correcteurs et lentilles de contact) en optique physiologique[1].

Vergence d'un dioptre sphérique

Soit un dioptre sphérique de sommet $S$ et de centre $C$ , son rayon algébrique est noté : $R={\overline {SC}}$ . $R>0$ si le dioptre est convexe, $R<0$ le dioptre est concave.

Ce dioptre sépare, dans le sens du trajet de la lumière, deux milieux successifs d'indices $n_{1}$ et $n_{2}$ . Alors, la vergence de ce dioptre est :

V={\frac {n_{2}-n_{1}}{R}}

.

Exemple :

Dioptre sphérique convexe de rayon 1 m, séparant l'air du verre (dans cet ordre)

$V={\frac {1,5-1}{1}}=0,5\ \mathrm {\delta }$ ; $f={\frac {-1}{0,5}}=-2\ \mathrm {m}$ ; $f\,^{'}={\frac {1,5}{0,5}}=3\ \mathrm {m}$

Vergence d'une lentille sphérique

Une lentille sphérique épaisse est constituée de deux dioptres sphériques consécutifs.

V={\frac {n_{o}}{f\,^{'}}}=(n-n_{o})\left({\frac {1}{R_{1}}}-{\frac {1}{R_{2}}}\right)+{\frac {(n-n_{o})^{2}}{n}}{\frac {e}{R_{1}R_{2}}}

où $n$ désigne l'indice du matériau utilisé, $n_{o}$ l'indice du milieu, $f\,^{'}$ la distance focale image, $R_{1}={\overline {S_{1}C_{1}}}$ et $R_{2}={\overline {S_{2}C_{2}}}$ les rayons de courbure des deux dioptres et $e={\overline {S_{1}S_{2}}}$ la distance entre les sommets des dioptres.

Dans le cas simplifié d'une lentille mince, c'est-à-dire dont l'épaisseur est négligeable face aux rayons de courbure, plongée dans l'air, la relation se simplifie de la façon suivante.

$V={\frac {1}{f\,^{'}}}=(n-1)\left({\frac {1}{R_{1}}}-{\frac {1}{R_{2}}}\right)$

Formule de Gullstrand

La formule de Gullstrand, énoncée par le suédois Allvar Gullstrand, donne la vergence d'un système centré en fonction des vergences $V_{1}$ et $V_{2}$ des deux systèmes centrés qui le composent, de l’indice $n$ du milieu qui les sépare et de l'interstice $e={\overline {H_{1}'H_{2}}}$ qui sépare leurs plans principaux[3]

V=V_{1}+V_{2}-{\frac {e}{n}}\,V_{1}\,V_{2}

.

Démonstration

La figure ci-dessous fait apparaître les notations utilisées pour la démonstration. Le choix de l'illustration avec deux systèmes centrés convergents est plus commode pour la démonstration, mais celle-ci serait la même avec des systèmes quelconques et avec une position quelconque pour l'objet. Les points notés par la lettre

H

sont les points principaux, les points notés

F

sont les foyers.

Dans les triangles $K'H'F'$ et $G_{2}'F_{2}'H_{2}'$ , ${\frac {\overline {H'F'}}{\overline {H'_{2}F'_{2}}}}={\frac {f'}{f'_{2}}}={\frac {\overline {H'K'}}{\overline {H'_{2}G'_{2}}}}$ .

Dans les triangles $K'_{1}H'_{1}F'_{1}$ et $F_{2}Q_{2}F'_{1}$ , ${\frac {\overline {H'_{1}F'_{1}}}{\overline {F_{2}F'_{1}}}}={\frac {f'_{1}}{F_{2}F'_{1}}}={\frac {\overline {H'_{1}K'_{1}}}{\overline {F_{2}Q_{2}}}}$ .

Or ${\overline {H'K'}}={\overline {H'_{1}K'_{1}}}$ et ${\overline {H'_{2}G'_{2}}}={\overline {F_{2}Q_{2}}}$ donc ${\frac {f'}{f'_{2}}}={\frac {f'_{1}}{F_{2}F'_{1}}}$ .

On peut alors exprimer la distance focale image :

f'=-{\frac {f'_{1}\,f'_{2}}{F'_{1}F_{2}}}\qquad (1)

.

En procèdent de façon similaire, on pourrait obtenir la distance focale objet :

f={\frac {f_{1}\,f_{2}}{F'_{1}F_{2}}}\qquad (2)

.

Selon la définition de la vergence et compte tenu du fait que le rayon lumineux traverse successivement trois milieu d'indice $n_{1}$ , $n$ et $n_{2}$ ,

V_{1}=-{\frac {n_{1}}{f_{1}}}={\frac {n}{f'_{1}}}\qquad (3)

et

V_{2}=-{\frac {n}{f_{2}}}={\frac {n_{2}}{f'_{2}}}\qquad (4)

.

La vergence de l'ensemble doit satisfaire la définition :

$V=-{\frac {n_{1}}{f}}={\frac {n_{2}}{f'}}$

$(1)\Rightarrow V=-{\frac {n_{2}\,{\overline {F'_{1}F_{2}}}}{f'_{1}\,f'_{2}}}$

Si on observe que ${\overline {F'_{1}F_{2}}}={\overline {F'_{1}H'_{1}}}+{\overline {H'_{1}H_{2}}}+{\overline {H_{2}F_{2}}}=-f'_{1}+e+f_{2}$ .

$V=-{\frac {n_{2}\,(-f'_{1}+e+f_{2})}{f'_{1}\,f'_{2}}}$

$V=+{\frac {n_{2}}{f'_{2}}}-{\frac {n_{2}\,e}{f'_{1}\,f'_{2}}}-{\frac {n_{2}\,f_{2}}{f'_{1}\,f'_{2}}}$

On reconnait l'expression de $V_{2}$ pour la première partie et dans la deuxième partie de l'expression, reste à exprimer $f'_{1}$ et $f_{2}/f'_{2}$ .

(4)\Leftrightarrow -{\frac {f_{2}}{f'_{2}}}={\frac {n}{n_{2}}}

et

(3)\Leftrightarrow f'_{1}={\frac {n}{V_{1}}}\Leftrightarrow {\frac {1}{f'_{1}}}={\frac {V_{1}}{n}}

Ce qui fait apparaître

$V=V_{2}-{\frac {V_{2}\,e}{f'_{1}}}+{\frac {n}{f'_{1}}}$ ,

puis enfin :

$V=V_{2}-{\frac {V_{1}\,V_{2}\,e}{n}}+V_{1}$ .

Dans le cas de lentilles minces, la distance $e$ est égale à la distance qui sépare les centres optiques. De plus, si les deux lentilles minces sont accolées, $e$ est nul et on a : $V=V_{1}+V_{2}$ .

Voir aussi

Bibliographie

Richard Taillet, Pascal Febvre et Loïc Villain, Dictionnaire de physique, De Boeck, coll. « De Boeck Supérieur », novembre 2009, 754 p. (lire en ligne)

Articles connexes

Notes et références

Eugène Hecht (trad. de l'anglais), Optique, Paris, Pearson Education France, 2005, 4^e éd., 715 p. (ISBN 2-7440-7063-7), p. 215
Taillet et Febvre Villain, p. 117
Jean-Pierre Goure, L'optique dans les instruments : Généralités, Paris, Lavoisier, 1^er février 2011, 324 p. (ISBN 978-2-7462-1917-5, lire en ligne)

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[Hecht215-1] Eugène Hecht (trad. de l'anglais), Optique, Paris, Pearson Education France, 2005, 4^e éd., 715 p. (ISBN 2-7440-7063-7), p. 215

[dictphys_p117-2] Taillet et Febvre Villain, p. 117

[3] Jean-Pierre Goure, L'optique dans les instruments : Généralités, Paris, Lavoisier, 1^er février 2011, 324 p. (ISBN 978-2-7462-1917-5, lire en ligne)