Longueur d'onde thermique de de Broglie

D'après le principe de la dualité onde-corpuscule, une particule possédant une quantité de mouvement ${\displaystyle p}$ est associée à une onde de longueur d'onde :

${\displaystyle \lambda ={\frac {h}{p}}}$

${\displaystyle h}$ étant la constante de Planck.

D'après le théorème d'équipartition de l'énergie, pour un gaz porté à une température ${\displaystyle T}$, l'énergie cinétique classique moyenne ${\displaystyle E_{c}^{c}}$ d'une particule avec ${\displaystyle N}$ degrés de liberté est :

${\displaystyle E_{k}^{c}={\frac {N}{2}}k_{\rm {B}}T}$

où ${\displaystyle k_{\rm {B}}}$ est la constante de Boltzmann.

La relation entre l'énergie cinétique et la quantité de mouvement d'une particule libre non relativiste de masse ${\displaystyle m}$ étant :

${\displaystyle E={\frac {p^{2}}{2m}}}$

on peut alors calculer l'impulsion moyenne ${\displaystyle p}$ d'une particule :

${\displaystyle p={\sqrt {Nmk_{\rm {B}}T}}}$

La longueur d'onde thermique de De Broglie ${\displaystyle \lambda _{\rm {th}}^{c}}$ d'une particule massique ayant trois degrés de liberté devient alors :

${\displaystyle \lambda _{\rm {th}}^{c}={\frac {h}{\sqrt {3mk_{\mathrm {B} }T}}}={\frac {2\pi \hbar }{\sqrt {3mk_{\mathrm {B} }T}}}}$

selon que l'on utilise la constante de Planck ${\displaystyle h}$ ou la constante de Planck réduite (${\displaystyle \hbar }$).

Dans la théorie quantique, la relation entre l'énergie cinétique quantique ${\displaystyle E_{c}^{q}}$ et l'impulsion est telle que :

${\displaystyle E_{c}^{q}=\pi k_{\rm {B}}T}$

et la longueur d'onde de De Broglie devient alors :

${\displaystyle \lambda _{\rm {th}}^{q}={\frac {h}{\sqrt {2\pi mk_{\rm {B}}T}}}=\hbar {\sqrt {\frac {2\pi }{mk_{\rm {B}}T}}}}$

Le facteur numérique ${\displaystyle 1/{\sqrt {2\pi }}}$ apparaît a priori arbitraire (il ne correspond pas à la longueur d'onde de De Broglie telle que définie d'ordinaire), et est défini conventionnellement à cette valeur.