Théorème de Cauchy-Peano-Arzelà

Soient

• ${\displaystyle f:K\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$ une fonction continue à valeurs dans ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, définie sur un cylindre compact ${\displaystyle K:=[t_{0}-a,t_{0}+a]\times {\overline {B(x_{0},r)}}\subset \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}}$,
• ${\displaystyle M}$ un majorant de la norme de ${\displaystyle f}$ sur ${\displaystyle K}$,
• ${\displaystyle c={\text{min}}(a,r/M)}$.

Alors[1], il existe une solution

${\displaystyle x:[t_{0}-c,t_{0}+c]\to {\overline {B(x_{0},r)}}}$

au problème de Cauchy

${\displaystyle x(t_{0})=x_{0}{\text{ et }}x'=f(t,x).}$

On peut même, dans cet énoncé, remplacer simultanément les deux intervalles centrés en ${\displaystyle t_{0}}$ par des demi-intervalles d'extrémité ${\displaystyle t_{0}}$[2].

N. B. Contrairement à ce que permet de conclure le théorème de Cauchy-Lipschitz sous des hypothèses plus restrictives, il n'y a pas unicité ici[3].

Les exemples suivants sont donnés par Peano[4].

L'équation ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=3x^{2/3}}$ où le second membre est continu en ${\displaystyle x=0}$ sans être lipschitzien, admet les solutions ${\displaystyle x=t^{3}}$ et ${\displaystyle x=0}$ qui s'annulent toutes les deux en ${\displaystyle t=0}$ ainsi que les fonctions qui sont nulles dans l'intervalle ${\displaystyle [0,a]}$ et qui prennent la valeur ${\displaystyle (t-a)^{3}}$ pour ${\displaystyle t>a}$.

L'équation ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}={\frac {4xt^{3}}{x^{2}+t^{4}}}}$, toujours avec la condition ${\displaystyle x(0)=0}$, admet les cinq solutions (${\displaystyle C}$ étant une constante arbitraire positive) :

${\displaystyle x(t)=t^{2}~}$

${\displaystyle x(t)=-t^{2}~}$

${\displaystyle x(t)=0~}$

${\displaystyle x(t)=C-{\sqrt {C^{2}+t^{4}}}}$

${\displaystyle x(t)={\sqrt {C^{2}+t^{4}}}-C}$

On construit par la méthode d'Euler une suite de fonctions M-lipschitziennes affines par morceaux

${\displaystyle x_{n}:[t_{0}-c,t_{0}+c]\to {\overline {B(x_{0},r)}}}$

qui sont des « solutions approchées » de ce problème de Cauchy au sens où pour tout entier n > 0,

${\displaystyle x_{n}(t_{0})=x_{0}\quad {\text{et}}\quad \|x'_{n}(t)-f(t,x_{n}(t))\|\leq 1/n}$

(pour tout point t en lequel x_n est dérivable).

Le théorème d'Ascoli permet d'en extraire une sous-suite uniformément convergente. On montre alors (en utilisant la continuité uniforme de f) que la limite x vérifie

${\displaystyle \forall t\in [t_{0}-c,t_{0}+c],x(t)=x_{0}+\int _{t_{0}}^{t}f(\tau ,x(\tau ))~\mathrm {d} \tau .}$

D'après le premier théorème fondamental de l'analyse, x est donc une « solution exacte » du problème de Cauchy.

La généralisation « naïve » de l'énoncé aux espaces de dimension infinie est drastiquement fausse :

• pour tout[5] espace de Banach ${\displaystyle E}$ de dimension infinie, il existe un problème de Cauchy (associé à une fonction continue ${\displaystyle f:\mathbb {R} \times E\rightarrow E}$) ne possédant pas de solution locale (par translations, les données initiales ${\displaystyle t_{0}}$, ${\displaystyle x_{0}}$ peuvent être choisies arbitrairement dans un tel contre-exemple) ;
• si ${\displaystyle E}$ possède un quotient séparable de dimension infinie, il existe même une fonction continue ${\displaystyle f:E\rightarrow E}$ pour laquelle l'équation différentielle autonome associée ${\displaystyle x'=f(x)}$ n'a aucune solution locale (quelle que soit la condition initiale)[6].

Cependant, le théorème de Cauchy-Peano-Arzelà se généralise en remplaçant ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ par un espace de Banach, à condition d'ajouter l'hypothèse (redondante en dimension finie) que l'application continue ${\displaystyle f}$ est compacte. Pour le démontrer[7], on utilise encore le théorème d'Ascoli, mais aussi le théorème du point fixe de Schauder.