Loi de Fréchet

En théorie des probabilités et en statistique, la loi de Fréchet est un cas particulier de loi d'extremum généralisée au même titre que la loi de Gumbel ou la loi de Weibull.

Loi de Fréchet
Densité de probabilité


Fonction de répartition

Paramètres	$\alpha \in ]0,\infty [$ paramètre de forme. (deux paramètres optionnels) $s\in ]0,\infty [$ paramètre d'échelle (par défaut : $s=1\,$ ) $m\in ]-\infty ,\infty [$ paramètre de position du minimum (par défaut : $m=0\,$ )
Support	$x>m$
Densité de probabilité	${\frac {\alpha }{s}}\;\left({\frac {x-m}{s}}\right)^{-1-\alpha }\;e^{-({\frac {x-m}{s}})^{-\alpha }}$
Fonction de répartition	$e^{-({\frac {x-m}{s}})^{-\alpha }}$
Espérance	${\begin{cases}\ m+s\Gamma \left(1-{\frac {1}{\alpha }}\right)&{\text{pour }}\scriptstyle \alpha >1\\\ \infty &{\text{sinon}}\end{cases}}$
Médiane	$m+{\frac {s}{\sqrt[{\alpha }]{\log _{e}(2)}}}$
Mode	$m+s\left({\frac {\alpha }{1+\alpha }}\right)^{1/\alpha }$
Variance	${\begin{cases}\scriptstyle s^{2}\left(\Gamma \left(1-{\frac {2}{\alpha }}\right)-\left(\Gamma \left(1-{\frac {1}{\alpha }}\right)\right)^{2}\right)&{\text{pour }}\scriptstyle \alpha >2\\\ \infty &{\text{sinon}}\end{cases}}$
Asymétrie	voir l'article
Kurtosis normalisé	voir l'article
Entropie	$1+{\frac {\gamma }{\alpha }}+\gamma +\ln \left({\frac {s}{\alpha }}\right)$ , où $\gamma$ est la constante d'Euler-Mascheroni.
Fonction génératrice des moments	le k-ième moment existe[1] si $\alpha >k$
Fonction caractéristique	voir Muraleedharan, Soares & Lucas (2011)[1]

Le nom de cette loi est dû à Maurice Fréchet, auteur d'un article à ce sujet en 1927. Des travaux ultérieurs ont été réalisés par Ronald Aylmer Fisher et L. H. C. Tippett en 1928 et par Emil Julius Gumbel en 1958.

Définition

Sa fonction de répartition est donnée par :

\mathbb {P} (X\leq x)={\begin{cases}e^{-x^{-\alpha }}&{\text{ si }}x>0\\0&{\text{ sinon}}\end{cases}}

où $\alpha >0$ est un paramètre de forme. Cette loi peut être généralisée en introduisant un paramètre de position m du minimum et un paramètre d'échelle s>0. La fonction de répartition est alors :

\mathbb {P} (X\leq x)={\begin{cases}e^{-\left({\frac {x-m}{s}}\right)^{-\alpha }}&{\text{ si }}x>m\\0&{\text{ sinon.}}\end{cases}}

Propriétés

Moments

La loi de Fréchet à un paramètre $\alpha$ a des moments standards :

\mu _{k}=\int _{0}^{\infty }x^{k}f(x)dx=\int _{0}^{\infty }t^{-{\frac {k}{\alpha }}}e^{-t}dt

,

(avec $t=x^{-\alpha }$ ) définis pour $k<\alpha$ :

\mu _{k}=\Gamma \left(1-{\frac {k}{\alpha }}\right)

où $\Gamma \left(z\right)$ est la fonction Gamma.

En particulier :

Pour $\alpha >1$ l'espérance est $\mathbb {E} [X]=\Gamma (1-{\tfrac {1}{\alpha }})$
Pour $\alpha >2$ la variance est ${\text{Var}}(X)=\Gamma (1-{\tfrac {2}{\alpha }})-{\big (}\Gamma (1-{\tfrac {1}{\alpha }}){\big )}^{2}$ .

Quantiles

Le quantile $q_{y}$ d'ordre $y$ peut être exprimé grâce à l'inverse de la fonction de répartition :

q_{y}=F^{-1}(y)=\left(-\log _{e}y\right)^{-{\frac {1}{\alpha }}}

.

En particulier la médiane est :

q_{1/2}=(\log _{e}2)^{-{\frac {1}{\alpha }}}

.

Le mode de la loi de Fréchet est $\left({\frac {\alpha }{\alpha +1}}\right)^{\frac {1}{\alpha }}$ .

Pour la loi de Fréchet à trois paramètres, le premier quartile est $q_{1}=\scriptstyle m+{\frac {s}{\sqrt[{\alpha }]{\log(4)}}}$ et le troisième quartile est $q_{3}=\scriptstyle m+{\frac {s}{\sqrt[{\alpha }]{\log({\frac {4}{3}})}}}$ .

Asymétrie et kurtosis

L'asymétrie de la loi de Fréchet est :

{\begin{cases}\ {\frac {\Gamma \left(1-{\frac {3}{\alpha }}\right)-3\Gamma \left(1-{\frac {2}{\alpha }}\right)\Gamma \left(1-{\frac {1}{\alpha }}\right)+2\Gamma ^{3}\left(1-{\frac {1}{\alpha }}\right)}{\sqrt {\left(\Gamma \left(1-{\frac {2}{\alpha }}\right)-\Gamma ^{2}\left(1-{\frac {1}{\alpha }}\right)\right)^{3}}}}&{\text{pour }}\alpha >3\\\ \infty &{\text{sinon}}\end{cases}}

le kurtosis est :

{\begin{cases}\ -6+{\frac {\Gamma \left(1-{\frac {4}{\alpha }}\right)-4\Gamma \left(1-{\frac {3}{\alpha }}\right)\Gamma \left(1-{\frac {1}{\alpha }}\right)+3\Gamma ^{2}\left(1-{\frac {2}{\alpha }}\right)}{\left[\Gamma \left(1-{\frac {2}{\alpha }}\right)-\Gamma ^{2}\left(1-{\frac {1}{\alpha }}\right)\right]^{2}}}&{\text{pour }}\alpha >4\\\ \infty &{\text{sinon}}\end{cases}}

Applications

Loi de Fréchet utilisée pour modéliser des précipitations extrêmes.

En hydrologie, la loi de Fréchet s'utilise pour des évènements extrêmes tels que le maximum annuel des précipitations journalières ou le débit des rivières[2]. La figure bleue illustre un exemple applicable de loi de Fréchet du maximum annuel des précipitations journalières en Oman, montrant également la bande de confiance de 90 % basée sur la loi binomiale.

Liens avec d'autres lois

Si $X\sim U(0,1)\,$ (loi uniforme continue) alors $m+s(-\log(X))^{-1/\alpha }\sim {\textrm {Frechet}}(\alpha ,s,m)\,$
Si $X\sim {\textrm {Frechet}}(\alpha ,s,m)\,$ alors $kX+b\sim {\textrm {Frechet}}(\alpha ,ks,km+b)\,$
Si $X_{i}={\textrm {Frechet}}(\alpha ,s,m)\,$ et $Y=\max\{\,X_{1},\ldots ,X_{n}\,\}\,$ alors $Y\sim {\textrm {Frechet}}(\alpha ,n^{\tfrac {1}{\alpha }}s,m)\,$
Si $X\sim {\textrm {Weibull}}(k=\alpha ,\lambda =m)\,$ (loi de Weibull) alors ${\tfrac {m^{2}}{X}}\sim {\textrm {Frechet}}(\alpha ,s,m)\,$

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Fréchet distribution » (voir la liste des auteurs).

(en) G. Muraleedharan, C. Guedes Soares et Cláudia Lucas, chap. 14 « Characteristic and Moment Generating Functions of Generalised Extreme Value Distribution (GEV) », dans Linda L. Wright, Sea Level Rise, Coastal Engineering, Shorelines and Tides, Nova Science Publishers, 2011 (ISBN 978-1-61728-655-1), p. 269-276/
(en) Stuart Coles, An Introduction to Statistical Modeling of Extreme Values, Londres, Springer-Verlag, 2001, 2^e éd., 208 p. (ISBN 978-1-85233-459-8, lire en ligne).

Voir aussi

Bibliographie

M. Fréchet, « Sur la loi de probabilité de l'écart maximum », Ann. Soc. Polon. Math., vol. 6, n^o 3, 1927
(en) R. A. Fisher et L. H. C. Tippett, « Limiting forms of the frequency distribution of the largest and smallest member of a sample », Proc. Cambridge Phil. Soc., vol. 24, 1928, p. 180-190
(en) E. J. Gumbel, Statistics of Extremes, Columbia University Press, New York, 1958
(en) S. Kotz et S. Nadarajah, Extreme Value Distributions: Theory and Applications, World Scientific, 2000 (ISBN 1860942245)

Liens externes

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[R1-1] (en) G. Muraleedharan, C. Guedes Soares et Cláudia Lucas, chap. 14 « Characteristic and Moment Generating Functions of Generalised Extreme Value Distribution (GEV) », dans Linda L. Wright, Sea Level Rise, Coastal Engineering, Shorelines and Tides, Nova Science Publishers, 2011 (ISBN 978-1-61728-655-1), p. 269-276/

[Coles1-2] (en) Stuart Coles, An Introduction to Statistical Modeling of Extreme Values, Londres, Springer-Verlag, 2001, 2^e éd., 208 p. (ISBN 978-1-85233-459-8, lire en ligne).