Relations de Kramers-Kronig

Si on écrit

${\displaystyle f(\omega )=f_{1}(\omega )+if_{2}(\omega )}$,

avec ${\displaystyle f_{1}}$ et ${\displaystyle f_{2}}$ des fonctions réelles "sympathiques"^{[réf. nécessaire]}, alors les relations de Kramers-Kronig sont :

$${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}f_{1}(\omega )=+{\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }{\frac {\Omega f_{2}(\Omega )}{\Omega ^{2}-\omega ^{2}}}d\Omega \\f_{2}(\omega )=-{\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }{\frac {\omega f_{1}(\Omega )}{\Omega ^{2}-\omega ^{2}}}d\Omega \end{aligned}}\right.}$$

Les relations de Kramers-Kronig sont liées à la transformée de Hilbert, et sont le plus souvent appliquées à la permittivité ${\displaystyle \epsilon (\omega )}$ des matériaux. Cependant, dans ce cas,

${\displaystyle f(\omega )=\chi (\omega )=\epsilon (\omega )/\epsilon _{0}-1}$,

avec ${\displaystyle \chi (\omega )}$ la susceptibilité électrique du matériau, la susceptibilité peut être interprétée comme la transformée de Fourier de la réponse temporelle du matériau à une excitation infiniment brève, c'est-à-dire sa réponse impulsionnelle.

Ces relations sont mieux connues dans le domaine des Télécommunications/Théorie du contrôle comme les relations de Bayard-Bode, en hommage aux travaux de Marcel Bayard (1936) et Hendrik Wade Bode(1945). Le théorème de Bayard-Bode est une application : amplitude et phase sont liées dans le cas d'un système à minimum de phase.

• Formule intégrale de Cauchy