Théorème de Wolstenholme

Le théorème de Wolstenholme, démontré en 1862 par Joseph Wolstenholme, énonce que pour tout nombre premier p supérieur ou égal à 5,

${\displaystyle {{2p-1} \choose {p-1}}\equiv 1{\pmod {p^{3}}}.}$

Par exemple pour p = 7 : le coefficient binomial ${\displaystyle \scriptstyle {13 \choose 6}}$ est égal à 1716 = 1 + 7³×5.

La congruence analogue modulo p² avait été démontrée en 1819 par Charles Babbage.

La preuve originelle de Wolstenholme n'utilise que des calculs algébriques élémentaires. Il démontre d'abord que le numérateur du (p – 1)-ième nombre harmonique

${\displaystyle H_{p-1}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\ldots +{\frac {1}{p-1}}}$

est multiple de p², en déduit que le (p – 1)-ième nombre de Wolstenholme (le numérateur du nombre harmonique généralisé d'ordre 2

${\displaystyle H_{p-1,2}=1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\ldots +{\frac {1}{(p-1)^{2}}}}$)

est multiple de p, puis déduit son théorème de ces deux résultats, qui sont parfois eux aussi appelés « théorème de Wolstenholme ».