Polyèdre de Dürer

Le polyèdre de Dürer (également appelé rhomboèdre tronqué ou solide de Dürer) est un polyèdre particulier à huit faces, représenté dans la taille-douce Melencolia I de Albrecht Dürer de 1514.

Melencolia I de Albrecht Dürer, 1514. Le polyèdre domine le côté gauche de la gravure.

Description

Extrait de la gravure avec un pentagone mis en évidence.

Le polyèdre de Dürer est un polyèdre convexe à huit faces.

Six de ses faces sont des pentagones identiques. Ce sont des pentagones irréguliers, mais qui possèdent un axe de symétrie. Deux de ses faces sont des triangles équilatéraux. Les faces opposées sont parallèles.

Il a douze sommets. En chaque sommet se rencontrent trois faces : soit un triangle et deux pentagones, soit trois pentagones. Tous les sommets appartiennent à une même sphère circonscrite.

Il a dix-huit arêtes.

Dans la gravure de Dürer, le polyèdre repose sur une des faces triangulaires, les pentagones formant le pourtour de l'objet.

Construction

Pour construire le polyèdre de Dürer, on peut partir d'un rhomboèdre, un solide aux 6 faces en forme de losanges parallèles deux à deux ; on peut voir le rhomboèdre comme un cube allongé dans le sens de sa grande diagonale. On choisit des losanges d'angles de mesures 72° et 108° (on reconnaît au passage le triangle d'or) ; du point de vue mathématique, un autre choix aurait été possible, conduisant à un solide plus ou moins effilé.

Une face pentagonale et son cercle circonscrit.

Six sommets parmi les huit sommets du rhomboèdre appartiennent à une même sphère, les deux sommets restants dépassant à l'extérieur de la sphère. Si l'on découpe ce qui dépasse, on obtient trois nouveaux sommets qui forment les faces triangulaires du polyèdre de Dürer, et qui, par construction, sont aussi sur la sphère circonscrite aux autres sommets.

Après la découpe, les faces en forme de losange du rhomboèdre deviennent des pentagones. Deux des arêtes du losange de longueur $a$ (en rouge sur l'illustration ci-dessus) continuent à former un angles de 72°. Les deux autres arêtes sont raccourcies à une longueur $b$ (en bleu sur l'illustration). La corde $c$ (en vert sur l'illustration) est parallèle à la diagonale de longueur $e$ (voir le graphique à droite). Les deux nouveaux angles obtus mesurent chacun 126°. Les arêtes de longueur $a$ et $b$ opposées sont parallèles. Les cinq sommets sont sur un même cercle circonscrit de rayon $r$ (c'est un cas de pentagone inscriptible, voir quadrilatère inscriptible).

Grâce à la valeur particulière choisie pour les mesures des angles, les faces pentagonales du polyèdre exhibent un certain nombre de propriétés spéciales :

certaines longueurs sont dans le rapport du nombre d'or : ${\frac {a}{r}}={\frac {r}{b}}={\frac {e}{c}}=\Phi$ .
$r$ est à la fois la différence et la moyenne géométrique de $a$ et de $b$ : ${\sqrt {ab}}=a-b=r$
les deux diagonales du pentagone qui forment un triangle avec les côtés de longueur $b$ et $c$ ont pour longueur $a$ ; avec les autres côtés, elles forment un trapèze symétrique, mais dont l'axe de symétrie ne coïncide pas avec celui du pentagone.

Formules mathématiques

La longueur de la plus longue arête est notée $a$ .

Caractéristiques du polyèdre
Volume	$V={\frac {5}{3}}a^{3}{\sqrt {{\sqrt {5}}-2}}$
Surface	$O={\frac {a^{2}}{2}}\left(3{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+5{\sqrt {3}}-2{\sqrt {15}}\right)$
Rayon de la sphère circonscrite	$R={\frac {a}{4}}{\sqrt {14-2{\sqrt {5}}}}$
Premier angle entre faces (pentagones séparés par une arête $a$ )	$\cos \,\alpha _{1}=2-{\sqrt {5}}$ $\alpha _{1}$ ≈ 103° 39' 17"
Deuxième angle entre faces (pentagones séparés par une arête $b$ )	$\cos \,\alpha _{2}={\sqrt {5}}-2$ $\alpha _{2}$ ≈ 76° 20' 43"
Troisième angle entre faces (entre pentagones et triangles)	$\cos \,\alpha _{3}={\frac {1}{3}}{\sqrt {15-6{\sqrt {5}}}}$ $\alpha _{3}$ ≈ 114° 48' 4"

Construction du polyèdre de Dürer à partir des formules ci-contre.

Caractéristiques des faces pentagonales
Aire	$A={\frac {a^{2}}{4}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}$
Rayon du cercle circonscrit	$r={\frac {a}{2}}\left({\sqrt {5}}-1\right)=a-b={\sqrt {ab}}$
Angles	72°, 108° et 126°
Longueur des premier et cinquième côtés	$a$
Longueur des deuxième et quatrième côtés	$b={\frac {a}{2}}\left(3-{\sqrt {5}}\right)$
Longueur du troisième côté	$c=a{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}$
Diagonale	$e={\frac {a}{2}}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}$
Hauteur	$h={\frac {a}{2}}{\sqrt {5}}$

Caractéristiques des faces triangulaires
Aire	$A={\frac {a^{2}}{4}}{\sqrt {3}}\left(5-2{\sqrt {5}}\right)={\frac {c^{2}}{4}}{\sqrt {3}}$
Rayon du cercle circonscrit	$r={\frac {a}{3}}{\sqrt {15-6{\sqrt {5}}}}={\frac {c}{3}}{\sqrt {3}}$
Hauteur	$h={\frac {a}{2}}{\sqrt {15-6{\sqrt {5}}}}={\frac {c}{2}}{\sqrt {3}}$

Le graphe de Dürer, associé au solide de Dürer.

Graphe de Dürer

Le squelette du polyèdre de Dürer est un graphe à 12 sommets (figure ci-contre).

Notes et références

(de) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en allemand intitulé « Rhomboederstumpf » (voir la liste des auteurs).

Voir aussi

Bibliographie

(de) Eberhard Schröder: Dürer, Kunst und Geometrie: Dürers künstlerisches Schaffen aus der Sicht seiner „Underweysung“, Basel : Birkhäuser, 1980 (ISBN 3-7643-1182-7), et en particulier le chapitre Rekonstruktionsanalyse an dem Kupferstich „Melancholie“, pages 64 à 75, comprenant à la page 69 une esquisse faisant partie de l'étude préalable.

Liens externes

(en) Eric W. Weisstein, « Dürer's Solid », sur MathWorld
Yvo Jacquier, Étude géométrique du polyèdre de Dürer, dans sa gravure Melancolia I
François Dusak et Maurice Bardot, Le polyèdre de Dürer et son polyèdre dual, 2012
(de) Rolf Monnerjahn, Melencolia I – Dürers geometrische Offenbarung (PDF)
(de) Bastelanleitung für Rhomboeder (Albrecht Dürer), instructions de bricolage d'un rhomboèdre tronqué

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