État cohérent

La théorie décrivant les états cohérents fait intervenir l'opérateur annihilation et création de la seconde quantification.

Un état cohérent canonique peut être décrit de manière générale comme un état généré par l'opérateur de déplacement, ${\displaystyle D(\alpha )}$, appliqué à l'état du vide ${\displaystyle |0\rangle }$.

${\displaystyle D(\alpha )=e^{\alpha a^{\dagger }-\alpha ^{*}a}}$

Où ${\displaystyle \alpha }$ est un nombre complexe arbitraire.

En utilisant les propriétés de l'opérateur annihilation, l'égalité suivante peut être établie.

${\displaystyle D^{\dagger }(\alpha )a|\alpha \rangle =D^{\dagger }(\alpha )aD(\alpha )|0\rangle =\left(a+\alpha \right)|0\rangle =\alpha |0\rangle }$

En multipliant les deux côtés par l'opérateur ${\displaystyle D(\alpha )}$, on obtient finalement

${\displaystyle a|\alpha \rangle =\alpha |\alpha \rangle }$.

Ce dernier énoncé peut être également utilisé pour définir les états cohérents.

À partir de la définition de l'opérateur déplacement, on peut dériver qu'un état cohérent correspond à la superposition suivante d'états de Fock.

${\displaystyle |\alpha \rangle =e^{-{|\alpha |^{2} \over 2}}\left(1+{\frac {\alpha {\hat {a}}^{\dagger }}{1!}}+{\frac {(\alpha {\hat {a}}^{\dagger })^{2}}{2!}}+{\frac {(\alpha {\hat {a}}^{\dagger })^{3}}{3!}}+...\right)|0\rangle }$

Ou de manière plus compacte :

${\displaystyle |\alpha \rangle =e^{-{|\alpha |^{2} \over 2}}\exp \left(\alpha {\hat {a}}^{\dagger }\right)|0\rangle =e^{-{|\alpha |^{2} \over 2}}\sum _{n}{\frac {\alpha ^{n}}{\left(n!\right)^{1/2}}}|n\rangle }$

Ici, ${\displaystyle \alpha }$ est un nombre complexe qui possède une partie réelle et une partie imaginaire. Il peut être représenté à l'aide d'une exponentielle complexe :

${\displaystyle \alpha =|\alpha |e^{i\theta }~~~}$

où ${\displaystyle |\alpha |}$ et ${\displaystyle \theta }$ sont respectivement l'amplitude et la phase de l'état.

On peut aussi conclure que la distribution de probabilité du nombre de photons dans un état cohérent correspond à une distribution de Poisson[4].

${\displaystyle \langle \alpha |{\hat {a}}|\alpha \rangle =\alpha }$

${\displaystyle \langle \alpha |{\hat {n}}|\alpha \rangle =\langle \alpha |{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}|\alpha \rangle =|\alpha |^{2}}$

${\displaystyle \langle \alpha |{\hat {n}}^{2}|\alpha \rangle =|\alpha |^{4}+|\alpha |^{2}}$

${\displaystyle \Delta n={\sqrt {\langle {\hat {n}}^{2}\rangle -\langle {\hat {n}}\rangle ^{2}}}=|\alpha |}$

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