Saturation des inégalités de Heisenberg

L'énoncé du théorème est (cf principe d'incertitude) :

${\displaystyle \Delta {A}\cdot \Delta {B}\geq {\frac {1}{2}}\left|\left\langle \left[{\hat {A}},{\hat {B}}\ \right]\right\rangle _{\gamma }\right|}$

Soit A et B deux opérateurs observables qui ne commutent pas : alors on ne peut pas mesurer simultanément A et B ! Le manque de précision est relié à leur commutateur iC. L'opérateur C est hermitien, donc la grandeur observable <C> est réelle. Soit dans l'état | ${\displaystyle \psi }$, var(A) la variance de A , et de même var(B), celle de B, l'inégalité se réécrit aussi :

${\displaystyle <\psi |{\hat {var}}(A)|\psi >\cdot <\psi |{\hat {var}}(B)|\psi >={1 \over 4}<\psi |{\hat {var}}(C)|\psi >}$

Démonstration :

soit A1 l'observable centrée := A - <A> ; var(A)= <A1²>.(idem pour B1)

l'inégalité de Schwarz appliquée à |f> := A1| ${\displaystyle \psi }$ > et |g> = B1| ${\displaystyle \psi }$ >

donne var(A).var(B) > |<f|g>|² .

Or A1.B1 = So/2 +iC/2 (avec 2So := A1.B1 + B1.A1, et donc <So> est réel)

Donc var(A).var(B) > 1/4 <So>² + 1/4 <C>², avec saturation ssi |f> = k |g>

Il y a saturation si ${\displaystyle A_{1}|\psi \rangle =kB_{1}|\psi \rangle }$ : cet état réalise le minimum d'incertitude.

Par addition, ${\displaystyle k\Delta A\Delta B/k=2<So>}$ qui est nulle dans ce cas (on dit parfois que la corrélation quantique de ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$ est nulle); et par soustraction que ${\displaystyle k\Delta A-\Delta B/k=i\langle C\rangle }$ ,

d'où la valeur de ${\displaystyle k=i\langle C\rangle /2\Delta A=-2\Delta B/i\langle C\rangle }$ ; ce qui permet souvent d'évaluer ${\displaystyle k}$.

Alors on dit que ${\displaystyle A_{1}-kB_{1}}$ annihile l'état saturé.

Si la particule est libre, en considérant ${\displaystyle A=P}$ et ${\displaystyle B=X}$, on trouve immédiatement :

${\displaystyle [P,X]=-i\hbar }$, donc ${\displaystyle C=-\hbar }$, d'où la valeur de ${\displaystyle k=-i2\Delta X/\hbar }$, et ${\displaystyle P-p_{0}=k(X-x_{0})}$ dans l'état saturé. Soit en résolvant cette équation différentielle du premier ordre:

${\displaystyle \psi (x)=N\exp ^{-{\frac {(x-x0)^{2}}{4v(X)}}}\exp ^{\frac {ip_{0}x}{\hbar }}}$, avec ${\displaystyle N={\frac {1}{[2\pi \Delta X]^{\frac {1}{4}}}}}$

C'est le paquet d'ondes gaussien, avec évidemment \Delta X\Delta P=1/4.${\displaystyle \hbar ^{2}}$.

Retrouver une gaussienne n'est pas trop étonnant; mais une faille importante s'introduit dans la dépendance temporelle, à cause de la dispersion inévitable de ${\displaystyle \psi (x,t)}$ : le paquet d'onde va s'étaler dans le temps. Il faudra donc qu'un potentiel intervienne pour limiter la dispersion : c'est le cas de l'oscillateur harmonique.

Dans le cas du potentiel 1/2 K x², on a toujours :

var(X).var(P) = 1/4 ${\displaystyle \hbar ^{2}}$,

Donc l'énergie E = 1/2 K.var(X)+1/2 var(P)/m est bornée inférieurement par :

${\displaystyle 2{\sqrt {\frac {K\hbar ^{2}}{16m}}}={\frac {\hbar \omega }{2}}=Eo}$.

• pour la saturation, E= Eo et l'opérateur d'annihilation donnera encore un paquet d'onde gaussien, mais cette fois la variance est indépendante du temps et on a :

${\displaystyle <X^{2}>={\sqrt {\frac {\hbar }{\sqrt {mK}}}}}$.

• Ce paquet d'onde est stationnaire (l'énergie est parfaitement connue) et s'étale dans le fond de la cuvette de potentiel; son gradient donne une énergie cinétique moyenne, moitié de l'énergie Eo.
• Remarque : le théorème du viriel, aussi, donne <Ec> = <Ep> = Eo/2.
• Ordre de grandeur : dans le cas d'une molécule diatomique covalente, la distance d(A-B) varie toujours un peu, à cause de la fluctuation quantique, d'une grandeur dont la variance est, on l'a vu, <X²>= ${\displaystyle <X^{2}>={\sqrt {\frac {\hbar }{\sqrt {mK}}}}}$, où ici m est la masse réduite de A et de B, et K la raideur de la liaison covalente (typiquement donnée par 2V"(x=d), où V(x) est le potentiel de Morse du modèle d'interaction covalente, soit K = 13,6 eV/(0,52 Å)^2 = ~ 2000N/m, ce qui conduit à var(X)~ d² 1/1836. A.B/(A+B); inutile donc de donner les distances interatomiques à mieux que 3 %.

• Cas de l'hélium : il existe des cas plus surprenants. Supposons que la liaison ne soit pas covalente mais plutôt de Lenard-Jones (modèle des liaisons de Van der Waals) comme dans un cristal de gaz rare. Alors K est bien moins élevée et on peut dans le cas de l'hélium se retrouver avec une vibration quantique à température nulle, var(X) ~ d²/10. Or ce critère est celui de Lindemann, pour la possibilité de diffusion des atomes du cristal; celui-ci perd sa cohésion, c'est un LIQUIDE. Ainsi explique-t-on l'anomalie de l'hélium qui est le seul corps impossible à cristalliser par refroidissement seul; il faudra en quelque sorte "raidir" la valeur de K en appliquant une pression pour obtenir l'hélium stable en phase solide.

À nouveau, l'état fondamental correspondra à la saturation, avec cette caractéristique <Ec> = 1/4 . ${\displaystyle \hbar ^{2}}$/m v(X). et le théorème du viriel donnera <Ec>/n-1 = <Ep> = Eo/n ; ce qui donne (ne serait-ce que par analyse dimensionnelle):

• ${\displaystyle E_{0}^{n+1}=c_{n}A({\frac {\hbar ^{2}}{m}})^{n/2}}$
• ${\displaystyle v(X)^{(n+2)/2}=c'_{n}{\frac {\hbar ^{2}}{mA}}}$
• le paquet d'onde "saturé" reste donc gaussien.

Dans le cas du potentiel 1/2 k (x² + y² + z²), il est clair que la séparation des variables donne immédiatement la fonction d'onde : ${\displaystyle \psi (x,t)=Ne^{-[3r^{2}/4r_{0}^{2}]}e^{-{\frac {3i\omega t}{2}}}}$ , avec :

• ${\displaystyle 2.(1/2.K.r_{0}^{2}):=E_{0}={\frac {3\hbar \omega }{2}}}$

Afin de pouvoir traiter l'atome d'hydrogène, on va introduire l'inégalité de Heisenberg radiale, ce qui est relativement moins étudié dans la littérature.

On considère uniquement les états s, à symétrie radiale.

• Soit R l'opérateur tel que R² = X² + Y² + Z² := X1² + X2² + X3², en changeant de notation afin de pouvoir éventuellement généraliser (idem pour P )

Le commutateur de P1 et de R est [P1, R] = -i X1/r (on a pris ${\displaystyle \hbar =1}$).

Et donc on reconnaît la dérivation usuelle : [P1,g(R)] = -i (X1/r).g'(R).

• Soit A1 l'opérateur A1 := P1 + k X1.f(R), k réel, f(r) aussi.

Soit N l'opérateur N := A1*. A1 + A2*. A2 + A3*. A3 (parce qu'on pense à la généralisation de l'opérateur nombre de bosons)

Le calcul donne : N = P² +k².r².f(R)² + k (3f(R) + R.f'(R)), opérateur positif pour tout k.

D'où l'inégalité de Heisenberg radiale pour les états s de symétrie radiale :

${\displaystyle var(P).var(Rf(R))>1/4\hbar ^{2}var((3f(R)+Rf'(R))}$ , pour toute f(r) réelle.

En saturation, on retrouve bien les résultats précédents de l'oscillateur 3D, en prenant f(r)=1.

Si f(r) = r^k, on trouve :

${\displaystyle var(P).var(R^{k+1})>{\frac {3+k}{4}}\hbar ^{2}var(R^{k})}$

avec la même limitation qu'en mécanique classique: k > -3.

Dans le cas du potentiel V(r) = -e²/r, choisir f(r) = 1/r :

L'inégalité de Heisenberg saturée s'écrit cette fois:

${\displaystyle var(P)=\hbar ^{2}<{\frac {1}{R}}>^{2}:=\hbar ^{2}/a^{2}}$, en appelant a la moyenne harmonique de R (c’est-à-dire la moyenne de l'opérateur 1/R).

• la valeur de k assurant la saturation est juste k = -${\displaystyle \hbar }$/a
• on en déduit que la fonction d'onde est annihilée par A1 := P1 -${\displaystyle i\hbar }$/a.1/R, soit aussi, puisque la fonction d'onde ne dépend que de r ,

${\displaystyle [{\frac {d}{dr}}+{1 \over a}]\psi (r)=0}$.

D'où il résulte que ${\displaystyle \psi (r)=Ne^{-{\frac {r}{a}}}}$ :

Il s'agit de la fonction d'onde saturée (naturellement, on vérifie que <1/R> = 1/a) .

• Énergie minimale: l'inégalité de Heisenberg donne aussi:

E = <Ec> +<Ep> > = var(P)/2m -e²<1/R> = ${\displaystyle {\frac {\hbar ^{2}}{2ma^{2}}}-{\frac {e^{2}}{a}}}$ ,

égalité toujours vraie, pour tout état s.

Cette énergie est minimale quand elle est saturée et que a (moyenne harmonique de r) vaut :

${\displaystyle a=a_{0}:={\frac {\hbar ^{2}}{me^{2}}}}$ , d'où ${\displaystyle E=E_{0}=1/2E_{p}=-{\frac {e^{2}}{2a_{0}}}}$

(conformément au théorème du viriel).

On a ainsi trouvé ce que ne pouvait pas donner la théorie de l'atome de Bohr (il y avait inexistence des états s) : la non-commutativité et la saturation de l'inégalité de Heisenberg sont ainsi inscrits au cœur profond de la Mécanique quantique.

Remarque interrogative : y a-t-il une relation avec le fait que c'est <1/r> qui intervient, et le changement de variable de Binet u(t) = 1/r(t) en mécanique classique ?

note, les états cohérents : Plus généralement, il se trouve souvent que les cas de saturation se retrouvent être des états propres de l'hamiltonien. Il y a beaucoup de liens entre cette remarque anodine et la théorie plus sophistiquée des états cohérents.

Ce paragraphe se place dans le cadre des précédentes réflexions, où la non-commutativité joue un rôle crucial.

L'opérateur impulsion vaut, d'après Dirac, ${\displaystyle {\hat {\vec {P}}}:={\hbar \over i}{\vec {\nabla }}}$ .

L'opérateur énergie cinétique s'écrit donc : ${\displaystyle {\hat {E}}_{c}=+{1 \over 2m}{\hat {P}}^{2}=-{\hbar ^{2} \over 2m}\Delta }$ .

L'habitude est de séparer l'opérateur P² en deux opérateurs quand le champ est central, en faisant intervenir l'opérateur moment cinétique L et l'opérateur impulsion-radiale P_r et il convient d'être très prudent :

${\displaystyle {\vec {P}}^{2}=P_{r}^{2}+{L^{2} \over r^{2}}}$ ,

étant précisé que L.P = 0 et L.r = 0 en tant qu'opérateurs.

L'opérateur P²_r agit sur une fonction d'onde découplée S(r)/r . f( ${\displaystyle \theta ,\phi }$) comme -${\displaystyle \hbar ^{2}S^{\prime \prime }(r)/r.f(\theta ,\phi )}$

Le calcul de l'opérateur dr/dt est donné par le théorème usuel :

${\displaystyle i\hbar dr/dt=rH-Hr=(rP_{r}^{2}-P_{r}^{2}r)/2m}$ ;

avec ${\displaystyle [r,P_{r}^{2}]=2i\hbar P_{r}}$ , il vient :

dr/dt = P_r/m , ce qui est somme toute assez facile à retenir mnémotechniquement.

Si la symétrie radiale est respectée, [L², H] = 0 et dans l'état de moment cinétique l, L² = l(l+1)${\displaystyle \hbar ^{2}}$ , alors :

${\displaystyle E_{c}\psi =-{\hbar ^{2} \over 2m}S^{''}\cdot {f(\theta ,\phi ) \over r}+{l(l+1)\hbar ^{2} \over 2mr^{2}}S(r)\cdot {f(\theta ,\phi ) \over r}}$ .

ceci conduira à une équation radiale assez simple à mémoriser (cf atome d'hydrogène).

Mais il reste à expliquer pourquoi tous les calculs se combinent aussi bien. Et de plus, dans le cas coulombien, expliquer la symétrie SO(4) qui donne le vecteur excentricité. Voir aussi vecteur de Runge-Lenz.