K-arbre

En théorie des graphes, un k- arbre est un type de graphe non orienté. Un graphe est un k-arbre si il peut être obtenu de la manière suivante : on part du graphe complet à ( k + 1) sommets, puis on ajoute des sommets tel que, pour un sommet v ajouté, v a exactement k voisins dans le graphe au moment de l'ajout, et ces voisins forment une clique[1]^,[2].

Le graphe de Goldner–Harary est un exemple d'un 3-arbre planaire.

Caractérisations

Les k-arbres sont exactement les graphes de largeur arborescente donnée, maximaux au sens que l'on ne peut pas ajouter d'arêtes sans augmenter leur largeur arborescente[3]. Ce sont aussi exactement les graphes cordaux dont toutes les cliques maximales ont la même taille k + 1 et dont tous les séparateurs de cliques minimaux ont également tous la même taille k .

Classes de graphes associées

Les 1-arbres sont les arbres non enracinés. Les 2-arbres sont les graphes série-parallèles maximaux, et également les graphes planaires externes maximaux. Les 3-arbres planaires sont également connus sous le nom de réseaux apolliniens[4]. Les graphes qui ont une largeur arborescente au plus k sont exactement les sous-graphes des k-arbres, et pour cette raison ils sont appelés k-arbres partiels (en)[2].

Les graphes formés par les arêtes et les sommets de polytopes empilés de dimension k (qui sont des polytopes formés en partant d'un simplexe puis en collant à plusieurs reprises des simplexes sur les faces du polytope) sont des k-arbres lorsque k ≥ 3[5]. Ce processus de collage imite la construction de k-arbres en ajoutant des sommets à une clique[6]. Un k-arbre est le graphe d'un polytope empilé si et seulement s'il n'existe pas trois cliques de k + 1) sommets qui ont k sommets en commun[7].

Notes et références

(en) H. P. Patil, « On the structure of k-trees », Journal of Combinatorics, Information and System Sciences, vol. 11, n^os 2-4,‎ 1986, p. 57–64 (Math Reviews 966069).
(en) Jaroslav Nešetřil et Patrice Ossona de Mendez, « Structural Properties of Sparse Graphs », dans Martin Grötschel et Gyula O. H. Katona (éditeurs), Building Bridges: between Mathematics and Computer Science, Springer-Verlag, coll. « Bolyai Society Mathematical Studies » (n^o 19), 2008 (ISBN 978-3-540-85218-6, lire en ligne), p. 390.
(en) Frank Hwang, Dana Richards et Pawel Winter, « Polynomially Solvable Cases », dans The Steiner Tree Problem, vol. 53, Elsevier, coll. « Annals of Discrete Mathematics (North-Holland Mathematics Studies) », 1992 (ISBN 978-0-444-89098-6), p. 177.
(en) Olivier Bodini, Alexis Darrasse et Michèle Soria, « Distances in random Apollonian network structures », 20th Annual International Conference on Formal Power Series and Algebraic Combinatorics (FPSAC2008), Viña del Mar, Chile,‎ juin 2008, p. 307-318 (HAL hal-00345749, lire en ligne, consulté le 25 octobre 2020).
(en) Etan Koch et Micha A. Perles, « Covering efficiency of trees and k-trees », dans Proceedings of the Seventh Southeastern Conference on Combinatorics, Graph Theory, and Computing (Louisiana State Univ., Baton Rouge, La., 1976), Utilitas Math., Winnipeg, Man., coll. « Congressus Numerantium » (n^o XVII), 1976 (Math Reviews 0457265), p. 391–420. Congressus Numerantium, No. XVII.
(en) Alexander Below, Jesús A. De Loera et Jürgen Richter-Gebert, « The complexity of finding small triangulations of convex 3-polytopes », Journal of Algorithms, vol. 50, n^o 2,‎ 2004, p. 134–167 (DOI 10.1016/S0196-6774(03)00092-0).
(de) Peter Kleinschmidt, « Eine graphentheoretische Kennzeichnung der Stapelpolytope », Archiv der Mathematik, vol. 27, n^o 1,‎ 1976, p. 663–667 (DOI 10.1007/BF01224736).

Bibliographie additionnelle

(en) Marta Borowiecka-Olszewska, Ewa Drgas-Burchardt et Mariusz Hałuszczak, « On the structure and deficiency of k-trees with bounded degree », Discrete Applied Mathematics, vol. 201,‎ 2016, p. 24–37 (ISSN 0166-218X, DOI 10.1016/j.dam.2015.08.008)
(en) Marta Borowiecka et H. P. Patil, « Colourings of (k−r,k)-trees », Opuscula Math., vol. 37, n^o 4,‎ 2017, p. 491-500 (Math Reviews 3647795).

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[patil-1] (en) H. P. Patil, « On the structure of k-trees », Journal of Combinatorics, Information and System Sciences, vol. 11, n^os 2-4,‎ 1986, p. 57–64 (Math Reviews 966069).

[bridges-2] (en) Jaroslav Nešetřil et Patrice Ossona de Mendez, « Structural Properties of Sparse Graphs », dans Martin Grötschel et Gyula O. H. Katona (éditeurs), Building Bridges: between Mathematics and Computer Science, Springer-Verlag, coll. « Bolyai Society Mathematical Studies » (n^o 19), 2008 (ISBN 978-3-540-85218-6, lire en ligne), p. 390.

[3] (en) Frank Hwang, Dana Richards et Pawel Winter, « Polynomially Solvable Cases », dans The Steiner Tree Problem, vol. 53, Elsevier, coll. « Annals of Discrete Mathematics (North-Holland Mathematics Studies) », 1992 (ISBN 978-0-444-89098-6), p. 177.

[4] (en) Olivier Bodini, Alexis Darrasse et Michèle Soria, « Distances in random Apollonian network structures », 20th Annual International Conference on Formal Power Series and Algebraic Combinatorics (FPSAC2008), Viña del Mar, Chile,‎ juin 2008, p. 307-318 (HAL hal-00345749, lire en ligne, consulté le 25 octobre 2020).

[5] (en) Etan Koch et Micha A. Perles, « Covering efficiency of trees and k-trees », dans Proceedings of the Seventh Southeastern Conference on Combinatorics, Graph Theory, and Computing (Louisiana State Univ., Baton Rouge, La., 1976), Utilitas Math., Winnipeg, Man., coll. « Congressus Numerantium » (n^o XVII), 1976 (Math Reviews 0457265), p. 391–420. Congressus Numerantium, No. XVII.

[BelowDe_Loera2004-6] (en) Alexander Below, Jesús A. De Loera et Jürgen Richter-Gebert, « The complexity of finding small triangulations of convex 3-polytopes », Journal of Algorithms, vol. 50, n^o 2,‎ 2004, p. 134–167 (DOI 10.1016/S0196-6774(03)00092-0).

[7] (de) Peter Kleinschmidt, « Eine graphentheoretische Kennzeichnung der Stapelpolytope », Archiv der Mathematik, vol. 27, n^o 1,‎ 1976, p. 663–667 (DOI 10.1007/BF01224736).