Méthodes d'Adams-Bashforth

Les méthodes d'Adams-Bashforth sont des méthodes de résolution numérique des équations différentielles, basées sur un schéma à pas multiple. Contrairement aux méthodes de Runge-Kutta qui n'utilisent qu'un pas mais nécessitent plusieurs calculs, les méthodes d'Adams-Bashforth permettent d'alléger les calculs tout en gardant un ordre similaire.

Description

Soit l'équation différentielle à résoudre : $y'=f(t,y)$

On considère une suite de temps $(t n)$ pour lesquelles on calcule les valeurs $(y n)$ . Pour cela, les méthodes usuelles utilisent un schéma utilisant une relation entre $y n$ et $t n$ pour le calcul de $y n +1$ . Les méthodes d'Adams-Bashforth vont quant à elles utiliser plusieurs valeurs $y n, y n -1,..., y n - r$ .

Soit $z$ une solution exacte de l'équation. On a alors : $z(t_{n+1})=z(t_{n})+\int _{t_{n}}^{t_{n+1}}f(t,y)\,\mathrm {d} t.$

Supposons que les points $(z (t n - i))$ et les pentes $(f n - i)=(f (t n - i, z (t n - i)))$ soient connues pour $0\leq i \leq r$ .

On calcule alors le polynôme d'interpolation de Lagrange de ces points : $P_{n,r}(t)=\sum _{i=0}^{r}f_{n-i}L_{n,i,r}(t),$ avec les polynômes de Lagrange suivants $L_{n,i,r}(t)=\prod _{0\leq j\leq r,j\neq i}{\frac {t-t_{n-j}}{t_{n-i}-t_{n-j}}}.$

On fait alors l'approximation : $z(t_{n+1})\simeq z(t_{n})+\int _{t_{n}}^{t_{n+1}}\sum _{i=0}^{r}f_{n-i}L_{n,i,r}(t)\,\mathrm {d} t=z(t_{n})+\sum _{i=0}^{r}f_{n-i}\int _{t_{n}}^{t_{n+1}}L_{n,i,r}(t)\,\mathrm {d} t.$

La méthode d'Adams-Bashforth à $r +1$ pas s'écrit donc : ${\begin{cases}y_{n+1}&=y_{n}+\Delta t_{n}\sum _{i=0}^{r}f_{n-i}b_{n,i,r}\\t_{n+1}&=t_{n}+\Delta t_{n}\\f_{n+1}&=f(t_{n+1},y_{n+1}).\end{cases}}$ avec $b_{n,i,r}={\frac {1}{t_{n+1}-t_{n}}}\int _{t_{n}}^{t_{n+1}}L_{n,i,r}(t)\,\mathrm {d} t.$

On remarque alors qu'à chaque étape, alors que les méthodes de Runge-Kutta demandaient plusieurs évaluations de f à chaque étape, les méthodes d'Adams-Bashforth n'en nécessitent qu'une seule[1].

Exemples

Le tableau suivant donne les valeurs des coefficients $b_{n,i,r}=\Delta t\ b_{i,r}$ dans le cas où le pas est constant :

$r$	$b_{0,r}$	$b_{1,r}$	$b_{2,r}$	$b_{3,r}$
0	1
1	${\tfrac {3}{2}}$	$-{\tfrac {1}{2}}$
2	${\tfrac {23}{12}}$	$-{\tfrac {16}{12}}$	${\tfrac {5}{12}}$
3	${\tfrac {55}{24}}$	$-{\tfrac {59}{24}}$	${\tfrac {37}{24}}$	$-{\tfrac {9}{24}}$

On reconnaît pour r=0 la méthode d'Euler.

Erreur de la méthode

On peut vérifier que l'erreur de consistance d'une méthode d'Adams-Bashforth à r+1 pas satisfait : $|e_{n}|=\left|z(t_{n+1})-y_{n+1}\right|\leq \max _{[t_{0},t_{0}+T]}|z^{(r+2)}|\cdot \Delta t_{n}\cdot \max _{n}(\Delta t_{n})^{r+1}$ Il s'agit donc d'une méthode d'ordre r+1, pour peu que les r premières valeurs soient calculées par une méthode de Runge-Kutta d'ordre suffisant.

La stabilité de la méthode est cependant assez médiocre :

Théorème — Si f est k-lipschitzienne en y et qu'il existe une constante β_r indépendante de n vérifiant : $\sum _{0}^{r}|b_{n,i,r}|\leq \beta _{r}$ alors la méthode d'Adams-Bashforth à r+1 pas est stable, de constante de stabilité $\exp(\beta _{r}kT).$

Cependant, les valeurs de β_r augmentent avec r. Dans la pratique, on se limitera au cas r=1 ou 2, ou il faudra alors envisager une méthode à pas variable.

Références

Jean-Pierre Demailly, Analyse numérique et équations différentielles, Les Ulis, EDP Sciences, coll. « Grenoble Sciences », 2006, 343 p. (ISBN 2-86883-891-X)

Voir aussi

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[1] Jean-Pierre Demailly, Analyse numérique et équations différentielles, Les Ulis, EDP Sciences, coll. « Grenoble Sciences », 2006, 343 p. (ISBN 2-86883-891-X)