Méthode des volumes finis

On s'intéresse ici aux lois de conservation, dont la forme générale est la suivante :

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\mathrm {div} J=g,\qquad \forall (x,t)\in \Omega \times \mathbb {R} _{+}}$

à laquelle on ajoute des conditions aux limites et des conditions initiales, et où :

• ${\displaystyle \rho }$ (la densité) est l'inconnue ;
• ${\displaystyle J}$ le flux associé ;
• ${\displaystyle g}$ le terme source ;
• ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{d}}$.

De plus, J est de la forme suivante : ${\displaystyle J=F(x,t,\rho ,\nabla \rho )}$. On citera par exemple :

1. Le flux de convection / transport : ${\displaystyle J=v(x,t)f(\rho )}$, où :
   • ${\displaystyle v(x,t)\in \mathbb {R} ^{d}}$ le champ de vecteur donné ;
   • ${\displaystyle f:\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} }$.
2. Le flux de diffusion : ${\displaystyle J=-\kappa (x,t)\nabla \rho }$, où :
   • ${\displaystyle \kappa (x,t)\in \mathbb {R} }$ dans le cas classique ;
   • ${\displaystyle \kappa (x,t)\in {\mathcal {M}}_{d}(\mathbb {R} )}$ dans certains cas.
3. Le flux de convection et diffusion : ${\displaystyle J=v(x,t)f(\rho )-\kappa (x,t)\nabla \rho }$.

Soit ${\displaystyle \Omega }$ l'ensemble d'espace associé à l'équation aux dérivées partielles qui nous intéresse. On appelle volumes de contrôle les éléments de la suite ${\displaystyle \left(K_{i}\right)_{1\leqslant i\leqslant I}}$, cette suite définissant un maillage du domaine ${\displaystyle \Omega }$, soit vérifiant :

• ${\displaystyle K_{i}}$ un ouvert de ${\displaystyle \Omega }$ ;
• ${\displaystyle K_{i}\cap K_{j}=\varnothing ,\;\forall i\neq j}$ ;
• ${\displaystyle \cup _{i=1}^{I}{\overline {K_{i}}}={\overline {\Omega }}}$.

Dimension 1

Maillage d'un segment [A,B] pour la méthode des volumes finis.

Soit ${\displaystyle \Omega =]0,1[}$.

Les volumes de contrôle ${\displaystyle \left(K_{i}\right)_{1\leqslant i\leqslant I}}$ forment un maillage ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ de ${\displaystyle \Omega }$. En dimension 1, les volumes de contrôle sont des réunions d'intervalles ouverts. On considère par exemple ${\displaystyle K_{i}=\left]x_{i-{\frac {1}{2}}},x_{i+{\frac {1}{2}}}\right[}$ comme l'indique la figure ci-contre.

On note ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ l'ensemble des interfaces ${\displaystyle \left(x_{i+{\frac {1}{2}}}\right)_{0\leqslant i\leqslant I}}$, les extrémités des volumes de contrôle.

Pour finir, on choisit un point ${\displaystyle x_{i}}$ dans chaque volume de contrôle ${\displaystyle K_{i}}$ et l'on note ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ l'ensemble de ces points ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{1\leqslant i\leqslant I}}$ (on peut y ajouter les points ${\displaystyle x_{0}=0}$ et ${\displaystyle x_{I+1}=1}$).

Le maillage est donc la donnée ${\displaystyle ({\mathcal {T}},{\mathcal {E}},{\mathcal {P}})}$.

Le pas (taille) du maillage est toujours important dans un schéma numérique, il sera noté ${\displaystyle h}$ et l'on pose ${\displaystyle h=\max _{1\leqslant i\leqslant I}(x_{i+{\frac {1}{2}}}-x_{i-{\frac {1}{2}}})}$.

Dimension supérieure

Exemple d'un maillage triangulaire 2D.

On considère ${\displaystyle \Omega }$ un ouvert borné polyédrique de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ (polygonal si ${\displaystyle d=2}$).

${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ est toujours l'ensemble des volumes de contrôle ${\displaystyle \left(K_{i}\right)_{1\leqslant i\leqslant I}}$.

${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ est l'ensemble des arêtes ou faces (selon la dimension) du maillage. Soit ${\displaystyle \sigma \in {\mathcal {E}}}$, on a alors :

• soit ${\displaystyle {\overline {\sigma }}={\overline {K_{i}}}\cap {\overline {K_{j}}},\;i\neq j}$ : ${\displaystyle \sigma }$ est alors une arête intérieure (${\displaystyle \sigma \in {\mathcal {E}}_{int}}$) ;
• soit ${\displaystyle {\overline {\sigma }}\subset \partial \Omega }$ : ${\displaystyle \sigma }$ est alors une arête du bord (${\displaystyle \sigma \in {\mathcal {E}}_{ext}}$).

On se donne de même que précédemment, une suite de points ${\displaystyle {\mathcal {P}}=(x_{i})_{1\leqslant i\leqslant I},\;{\text{où}}\;x_{i}\in K_{i}}$.

Le maillage de ${\displaystyle \Omega }$ est la donnée ${\displaystyle ({\mathcal {T}},{\mathcal {E}},{\mathcal {P}})}$.

On pose ici, pour le pas, ${\displaystyle h=\max _{1\leqslant i\leqslant I}\mathrm {diam} (K_{i})}$.

Pour la méthode des volumes finis, et contrairement à la méthode des différences finies, les inconnues discrètes ne sont pas les extrémités des mailles, mais les inconnues sont situées à l'intérieur des mailles. L'ensemble de ces inconnues discrètes est l'ensemble ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ défini précédemment.

La solution approchée ${\displaystyle u_{\mathcal {T}}}$, avec la méthode des volumes finis, est une solution constante par maille, que l'on reconstruit de la manière suivante :

${\displaystyle u_{\mathcal {T}}(x)=\sum _{K}u_{K}1\!\!1_{K}(x).}$

L'espace des solutions approchées pour le maillage ${\displaystyle ({\mathcal {T}},{\mathcal {E}},{\mathcal {P}})}$ est :

${\displaystyle X({\mathcal {T}})=\left\{\left.u_{\mathcal {T}}(x)=\sum _{K}u_{K}1\!\!1_{K}(x)~\right|~K\in {\mathcal {T}},u_{K}\in \mathbb {R} \right\}.}$

Remarque

En règle générale, l'espace des solutions vérifie :

• ${\displaystyle X({\mathcal {T}})\subset \mathrm {L} ^{\infty }(\Omega )(\subset \mathrm {L} ^{p},\;\forall p\geqslant 1\;{\text{si}}\;\Omega \;{\text{est borné}})}$ ;
• ${\displaystyle X({\mathcal {T}})\not \subset \mathrm {H} ^{1}}$.

Normale sortante à K en sigma.

La méthode des volumes finis est utilisée pour discrétiser la partie spatiale des lois de conservation, la partie temporelle est quant à elle discrétisée par la méthode des différences finies. On considère donc ici seulement la partie spatiale, ce qui nous donne le système suivant :

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}\mathrm {div} (J)=g\quad {\text{sur}}\;\Omega ,\\J=F(x,t,u,\nabla u)\\\oplus \;{\text{Conditions Limites}}\end{array}}\right.}$

On considère un maillage ${\displaystyle ({\mathcal {T}},{\mathcal {E}},{\mathcal {P}})\;{\text{de}}\;\Omega }$. La méthode des volumes finis est basée sur l'intégration de l'EDP sur tous les volumes de contrôle du maillage.

On a, par le théorème de Stokes :

${\displaystyle \forall K\in {\mathcal {T}},\int _{K}g(x)\,\mathrm {d} x=\int _{K}\mathrm {div} (J)=\int _{\partial K}J\cdot n_{K}\,\mathrm {d} \gamma }$

On sait que : ${\displaystyle \partial K=\cup _{\sigma \in {\mathcal {E}}_{K}}\sigma ,\;{\text{où}}\;{\mathcal {E}}_{K}}$ est l'ensemble des arêtes du volume de contrôle ${\displaystyle K}$. d'où ${\displaystyle \sum _{\sigma \in {\mathcal {E}}_{K}}\int _{\sigma }J\cdot n_{K,\sigma }\,\mathrm {d} \gamma =\int _{K}g(x)\,\mathrm {d} x,}$ où ${\displaystyle n_{K,\sigma }}$ est la normale à ${\displaystyle \sigma }$ sortante de ${\displaystyle K.}$

On obtient le schéma volumes finis en faisant une approximation de la dernière égalité, ce qui donne :

${\displaystyle \sum _{\sigma \in {\mathcal {E}}_{K}}{\mathcal {F}}_{K,\sigma }=mes(K)g_{K},}$ avec :

• ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{K,\sigma }}$ une approximation de ${\displaystyle \int _{\sigma }J\cdot n_{K,\sigma }\,\mathrm {d} \gamma }$ ;
• ${\displaystyle g_{K}}$ une approximation de ${\displaystyle {\frac {1}{\mathrm {V} (K)}}\int _{K}g(x)\,\mathrm {d} x}$.

Les deux propriétés essentielles du flux numérique ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{K,\sigma }}$ pour que celui-ci soit une « bonne » approximation de ${\displaystyle \int _{\sigma }J\cdot n_{K,\sigma }\,\mathrm {d} \gamma }$, sont la conservativité et la consistance.

On cherche une solution classique du problème de Dirichlet suivant :

${\displaystyle ({\mathcal {P}})\left\{{\begin{array}{l}-u''(x)=f(x),\quad {\text{sur}}\;(0,1)\\u(0)=0=u(1)\end{array}}\right.}$

où ${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}([0,1],\mathbb {R} )}$.

On utilise le maillage pour la dimension 1 défini précédemment.

On aura besoin également des paramètres suivants :${\displaystyle h_{i}=m(K_{i})=x_{i+{\frac {1}{2}}}-x_{i-{\frac {1}{2}}}\;{\text{et}}\;h_{i+{\frac {1}{2}}}=x_{i+1}-x_{i},\quad \forall \,0\leqslant i\leqslant I}$.

En intégrant l'équation ${\displaystyle -u''=f\;{\text{sur}}\;K_{i}}$, on obtient l'égalité suivante :

${\displaystyle -u'(x_{i+{\frac {1}{2}}})+u'(x_{i-{\frac {1}{2}}})=\int _{x_{i-{\frac {1}{2}}}}^{x_{i+{\frac {1}{2}}}}f}$.

Le schéma volumes finis s'écrit alors :

${\displaystyle ({\mathcal {S}})\left\{{\begin{array}{l}{\mathcal {F}}_{i+{\frac {1}{2}}}-{\mathcal {F}}_{i-{\frac {1}{2}}}=h_{i}f_{i},\quad \forall \,1\leqslant i\leqslant I\\{\mathcal {F}}_{i+{\frac {1}{2}}}=-{\frac {u_{i+1}-u_{i}}{h_{i+{\frac {1}{2}}}}},\quad \forall \,0\leqslant i\leqslant I\\u_{0}=0=u_{I+1}\end{array}}\right.}$

avec ${\displaystyle f_{i}={\frac {1}{h_{i}}}\int _{x_{i-{\frac {1}{2}}}}^{x_{i+{\frac {1}{2}}}}f}$.

Ce schéma numérique ${\displaystyle ({\mathcal {S}})}$ est un système d'équations linéaires :

• ${\displaystyle I}$ inconnues : ${\displaystyle (u_{i})_{1\leqslant i\leqslant I}}$ ;
• ${\displaystyle I}$ équations.

On peut facilement mettre ce système sous forme matricielle : ${\displaystyle AU=B,\;U}$ est le vecteur des inconnues.

Attention

La consistance, la conservativité et l'unicité de la solution du schéma n'impliquent pas la convergence du schéma.

Remarque

Il existe des théorèmes de convergence du schéma si ${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}([0,1],\mathbb {R} )}$ ou si ${\displaystyle f\in \mathrm {L} ^{2}(0,1)}$.