Espace de Banach

Un espace vectoriel normé est un espace de Banach si et seulement si, dans cet espace, toute série absolument convergente est convergente[1].

• Tout espace vectoriel de dimension finie sur ℝ (resp. ℂ) muni de n'importe quelle norme, par exemple une norme euclidienne (resp. hermitienne).
• Pour tout ensemble X et tout espace de Banach E, l'espace B(X, E) des applications bornées de X dans E, muni de la norme de la convergence uniforme.
• Tout sous-espace vectoriel fermé d'un espace de Banach. Par exemple, si X est un espace topologique et E un espace de Banach : le sous-espace de B(X, E) des fonctions à la fois continues et bornées, en particulier l'espace C(K, E) des fonctions continues sur un espace compact K. (En fait, d'après le théorème de Banach-Alaoglu-Bourbaki, tout espace de Banach est un sous-espace fermé d'un C(K, ℝ).)
• Les espaces de Hilbert.
• Plus généralement, pour 1 ≤ p ≤ ∞, l'espace L^p(X) des classes de fonctions mesurables (à valeurs réelles ou complexes) sur un espace mesuré X, et dont la puissance p-ième est intégrable (ou qui sont bornées, si p = ∞).
• Tout espace vectoriel normé quotient d'un espace de Banach par un sous-espace fermé — grâce à la caractérisation par les séries ci-dessus. (En fait, tout espace de Banach séparable est un tel quotient de ℓ¹.)

Soient E et F deux espaces de Banach et f une application linéaire continue de E dans F.

• Si f est surjective alors elle est ouverte, c'est-à-dire que l'image par f de tout ouvert de E est un ouvert de F.
• Si f est bijective alors c'est un homéomorphisme.
• La bijection linéaire continue associée à f, de E/ker(f) dans f(E), est un homéomorphisme si et seulement si f(E) est fermé dans F.
• Théorème du graphe fermé : toute application linéaire de E dans F dont le graphe est fermé dans E×F est continue.

Comme tout espace métrique complet, un espace de Banach vérifie la propriété suivante :

Soit une suite décroissante de fermés non vides dont la suite des diamètres tend vers 0. Alors l'intersection des fermés est non vide et réduite à un singleton.

Cette propriété permet de démontrer que tout espace métrique complet (en particulier tout espace de Banach) est de Baire, et d'en déduire le théorème de Banach-Steinhaus ci-dessous.

Soient ${\displaystyle E}$ un espace de Banach, ${\displaystyle F}$ un espace vectoriel normé, ${\displaystyle \left(u_{i}\right)_{i\in I}}$ une famille d'éléments de ℒ(E,F) et ${\displaystyle A}$ l'ensemble des vecteurs ${\displaystyle x}$ de ${\displaystyle E}$ tels que ${\displaystyle \sup _{i\in I}\left\|u_{i}(x)\right\|<{+\infty }}$. Alors, ou bien ${\displaystyle A}$ est maigre, c'est-à-dire réunion dénombrable d'ensembles rares (un ensemble étant rare si son adhérence est d'intérieur vide) et son complémentaire est dense, ou bien ${\displaystyle \sup _{i\in I}\left\|u_{i}\right\|<{+\infty }}$ (où ${\displaystyle \left\|u_{i}\right\|}$ désigne la norme d'opérateur de ${\displaystyle u_{i}}$). En particulier, si ${\displaystyle A=E}$, seule la seconde éventualité est possible.