Matroïde

La définition originale de Whitney (Whitney 1935) est la suivante. Soient S un ensemble fini non vide et I une famille non vide de parties de S (les « indépendants »). Le couple (S, I) est appelé un matroïde s'il vérifie les deux axiomes suivants[2] :

• l'hérédité : pour tout ${\displaystyle X\in I}$, si ${\displaystyle Y\subseteq X}$ alors ${\displaystyle Y\in I}$.
• l'échange : si ${\displaystyle X\in I}$ et ${\displaystyle Y\in I}$, ${\displaystyle |X|<|Y|}$, alors ${\displaystyle \exists \ e\in Y\setminus X}$ tel que ${\displaystyle X\cup \{e\}\in I}$.

Une base est un indépendant maximal. L'axiome d'échange induit que tout ensemble maximal est maximum, et donc que toutes les bases ont même cardinal[2].

Un exemple est le matroïde uniforme : soient deux entiers non nuls n et k, on obtient un matroïde en prenant pour S un ensemble de n éléments quelconques et pour indépendants les sous-ensembles de cardinalité inférieure à k.

L'exemple le plus mathématiquement parlant de matroïde est donc un couple (S, I) où S correspond à l'ensemble des indices des colonnes d'une matrice sur un certain corps, et où I correspond à la collection des sous-ensembles d'indices correspondants aux vecteurs linéairement indépendants. De tels matroïdes sont dits représentables ou linéaires[2]. Il existe des matroïdes qui ne sont pas représentables. Les matroïdes représentables en n'utilisant que le corps à deux éléments sont dits binaires. Tutte et Whitney ont donné des caractérisations de ces matroïdes. Les matroïdes représentables sur n'importe quel corps sont dits réguliers. Tutte les a caractérisés.

Un matroïde graphique est un matroïde tel que S est en bijection avec les arêtes d'un graphe G et où un sous-ensemble de S est indépendant s'il forme une forêt dans G (sous-graphe acyclique). Les circuits (au sens de la théorie des matroïdes) correspondent alors aux circuits de G (au sens de la théorie des graphes). Les matroïdes graphiques sont binaires (il suffit de prendre la matrice d'incidence de G). Ils sont aussi réguliers (il suffit d'orienter arbitrairement G et de prendre la matrice d'incidence).

L'ensemble des coupes d'un graphe constitue l'ensemble des cycles d'un matroïde, que l'on appelle le matroïde cographique.

Un circuit est un ensemble dépendant minimal. Pour un matroïde graphique, il s'agit d'un cycle au sens usuel. Les circuits ont la propriété suivante : si ${\displaystyle S\in I}$ et ${\displaystyle e\in E}$ tel que ${\displaystyle S\cup {e}\notin I}$, alors il existe un unique circuit inclus dans ${\displaystyle S\cup {e}}$[2].

Comme en algèbre linéaire, on peut définir une notion de rang sur les parties de E dans un matroïde M[2]. ${\displaystyle r_{M}:2^{E}\mapsto \mathbb {N}$ :\max\{|Y|:Y\subseteq X,Y\in I\}} . Le rang d'un matroïde est une fonction sous-modulaire.

À tout matroïde on peut associer son polytope des indépendants dans l'espace à ${\displaystyle |S|}$ dimensions, qui est l'enveloppe convexe des vecteurs caractéristiques (dans {0,1} à la puissance S) de ses indépendants. Edmonds a montré que ce polytope peut être décrit par les inégalités linéaires de positivité et de rang. Plus précisément le polytope est :

${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} ^{|E|}:\forall S\subseteq E,\sum _{e\in S}x_{e}\leq r_{M}(S);\forall e\in Ex_{e}\geq 0\}.}$

Il existe plusieurs preuves de ce résultat[2]. On appelle polymatroïde, tout polytope qui est le polytope des indépendants d'un matroïde.

Les matroïdes sont précisément les couples (S, I) satisfaisant l'axiome d'hérédité tels que pour toute fonction associant un poids (un réel) à chaque élément de S l'algorithme glouton permet de déterminer un indépendant de poids maximum.

• Hassler Whitney, « On the abstract properties of linear dependence », American Journal of Mathematics, The Johns Hopkins University Press, vol. 57, n^o 3,‎ 1935, p. 509–533 (DOI 10.2307/2371182)

• Michel Goemans, « Lecture notes on matroid optimization », sur Massachusetts Institute of Technology, 2009

• Cryptomorphisme
• Antimatroïde (en)
• Matroïde orienté (en)

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