Théorème de Riemann-Roch

Originellement, il répond au problème de la recherche de l'existence de fonctions méromorphes sur une surface de Riemann ${\displaystyle S}$ donnée, sous la contrainte de pôles de multiplicité imposée en certains points. Par exemple, sous sa forme faible, le théorème énonce que pour ${\displaystyle m}$ points donnés, l'espace (vectoriel) des fonctions méromorphes sur ${\displaystyle S}$ ayant au plus un pôle du premier ordre en ces points et holomorphes ailleurs est de dimension finie sur C plus grande que ${\displaystyle m-g+1}$, où ${\displaystyle g}$ est le genre de la surface.

Soit ${\displaystyle S}$ une courbe algébrique projective non singulière sur un corps ${\displaystyle k}$. Pour tout point (fermé) ${\displaystyle x\in S}$ et pour toute fonction rationnelle ${\displaystyle f}$ sur ${\displaystyle S}$, notons ${\displaystyle v_{x}(f)}$ l'ordre de ${\displaystyle f}$ en ${\displaystyle x}$ : c'est l'ordre du zéro de ${\displaystyle f}$ en ${\displaystyle x}$ si elle est régulière et s'annule en ${\displaystyle x}$; il est nul si ${\displaystyle f}$ est régulière et inversible en ${\displaystyle x}$ ; et c'est l'opposé de l'ordre du pôle de ${\displaystyle f}$ si ${\displaystyle x}$ est un pôle de ${\displaystyle f}$. Soit ${\displaystyle D=\sum _{i}a_{i}[x_{i}]}$ un diviseur sur ${\displaystyle S}$ et soit ${\displaystyle \Delta }$ un diviseur canonique (c'est-à-dire associé à une forme différentielle). Si l'on appelle ${\displaystyle l(D)}$ la dimension du ${\displaystyle k}$-espace vectoriel formé des fonctions rationnelles sur ${\displaystyle S}$ telles que ${\displaystyle v_{x_{i}}(f)\geq -a_{i}}$ pour tout ${\displaystyle i}$, alors on a :

Théorème de Riemann-Roch — ${\displaystyle l(D)-l(\Delta -D)=\deg(D)+1-g,}$

où ${\displaystyle g}$ est le genre de la courbe ${\displaystyle S}$, défini comme étant ${\displaystyle l(\Delta )}$. Ce théorème peut être interprété comme un calcul de caractéristique d'Euler-Poincaré pour cette situation[1]. Il en existe de nombreuses démonstrations et généralisations.

• Théorème de Riemann-Roch pour les variétés lisses (en)
• Théorème de Hirzebruch-Riemann-Roch
• Théorème de Grothendieck-Hirzebruch-Riemann-Roch
• Théorèmes de Riemann 

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