Transformée de Stieltjes

En mathématiques, la transformée de Stieltjes d'une mesure à densité $ρ$ sur un intervalle $I$ est une fonction de la variable complexe z, définie à l'extérieur de cet intervalle par la formule :

S_{\rho }\left(z\right)=\int _{I}{\frac {\rho \left(t\right)}{z-t}}\,\mathrm {d} t.

Sous certaines conditions on peut reconstituer la densité d'origine à partir de sa transformée grâce à la formule d'inversion de Stieltjes-Perron. Par exemple, si la densité $ρ$ est continue sur $I$ , on aura à l'intérieur de cet intervalle :

$\rho \left(x\right)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\,{\frac {S_{\rho }\left(x-{\rm {i}}\varepsilon \right)-S_{\rho }\left(x+{\rm {i}}\varepsilon \right)}{2{\rm {i}}\pi }}.$

Relations avec les moments de la mesure

Si la mesure de densité $ρ$ a des moments de tout ordre définis pour chaque entier naturel $n$ par l'égalité :

$c_{n}=\int _{I}t^{n}\rho \left(t\right)\,\mathrm {d} t,$

alors la transformée de Stieltjes de $ρ$ admet pour tout entier le développement asymptotique au voisinage de l'infini :

$S_{\rho }\left(z\right)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {c_{k}}{z^{k+1}}}+o\left({\frac {1}{z^{n+1}}}\right).$

Sous certaines conditions on obtient le développement en série de Laurent :

$S_{\rho }\left(z\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {c_{n}}{z^{n+1}}}.$

Relations avec les polynômes orthogonaux

La correspondance $\left(f,g\right)\mapsto \int _{I}f\left(t\right)g\left(t\right)\,\mathrm {d} t$ définit un produit scalaire sur l'espace des fonctions à valeurs réelles continues sur $I$ .

Si $(P n)$ désigne une suite de polynômes, orthonormale pour ce produit scalaire, avec $P n$ de degré $n$ pour tout entier, on lui associe la suite des polynômes secondaires définis par la relation :

$Q_{n}\left(x\right)=\int _{I}{\frac {P_{n}\left(t\right)-P_{n}\left(x\right)}{t-x}}\rho \left(t\right)\,\mathrm {d} t.$

On montre alors que la fraction rationnelle $F_{n}\left(z\right)={\frac {Q_{n}\left(z\right)}{P_{n}\left(z\right)}}$ est un approximant de Padé de $S ρ (z)$ au voisinage de l'infini, au sens où

$S_{\rho }\left(z\right)-{\frac {Q_{n}\left(z\right)}{P_{n}\left(z\right)}}=O\left({\frac {1}{z^{2n}}}\right).$

Les deux suites de polynômes satisfaisant à une même relation de récurrence à trois termes successifs, on peut en déduire facilement un développement en fraction continue généralisée de la transformée de Stieltjes en question dont les réduites successives sont les fractions $F n (z)$ .

La transformée de Stieltjes se révèle également un outil précieux pour construire à partir de $ρ$ une mesure effective rendant les polynômes secondaires orthogonaux.

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Stieltjes transformation » (voir la liste des auteurs).
(en) Hubert Stanley Wall (en), Analytic Theory of Continued Fractions, Van Nostrand, 1948
(en) D. V. Widder, « The Stieltjes transform », Trans. Amer. Math. Soc., vol. 43,‎ 1938, p. 7-60 (lire en ligne)
(en) Irene Gargantini et Peter Henrici, « A continued fraction algorithm for the computation of higher transcendental functions in the complex plane », Math. Comp., vol. 21,‎ 1967, p. 18-29 (lire en ligne)

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