Méthodes de Runge-Kutta

Les méthodes de Runge-Kutta sont des méthodes d'analyse numérique d'approximation de solutions d'équations différentielles. Elles ont été nommées ainsi en l'honneur des mathématiciens Carl Runge et Martin Wilhelm Kutta, lesquels élaborèrent la méthode en 1901.

Ces méthodes reposent sur le principe de l'itération, c'est-à-dire qu'une première estimation de la solution est utilisée pour calculer une seconde estimation, plus précise, et ainsi de suite.

Principe général

Considérons le problème suivant :

y'=f(t,y),\quad y(t_{0})=y_{0}

que l'on va chercher à résoudre en un ensemble discret $t 0 < t 1 < ... < t N$ . Plutôt que de chercher une méthode directe, les méthodes de Runge-Kutta proposent d'introduire les points intermédiaires $\{(t_{n,i},y_{n,i})\}_{1\leqslant i\leqslant q}$ afin de calculer par récurrence les valeurs $(t n, y n)$ avec

t_{n,i}=t_{n}+c_{i}\cdot h_{n}

où $h n = t n + 1 - t n$ est le pas de temps et $c i$ est dans l'intervalle $[0; 1]$ . Pour chaque point intermédiaire, on note la pente correspondante

p_{n,i}=f(t_{n,i},y_{n,i}).

Ainsi, pour une solution exacte $y$ du problème, on a

y(t_{n,i})=y(t_{n})+\int _{t_{n}}^{t_{n,i}}f(t,y(t))\mathrm {d} t=y(t_{n})+h_{n}\int _{0}^{c_{i}}f(t_{n}+uh_{n},y(t_{n}+uh_{n}))\mathrm {d} u,\,\forall i=1,\dotsc ,q,

y(t_{n+1})=y(t_{n})+\int _{t_{n}}^{t_{n+1}}f(t,y(t))\mathrm {d} t=y(t_{n})+h_{n}\int _{0}^{1}f(t_{n}+uh_{n},y(t_{n}+uh_{n}))\mathrm {d} u.

On calculera ces intégrales par une méthode de quadrature, qu'on peut choisir différentes pour deux valeurs distinctes de $i$ :

\int _{0}^{c_{i}}g(u)\mathrm {d} u\approx \sum _{k=1}^{i-1}a_{ik}g(c_{k}),\,\int _{0}^{1}g(u)\mathrm {d} u\approx \sum _{k=1}^{q}b_{k}g(c_{k}),

calculées ici pour $g (u) = f (t n + u h n, y (t n + u h n))$ .

La méthode de Runge-Kutta d'ordre $q$ sera donc donnée par :

\forall i=1,\dotsc ,q,{\begin{cases}t_{n,i}&=t_{n}+c_{i}h_{n},\\y_{n,i}&=y_{n}+h_{n}\sum _{k=1}^{i-1}a_{ik}p_{n,k}\\p_{n,i}&=f(t_{n,i},y_{n,i})\end{cases}}

y_{n+1}=y_{n}+h_{n}\sum _{k=1}^{q}b_{k}p_{n,k}.

On résume la méthode souvent par le tableau des différents poids de quadrature, appelé tableau de Butcher :

$c_{1}$
$c_{2}$	$a_{21}$
$c_{3}$	$a_{31}$	$a_{32}$
$\vdots$	$\vdots$		$\ddots$
$c_{q}$	$a_{q1}$	$a_{q2}$	$\cdots$	$a_{q,q-1}$
	$b_{1}$	$b_{2}$	$\cdots$	$b_{q-1}$	$b_{q}$

La méthode est consistante si $\forall i=2,\dotsc ,q,\sum _{k=1}^{i-1}a_{ik}=c_{i}$ .

Exemples

La méthode de Runge-Kutta d'ordre 1 (RK1)

Cette méthode est équivalente à la méthode d'Euler, une méthode simple de résolution d'équations différentielles du 1^er degré.

Considérons le problème suivant :

y'=f(t,y),\quad y(t_{0})=y_{0}

La méthode RK1 utilise l'équation

y_{n+1}=y_{n}+hf\left(t_{n},y_{n}\right)

où $h$ est le pas de l'itération. Le problème s'écrit donc :

	$0$	$0$
		$1$

La méthode de Runge-Kutta d'ordre 2 (RK2)

La méthode RK2 du point milieu est une composition de la méthode d'Euler :

$y_{n+1}=y_{n}+hf\left(t_{n}+{\frac {h}{2}},y_{n}+{\frac {h}{2}}f\left(t_{n},y_{n}\right)\right)$

où $h$ est le pas de l'itération.

Elle consiste à estimer la dérivée au milieu du pas d'intégration :

y_{n+{\frac {1}{2}}}=y_{n}+{\frac {h}{2}}f\left(t_{n},y_{n}\right)

y'_{n+{\frac {1}{2}}}=f\left(t_{n}+{\frac {h}{2}},y_{n+{\frac {1}{2}}}\right)

et à refaire le pas d'intégration complet à partir de cette estimation :

y_{n+1}=y_{n}+hy'_{n+{\frac {1}{2}}}.

Ce schéma est couramment appelé schéma prédicteur-correcteur explicite.

C'est le cas particulier pour $α = 1/2$ de la méthode plus générale :

$0$	$0$	$0$
$\alpha$	$\alpha$	$0$
	$1-{\tfrac {1}{2\alpha }}$	${\tfrac {1}{2\alpha }}$

On reconnait ainsi que la méthode de quadrature utilisée pour les temps intermédiaires est celle du point milieu.

C'est une méthode d'ordre 2 car l'erreur est de l'ordre de $h 3$ .

Un autre cas courant est la méthode de Heun, correspondant au cas $α = 1$ . La méthode de quadrature repose sur la méthode des trapèzes.

La méthode de Runge-Kutta classique d'ordre quatre (RK4)

C'est un cas particulier d'usage très fréquent, noté RK4.

Considérons le problème suivant :

y'=f(t,y),\quad y(t_{0})=y_{0}

La méthode RK4 est donnée par l'équation :

$y_{n+1}=y_{n}+{\frac {h}{6}}\left(k_{1}+2k_{2}+2k_{3}+k_{4}\right)$

où

k_{1}=f\left(t_{n},y_{n}\right)

k_{2}=f\left(t_{n}+{\frac {h}{2}},y_{n}+{\frac {h}{2}}k_{1}\right)

k_{3}=f\left(t_{n}+{\frac {h}{2}},y_{n}+{\frac {h}{2}}k_{2}\right)

k_{4}=f\left(t_{n}+h,y_{n}+hk_{3}\right)

L'idée est que la valeur suivante $(y n +1)$ est approchée par la somme de la valeur actuelle $(y n)$ et du produit de la taille de l'intervalle $(h)$ par la pente estimée. La pente est obtenue par une moyenne pondérée de pentes :

$k 1$ est la pente au début de l'intervalle ;
$k 2$ est la pente au milieu de l'intervalle, en utilisant la pente $k 1$ pour calculer la valeur de $y$ au point $t n + h /2$ par le biais de la méthode d'Euler ;
$k 3$ est de nouveau la pente au milieu de l'intervalle, mais obtenue cette fois en utilisant la pente $k 2$ pour calculer $y$ ;
$k 4$ est la pente à la fin de l'intervalle, avec la valeur de $y$ calculée en utilisant $k 3$ .

Dans la moyenne des quatre pentes, un poids plus grand est donné aux pentes au point milieu.

$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
${\tfrac {1}{2}}$	${\tfrac {1}{2}}$	$0$	$0$	$0$
${\tfrac {1}{2}}$	$0$	${\tfrac {1}{2}}$	$0$	$0$
$1$	$0$	$0$	$1$	$0$
	${\tfrac {1}{6}}$	${\tfrac {1}{3}}$	${\tfrac {1}{3}}$	${\tfrac {1}{6}}$

La méthode RK4 est une méthode d'ordre 4, ce qui signifie que l'erreur commise à chaque étape est de l'ordre de $h 5$ , alors que l'erreur totale accumulée est de l'ordre de $h 4$ .

Ces formules sont aussi valables pour des fonctions à valeurs vectorielles.

La méthode de Runge-Kutta d'ordre quatre avec dérivée seconde

Dans le cas $y''=f(t,y,y'),\quad y(t_{0})=y_{0},\quad y'(t_{0})=y'_{0}$ , nous pouvons décomposer le problème en un système d'équations :

\left\{{\begin{matrix}y'=g(t,y,z)\\z'=s(t,y,z)\end{matrix}}\right.

avec ici $y' = g (t, y, z) = z$ et $s = f$ .

En appliquant la méthode RK4 à chacune de ces équations, puis en simplifiant nous obtenons[1] :

k_{1}=f\left(t_{n},y_{n},y'_{n}\right)

k_{2}=f\left(t_{n}+{\frac {h}{2}},y_{n}+{\frac {h}{2}}y'_{n},y'_{n}+{\frac {h}{2}}k_{1}\right)

k_{3}=f\left(t_{n}+{\frac {h}{2}},y_{n}+{\frac {h}{2}}y'_{n}+{\frac {h^{2}}{4}}k_{1},y'_{n}+{\frac {h}{2}}k_{2}\right)

k_{4}=f\left(t_{n}+h,y_{n}+hy'_{n}+{\frac {h^{2}}{2}}k_{2},y'_{n}+hk_{3}\right)

On en déduit $y n + 1$ et $y' n + 1$ grâce à :

y_{n+1}=y_{n}+hy'_{n}+{\frac {h^{2}}{6}}\left(k_{1}+k_{2}+k_{3}\right)

y'_{n+1}=y'_{n}+{\frac {h}{6}}\left(k_{1}+2k_{2}+2k_{3}+k_{4}\right)

Stabilité des méthodes

En tant que méthodes à un pas et explicites, il convient de s'interroger sur leur stabilité. On peut montrer le résultat suivant[2] :

Supposons que $f$ est $k$ -lipschitzienne en $y$ . Soit $\alpha =\max _{i=1,\dotsc ,q}\sum _{k=1}^{i}|a_{ik}|.$ Les méthodes de Runge-Kutta sont stables sur $[0, T]$ , avec pour constante de stabilité $e Λ T$ , avec

$\Lambda =k\sum _{i=1}^{q}|b_{i}|\left(1+\alpha kh_{\max }+\ldots +(\alpha kh_{\max })^{q-1}\right).$

Références

Détail des calculs pour RK4 avec dérivée seconde
Jean-Pierre Demailly, Analyse numérique et équations différentielles [détail des éditions]

Article connexe

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[1] Détail des calculs pour RK4 avec dérivée seconde

[2] Jean-Pierre Demailly, Analyse numérique et équations différentielles [détail des éditions]