Théorème d'Euclide sur les nombres premiers

Dans ses Éléments, Euclide démontre que de trois nombres premiers distincts peut se déduire un quatrième. La démonstration se généralise immédiatement à toute énumération finie de nombres premiers. Il déduit que les nombres premiers sont en nombre plus important que toute quantité finie. L'infini mis en évidence par cette preuve est donc un « infini potentiel », compatible avec la doctrine aristotélicienne[2].

Actualisée, sa démonstration se présente comme suit : soit ${\displaystyle q_{1},q_{2},q_{3},\dotsc ,q_{n}}$ une liste finie de nombres premiers distincts. Si N désigne leur produit, les nombres premiers déjà énumérés ne peuvent pas diviser S = N + 1 ; or un tel nombre entier S > 1 possède un diviseur premier, qui ne fait donc pas partie de la suite donnée. Euclide énonce à la proposition 31 du livre VII des Éléments que tout nombre entier S > 1 possède un diviseur premier et le démontre par descente infinie[3]. On peut aussi le démontrer ainsi : q le plus petit diviseur strictement supérieur à 1 de l'entier S est nécessairement premier, car tout diviseur de q est un diviseur de S, donc est 1 ou q[4]^,[5].

L'argumentation utilisée par Euclide permet de construire par récurrence une suite injective ${\displaystyle (q_{n})}$ de nombres premiers : ${\displaystyle q_{n}}$ est défini comme le plus petit facteur premier de ${\displaystyle 1+\prod _{k<n}q_{k}}$. Cette démonstration directe n'est donc pas une démonstration par l'absurde, contrairement à ce qui a été souvent affirmé[6]. De fait, comme le remarque Gérald Tenenbaum, la preuve d'Euclide « est trop simple pour être ineffective[7] » : la construction permet de montrer que le n-ième nombre premier ${\displaystyle p_{n}}$ est inférieur ou égal à ${\displaystyle 2^{2^{n-1}}}$.

Mullin s'est demandé si la suite ${\displaystyle (q_{n})}$ ainsi obtenue parcourait tous les nombres premiers[8]. En 2017, on ignore la réponse à cette question[9]. En revanche, si l'on prend pour ${\displaystyle q_{n}}$ le plus grand facteur premier de ${\displaystyle 1+\prod _{k<n}q_{k}}$, alors on sait qu'une infinité de nombres premiers ne font pas partie de la suite ${\displaystyle (q_{n})}$[10].

Une variante de cette démonstration a été donnée par le mathématicien allemand Ernst Kummer en retranchant 1 au produit au lieu d'ajouter 1[11].

Euler.

Une autre preuve fut proposée par le mathématicien suisse Leonhard Euler. Si P désigne l'ensemble des nombres premiers, Euler écrit :

${\displaystyle \prod _{p\in P}{\frac {1}{1-1/p}}=\prod _{p\in P}\sum _{k\geq 0}{\frac {1}{p^{k}}}=\sum _{n\geq 1}{\frac {1}{n}}}$.

Ces trois expressions représentent donc le même élément de [0, +∞]. La première égalité est donnée par la somme d'une série géométrique. Pour montrer la seconde égalité, il faut distribuer le produit par rapport à la somme. Dans le résultat obtenu, tous les produits (finis) possibles de nombres premiers apparaissent une fois ; d'après le théorème fondamental de l'arithmétique, ces produits sont tous les entiers supérieurs ou égaux à 1 :

${\displaystyle \prod _{p\in P}\sum _{k\geq 0}{\frac {1}{p^{k}}}=\sum _{i\geq 0}{\frac {1}{2^{i}}}\times \sum _{j\geq 0}{\frac {1}{3^{j}}}\times \sum _{k\geq 0}{\frac {1}{5^{k}}}\times \sum _{l\geq 0}{\frac {1}{7^{l}}}\times \cdots =\sum _{i,j,k,l,\cdots \geq 0}{\frac {1}{2^{i}3^{j}5^{k}7^{l}\cdots }}=\sum _{n\geq 1}{\frac {1}{n}}}$.

La divergence de la série harmonique montre alors que la somme (à droite) est égale à +∞, donc le produit (à gauche) ne peut être fini. Il y a donc une infinité de nombres premiers.

Le théorème de Dirichlet généralise le résultat d'Euclide : il affirme qu'il y a une infinité de nombres premiers de la forme ${\displaystyle ak+n}$, où ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle n}$ sont des entiers fixés, premiers entre eux. Autrement dit, il existe une infinité de nombres premiers dans toute progression arithmétique de cette forme.

Le théorème d'Euclide correspond au cas où ${\displaystyle a=1}$. Il existe des preuves élémentaires pour certains cas particuliers du théorème de Dirichlet, mais la démonstration complète, qui s'inspire de celle d'Euler pour le théorème d'Euclide, repose sur des arguments avancés d'analyse.

Ce théorème, conjecturé au début du XIX^e siècle et prouvé en 1896, simultanément et indépendamment par Jacques Hadamard et Charles-Jean de La Vallée Poussin, précise la répartition des nombres premiers. Le théorème d'Euclide dit que la suite strictement croissante ${\displaystyle (p_{n})_{n\geq 1}}$ des nombres premiers est infinie. Le théorème des nombres premiers précise que ${\displaystyle p_{n}}$ est équivalent à ${\displaystyle n\ln n}$.

La démonstration originelle fait appel à des notions délicates d'analyse complexe, en particulier sur la fonction zêta de Riemann. Il existe aussi maintenant des démonstrations plus élémentaires. Des variantes, précisant en particulier le théorème de la progression arithmétique, sont aussi connues.