Coupe minimum

Le théorème max-flot/coupe min stipule que le cardinal de la coupe minimum entre deux sommets est égal au flot maximum pouvant passer d'un sommet à l'autre[2].

Il y a au plus ${\displaystyle {\binom {n}{2}}}$ coupes minimums dans un graphe[3].

Le nombre de coupes qui sont au plus ${\displaystyle \alpha }$ plus grandes que la coupe min est dans ${\displaystyle O\left((2n)^{2\alpha }\right)}$[4].

On considère le problème d'optimisation combinatoire suivant :

Étant donné un graphe G, trouver une coupe minimum.

que l'on transforme en le problème de décision :

Étant donné un graphe G et un entier k, existe-t-il une coupe de cardinal au plus k ?

Grâce au théorème flot-max/coupe-min, le problème peut se résoudre en résolvant le problème de flot maximum associé. On obtient donc une complexité polynomiale, grâce à l'algorithme d'Edmonds-Karp par exemple. Il existe aussi des algorithmes probabilistes comme l'algorithme de Karger[1], qui sont plus simples et, pour certaines variantes, plus efficaces.

Les coupes minimums peuvent être interprétées comme les faiblesses d'un réseau : l'ensemble minimum de pannes pouvant déconnecter le réseau. Ainsi une coupe minimum de grande taille est signe d'une plus grande robustesse[4].

Un exemple est la restauration d'image définie par Greig et al[6]. On considère une image bruitée que l'on veut débruiter en utilisant seulement des pixels noirs et blancs. On définit un graphe de la manière suivante : on crée deux nœuds, s et t, puis un nœud pour chaque pixel de l'image, chacun étant lié à s, t et à un certain nombre d'autres pixels de son voisinage dans l'image. Les nœuds s et t correspondent au noir et au blanc. Les arêtes ont un poids choisi pour être cohérent avec l'image de départ et les propriétés recherchées sur la reconstruction (continuité par exemple). Une coupe minimum correspond alors à séparer les nœuds-pixels en deux classes (les noirs et les blancs) de façon optimale selon un certain critère (lié au choix du poids des arêtes)[7].

Un autre exemple est la texturisation d’images qui consiste à créer une grande image à partir d'une petite, en faisant des répétitions intelligentes[8]^,[9].

Les coupes minimums sont aussi utilisées pour l'analyse automatique de documents, pour les langages de programmation parallèle et en optimisation combinatoire comme sous-tâche de problème plus difficile, par exemple dans la méthode des plans sécants pour le problème du voyageur de commerce[4].