Nombre tétraédrique

En arithmétique géométrique, un nombre tétraédrique, ou nombre pyramidal triangulaire, est un nombre figuré qui peut être représenté par une pyramide de base triangulaire, c'est-à-dire un tétraèdre, dont chaque couche représente un nombre triangulaire. Pour tout entier naturel n non nul, le n-ième nombre pyramidal triangulaire, somme des n premiers nombres triangulaires, est donc[1] :

${\displaystyle P_{n}^{(3)}={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}={n+2 \choose 3},}$

Le 5^e nombre tétraédrique est 15 + 10 + 6 + 3 + 1 = 35.

où ${\displaystyle {i \choose j}}$ est le symbole du coefficient binomial. Les nombres tétraédriques sont donc ceux de la quatrième colonne du triangle de Pascal.

Les dix premiers[2] sont 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165 et 220. Cette suite d'entiers, réduite modulo 2, est de période 4.

Les seuls nombres tétraédriques carrés sont[1]^,[3] P₁⁽³⁾ = 1 = 1², P₂⁽³⁾ = 4 = 2² et P₄₈⁽³⁾ = 19 600 = 140². Le seul nombre tétraédrique pyramidal carré est[1]^,[4] 1.