Théorème de Balian-Low

Soit g une fonction de carré sommable sur la droite réelle. Posons pour tout couple d'entiers m et n :

${\displaystyle g_{m,n}\left(x\right)\ =\ e^{2\pi imx}\ g\left(x-n\right),}$

Si l'ensemble des ${\displaystyle \{g_{m,n}:m,n\in \mathbb {Z} \}}$ forme une base orthonormée de l'espace de Hilbert ${\displaystyle L^{2}\left(\mathbb {R} \right)}$, alors on a :

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }x^{2}\ |g\left(x\right)|^{2}\ dx\ =\ \infty }$

ou bien :

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\xi ^{2}\ |{\hat {g}}\left(\xi \right)|^{2}\ d\xi \ =\ \infty }$

avec ${\displaystyle {\hat {g}}}$ la transformée de Fourier de la fonction g.