Longueur de Debye

La longueur de Debye se pose dans la description thermodynamique des systèmes à grand nombre de charges mobiles. Dans un système de N différentes espèces de charges, la ${\displaystyle j}$-ième espèce porte la charge ${\displaystyle q_{j}}$ et a une concentration ${\displaystyle n_{j}(\mathbf {r} )}$ à la position ${\displaystyle \mathbf {r} }$. D'après le dénommé "primitive model", ces charges sont réparties dans un milieu continu qui est caractérisé seulement par sa permittivité relative statique ${\displaystyle \varepsilon _{r}}$. La répartition des charges dans le milieu est donnée par un potentiel électrique ${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )}$ qui satisfait l'équation de Poisson:

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} )=-{\frac {1}{\varepsilon _{r}\varepsilon _{0}}}\,\sum _{j=1}^{N}q_{j}\,n_{j}(\mathbf {r} )}$,

où ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ est la permittivité diélectrique du vide.

Ces charges mobiles créent aussi un mouvement en réponse à la force de Coulomb associée ${\displaystyle -q_{j}\,\nabla \Phi (\mathbf {r} )}$. La concentration de la ${\displaystyle j}$-ième espèce de charge est décrite par la distribution de Boltzmann:

${\displaystyle n_{j}(\mathbf {r} )=n_{j}^{0}\,\exp \left(-{\frac {q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )}{k_{B}T}}\right)}$,

où ${\displaystyle k_{B}}$ est la constante de Boltzmann et ${\displaystyle n_{j}^{0}}$ est la concentration moyenne de charge de l'espèce j.

En identifiant les concentrations instantanées et le champ moyen dans ces deux équations, cela donne l'équation de Poisson-Boltzmann.

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} )=-{\frac {1}{\varepsilon _{r}\varepsilon _{0}}}\,\sum _{j=1}^{N}q_{j}n_{j}^{0}\,\exp \left(-{\frac {q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )}{k_{B}T}}\right)}$.

Une solution peut être trouvée pour les systèmes à hautes températures lorsque ${\displaystyle q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )\ll k_{B}T}$ par un développement en série de Taylor de la fonction exponentielle:

${\displaystyle \exp \left(-{\frac {q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )}{k_{B}T}}\right)\approx 1-{\frac {q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )}{k_{B}T}}}$.

Cette approximation donne l'équation de Poisson-Boltzmann linéarisée

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} )=\left(\sum _{j=1}^{N}{\frac {n_{j}^{0}\,q_{j}^{2}}{\varepsilon _{r}\varepsilon _{0}\,k_{B}T}}\right)\,\Phi (\mathbf {r} )-{\frac {1}{\varepsilon _{r}\varepsilon _{0}}}\,\sum _{j=1}^{N}n_{j}^{0}q_{j}}$

qui est aussi connue sous le nom d'équation de Debye-Hückel. Le second terme de la partie droite disparaît pour les systèmes électriquement neutres. Le terme entre parenthèses est homogène à l'inverse d'une longueur au carré et donne la longueur caractéristique :

${\displaystyle \lambda _{D}=\left({\frac {\varepsilon _{r}\varepsilon _{0}\,k_{B}T}{\sum _{j=1}^{N}n_{j}^{0}\,q_{j}^{2}}}\right)^{1/2}}$

Dans l'espace, la densité d'électrons dans les plasmas est relativement faible, ce qui permet d'obtenir les ordres de grandeurs macroscopiques pour la longueur de Debye (voir table) :

où:

${\displaystyle \lambda _{\mathrm {D} }}$ est la longueur de Debye,

${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ est la permittivité du vide,

${\displaystyle k_{\mathrm {B} }}$ est la constante de Boltzmann,

${\displaystyle q_{\mathrm {e} }}$ est la charge d'un électron,

${\displaystyle T_{\mathrm {e} }}$ et ${\displaystyle T_{\mathrm {i} }}$ sont respectivement les températures des électrons et des ions,

${\displaystyle n_{\mathrm {e} }}$ est la densité d'électrons,

${\displaystyle n_{\mathrm {ij} }}$ est la densité d'atomes ${\displaystyle i}$ ayant une charge ${\displaystyle jq_{\mathrm {e} }}$

Le terme ionique est souvent négligé (lorsque la température des ions est négligeable devant celle des électrons}. La formule se simplifie alors en :

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