Lemme d'Itō

La formule d'Itô a été démontrée pour la première fois par le mathématicien japonais Kiyoshi Itō dans les années 1940.

Le mathématicien Wolfgang Doeblin avait de son côté ébauché une théorie similaire avant de se suicider à la défaite de son bataillon en juin 1940. Ses travaux furent envoyés dans un pli cacheté à l'Académie des sciences qui ne fut ouvert qu'en 2000.

Soit un processus d'Itō ${\displaystyle X_{t}\ ,}$ processus stochastique de la forme

${\displaystyle X_{t}=X_{0}+\int _{0}^{t}\mu _{s}\,\mathrm {d} s+\int _{0}^{t}\sigma _{s}\,\mathrm {d} B_{s},}$

autrement formulé, on a

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=\mu _{t}\,\mathrm {d} t+\sigma _{t}\,\mathrm {d} B_{t}}$

avec ${\displaystyle {\mathcal {}}\mu _{t}}$ et ${\displaystyle {\mathcal {}}\sigma _{t}}$ deux processus aléatoires satisfaisant quelques hypothèses techniques d'adaptation au processus ${\displaystyle B_{t}\ }$ (mouvement brownien).

Si ${\displaystyle f(X_{t},t)\ }$ est une fonction de classe ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{2}(\mathbb {R} \times \mathbb {R} _{+},\mathbb {R} ),\ }$ alors la formule d'Itō s'écrit

${\displaystyle \mathrm {d} (f(X_{t},t))={\frac {\partial f}{\partial t}}(X_{t},t)\mathrm {d} t+{\frac {\partial f}{\partial x}}(X_{t},t)\mathrm {d} X_{t}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(X_{t},t)\sigma _{t}^{2}\mathrm {d} t.}$

Le mouvement brownien géométrique est souvent utilisé en finance comme le plus simple modèle d'évolution de cours de bourse. Il s'agit de la solution de l'équation différentielle stochastique :

${\displaystyle \mathrm {d} S_{t}=\mu S_{t}\,\mathrm {d} t+\sigma S_{t}\,\mathrm {d} B_{t}\,}$

où

• ${\displaystyle S_{t}\,}$ est le prix de l'action sous-jacente,
• ${\displaystyle {\mathcal {}}\mu }$ (constant) est le taux de dérive (en) du prix de l'action,
• ${\displaystyle {\mathcal {}}\sigma }$ (constante) est la volatilité du prix de l'action,
• ${\displaystyle B_{t}\,}$ est un mouvement brownien.

Si ${\displaystyle \sigma =0\ ,}$ alors nous sommes face à une équation différentielle ordinaire dont la solution est

${\displaystyle S_{t}=S_{0}\exp \left(\mu t\right).}$

En posant ${\displaystyle f(S_{t},t)=\ln S_{t}\ ,}$ on obtient grâce à la formule d'Itô :

${\displaystyle {\begin{aligned}d(\ln S_{t})&=0dt+{\dfrac {1}{S_{t}}}dS_{t}+{\dfrac {1}{2}}\left(-{\dfrac {1}{S_{t}^{2}}}\right)(\sigma S_{t})^{2}dt,\\&={\dfrac {1}{S_{t}}}(\mu S_{t}\,dt+\sigma S_{t}\,dB_{t})-{\dfrac {1}{2}}\sigma ^{2}dt,\\&=\left(\mu -{\dfrac {1}{2}}\sigma ^{2}\right)dt+\sigma dB_{t}.\end{aligned}}}$

On peut alors intégrer et il en découle que :

${\displaystyle S_{t}=S_{0}\exp \left(\sigma B_{t}+\mu t-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t\right).}$

• La formule d'Itō est l'une des pierres angulaires du calcul stochastique, et est utilisée dans de très nombreux domaines : mathématiques appliquées, physique, finance, biologie, mécanique quantique, traitement du signal, etc.

En calcul stochastique,

• Elle permet de faire le lien entre les solutions d'EDS et des opérateurs différentiels du second ordre, et donc entre la théorie des probabilités et celle des équations aux dérivées partielles.

• Elle permet d'affirmer l'existence de solutions d'EDS sous des conditions (très) faibles de régularité sur les coefficients.