Graphe (mathématiques discrètes)

Un graphe avec trois sommets et trois arêtes.

Dans un sens restreint mais très répandu du terme[4]^,[5], un graphe est un couple G = (V, E) comprenant

• V un ensemble de sommets (aussi appelés nœuds ou points) ;
• E ⊆ {{x, y} | (x, y) ∈ V² ∧ x ≠ y} un ensemble d'arêtes (aussi appelées liens, ou lignes), qui sont des paires de sommets (c.-à-d. qu'une arête est associée à deux sommets distincts).

Pour lever toute ambiguïté, ce type d'objet peut être appelé précisément un graphe simple non orienté.

Dans l'arête {x, y}, les sommets x et y sont appelés les extrémités ou les sommets extrêmes de l'arête. On dit que l'arête joint x et y et est incidente sur x et sur y. Un sommet peut exister dans un graphe sans arête incidente. Une boucle est une arête qui joint un sommet à lui-même. Les arêtes multiples sont deux arêtes ou plus qui joignent les mêmes deux sommets.

Dans un sens plus général du terme autorisant les arêtes multiples[6]^,[7], un graphe est un triplet G = (V, E, ϕ) comprenant

• V un ensemble de sommets (aussi appelés nœuds ou points) ;
• E un ensemble d'arêtes (aussi appelés liens ou lignes) ;
• ϕ: E → {{x, y} | (x, y) ∈ V² ∧ x ≠ y} une fonction d'incidence associant à chaque arête une paire de sommets (c.-à-d. qu'une arête est associée à deux sommets distincts).

Pour lever toute ambiguïté, ce type d'objet peut être appelé précisément un multigraphe non orienté.

Les graphes tels que définis dans les deux définitions précédentes ne peuvent pas avoir de boucles, car une boucle joignant un sommet x est l'arête (pour un graphe simple non orienté) ou est incidente sur (pour un multigraphe non orienté) {x, x} = {x} qui n'est pas dans {{x, y} | (x, y) ∈ V² ∧ x ≠ y}. Ainsi pour autoriser les boucles les définitions doivent être étendues. Pour les graphes simples non orientés, E ⊆ {{x, y} | (x, y) ∈ V² ∧ x ≠ y} doit devenir E ⊆ {{x, y} | (x, y) ∈ V²}. Pour les multigraphes non orientés, ϕ: E → {{x, y} | (x, y) ∈ V² ∧ x ≠ y} doit devenir ϕ: E → {{x, y} | (x, y) ∈ V²}. Pour lever toute ambiguïté, ces types d'objets peuvent être appelés précisément un graphe simple non orienté avec boucles et un multigraphe non orienté avec boucles respectivement.

V et E sont en général supposés finis, et de nombreux résultats cessent d'être vrais (ou ont des énoncés différents) pour des graphes infinis parce que certains arguments de preuve ne se transposent pas au cas infini. De plus, V est souvent supposé non vide, mais E peut être l'ensemble vide.

L'ordre d'un graphe |V| est son nombre de sommets. La taille d'un graphe est |E|, son nombre d'arêtes. Le degré ou la valence d'un sommet est le nombre d'arêtes incidentes à ce sommet, où une boucle compte double.

Dans un graphe simple non orienté d'ordre n, le degré maximum d'un sommet est n − 1 et la taille maximale du graphe est n(n − 1)/2.

Les arêtes E d'un graphe non orienté G induisent une relation binaire symétrique ~ sur V appelée le relation d'adjacence de G. Spécifiquement, pour chaque arête {x, y}, ses sommets extrêmes x et y sont dits adjacents l'un l'autre, ce qui est noté x ~ y.

Un graphe orienté avec trois sommets et quatre arêtes.

Un graphe orienté est un graphe dans lequel les arêtes possèdent une orientation.

Dans un sens restreint mais très répandu du terme[8], un graphe orienté est un couple G = (V, A) (parfois G = (V, E)) comprenant

• V un ensemble de sommets (aussi appelés nœuds ou points) ;
• A ⊆ {(x, y) | (x, y) ∈ V² ∧ x ≠ y} un ensemble de flèches (aussi appelées arêtes orientées — parfois simplement arêtes avec l'ensemble correspondant nommé E au lieu de A —, liens orientés ou lignes orientées), qui sont des couples de sommets distincts (c.-à-d. une flèche est associée à deux sommets distincts).

Pour lever toute ambiguïté, ce type d'objet peut être appelé précisément un graphe simple orienté.

Dans la flèche (x, y) orientée de x vers y, x est appelé la queue de la flèche et y la tête de la flèche. La flèche (y, x) est appelée la flèche inverse de (x, y).

Dans un sens plus général du terme autorisant les flèches multiples[6]^,[7], un graphe orienté est un triplet G = (V, A, ϕ) (parfois G = (V, E, ϕ)) comprenant

• V un ensemble de sommets (aussi appelés nœuds ou points) ;
• A un ensemble de flèches (aussi appelées arêtes orientées — parfois simplement arêtes avec l'ensemble correspondant nommé E au lieu de A —, liens orientés ou lignes orientées);
• ϕ: A → {(x, y) | (x, y) ∈ V² ∧ x ≠ y} une fonction d'incidence associant à chaque flèche un couple de sommets distincts (c.-à-d. une flèche est associée à deux sommets distincts).

Pour lever toute ambiguïté, ce type d'objet peut être appelé précisément un multigraphe orienté.

Les graphes orientés tels que définis dans les deux définitions précédentes ne peuvent pas avoir de boucles, car une boucle joignant un sommet x est la flèche (pour un graphe simple orienté) ou est incidente sur (pour un multigraphe orienté) (x, x) qui n'est pas dans {(x, y) | (x, y) ∈ V² ∧ x ≠ y}. Ainsi pour autoriser les boucles les définitions doivent être étendues. Pour les graphes simples orientés, A ⊆ {(x, y) | (x, y) ∈ V² ∧ x ≠ y} doit devenir A ⊆ V². Pour les multigraphes orientés, ϕ: A → {(x, y) | (x, y) ∈ V² ∧ x ≠ y} doit devenir ϕ: A → V². Pour lever toute ambiguïté, ces types d'objets peuvent être appelés précisément un graphe simple orienté avec boucles et un multigraphe orienté avec boucles (ou un carquois) respectivement.

Un graphe simple orienté avec boucles est une relation homogène (une relation binaire entre un ensemble et lui-même). Un graphe simple orienté avec boucles G = (V, A) est dit symétrique si, pour chaque flèche de A, la flèche inverse correspondante appartient aussi à A.

Un graphe mixte est un graphe composé d'arêtes non orientées et d'arêtes orientées. C'est un triplet G = (V, E, A) pour un graphe mixte simple et G = (V, E, A, ϕ_E, ϕ_A) pour un multigraphe mixte avec V, E, A, ϕ_E et ϕ_A définis comme précédemment. Les graphes orientés et non orientés en sont des cas particuliers.

Un graphe pondéré avec dix sommets et douze arêtes.

Un graphe pondéré ou un réseau[9] est un graphe où chaque arête porte un nombre (son poids)[10]. Ces poids peuvent représenter par exemple des coûts, des longueurs ou des capacités, en fonction du problème traité. Ces graphes sont fréquents dans divers contextes, comme le problème de plus court chemin ou le problème du voyageur de commerce.

Un graphe asymétrique (en anglais « oriented graph ») est un graphe orienté où l'un au plus des couples (x, y) et (y, x) est une flèche du graphe. Un tel graphe est sans boucle. On peut le voir comme résultant du choix d'une orientation pour chaque arête d'un graphe non orienté sans boucle.

Un graphe régulier est un graphe (non orienté) où tous les sommets ont même degré. Si ce degré est k, on parle aussi de graphe k-régulier.

Le graphe complet à 7 sommets.

Un graphe complet est un graphe simple dont les sommets sont tous adjacents les uns aux autres, c'est-à-dire tel que tout couple de sommets distincts est relié par une arête. Si le graphe est orienté, on dit qu'il est complet si chaque paire de sommets est reliée par exactement deux flèches (une dans chaque sens).

Un graphe fini est un graphe dont l'ensemble de sommets est fini (et donc aussi l'ensemble d'arêtes). Dans le cas contraire, c'est un graphe infini. Le plus souvent, les graphes considérés sont tacitement supposés finis ; s'ils sont infinis, ceci est spécifié explicitement.

Un graphe connexe est un graphe non orienté où toute paire de sommets est reliée par une chaîne. Un graphe orienté, est connexe si le graphe non orienté obtenu en oubliant les orientations des arêtes est connexe. Il est fortement connexe si tout couple de sommets est relié par un chemin, donc si pour tout couple (x, y) de sommets, il y a un chemin de x à y et un chemin de y à x. Un graphe k-sommet-connexe est un graphe qui possède au moins k+1 sommets et qui reste encore connexe après en avoir ôté k–1 ; de même, un graphe k-arête-connexe est un graphe qui reste connexe quand on lui enlève k–1 arêtes.

Un graphe biparti complet.

Un graphe biparti est un graphe dont l'ensemble des sommets peut être partitionné en deux ensembles X et Y de telle sorte qu'il n'y a pas d'arête entre deux sommets de X ni entre deux sommets de Y. De manière équivalente, un graphe biparti est un graphe dont le nombre chromatique est 2.

Un graphe biparti complet est un graphe biparti où tous les sommets de X sont reliés à tous les sommets de Y et vice-versa.

Une graphe est une chaîne d'ordre n ≥ 2 s'il est composé de sommets n qu'on peut numéroter de telle sorte que les arêtes sont {v_i, v_i+1} pour i = 1, 2, …, n − 1. Une chaîne est, de manière équivalente, un graphe connexe dont tous les sommets sont de degré 2 sauf deux qui sont de degré 1. Une chaîne dans un graphe est un sous-graphe partiel de ce graphe.

Un graphe planaire est un graphe que l'on peut dessiner dans le plan (ou sur une sphère) sans que deux arêtes ne se croisent.

Un graphe cycle d'ordre ${\displaystyle n\geq 3}$ ou n-cycle est un graphe dont les sommets peuvent être numérotés ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}}$ de sorte que les arêtes sont les paires ${\displaystyle [v_{i},v_{i+1}]}$ pour ${\displaystyle i=1,\ldots ,n-1}$ plus l'arête ${\displaystyle [v_{n},v_{1}]}$. Un graphe cycle peut être caractérisé comme étant un graphe connexe dont tous les sommets ont degré 2.

Un arbre est un graphe connexe acyclique.

Une forêt est un graphe acyclique, c'est-à-dire une union disjointe d'un ou plusieurs arbres.

D'autres classes de graphes comprennent:

• Graphe de Petersen et ses généralisations;
• Graphes parfaits;
• Cographes;
• Graphes cordaux;
• d'autres graphes classées en fonction de leur groupe d'automorphisme : graphe sommet-transitif, graphe symétrique, et graphe distance-transitif ;
• Graphe fortement régulier et leurs généralisations ; graphe distance-régulier.

Ouvrages généraux

Tous les manuels de mathématiques discrètes contiennent un traitement des graphes :

• Peter Fletcher, Hughes Hoyle et C. Wayne Patty, Foundations of Discrete Mathematics, Boston, PWS-KENT Pub. Co., 1991, 781 p. (ISBN 0-534-92373-9)
• Ronald L. Graham, Martin Grötschel et Lovász Lovász (direction), Handbook of Combinatorics, MIT Press, 1995 (ISBN 0-262-07169-X)
• Shôkichi Iyanaga et Yukiyosi Kawada, Encyclopedic Dictionary of Mathematics, MIT Press, 1977 (ISBN 0-262-09016-3)
• Gilbert Strang, Linear Algebra and Its Applications, Brooks Cole, 2005, 4^e éd., 487 p. (ISBN 0-03-010567-6, lire en ligne).
• (en) Daniel Zwillinger, CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, Boca Raton/London/New York etc., Chapman & Hall/CRC, 27 novembre 2002, 31^e éd., 910 p. (ISBN 1-58488-291-3)

Ouvrages spécifiques

De nombreux livres sont centrés sur la théorie des graphes :

• R. Balakrishnan et K. Ranganathan, A Textbook of Graph Theory, New York, Springer-Verlag, coll. « Universitext », 2012, xiii+292 p. (ISBN 978-1-4614-4528-9, DOI 10.1007/978-1-4614-4529-6, lire en ligne)
• Claude Berge, Théorie des graphes et ses applications, Paris, Collection Universitaire de Mathématiques, 1963, 2^e éd., viii+267 p. (SUDOC 007608756)
• (en) Norman Biggs, Algebraic Graph Theory, Cambridge, Cambridge University Press, 1993, 2^e éd., 205 p. (ISBN 0-521-45897-8)
• (en) Béla Bollobás, Modern Graph Theory, New York/Berlin/Paris, Springer, 12 août 2002, 1^re éd., 394 p. (ISBN 0-387-98488-7)
• Jørgen Bang-Jensen et Gregory Z. Gutin, Digraphs : Theory, Algorithms and Applications, Springer-Verlag, 2000 (lire en ligne)
• Reinhard Diestel, Graph Theory, Springer, coll. « Graduate Texts in Mathematics » (n^o 173), août 2016 (réimpr. 2010, 2005, 2000, 1997), 5^e éd., 447 p. (ISBN 978-3-662-53621-6 et 978-3-96134-005-7, présentation en ligne, lire en ligne)
• (en) Jonathan L. Gross et Jay Yellen, Graph Theory and Its Applications, Boca Raton (Fla.)/London/New York etc., CRC Press, 30 décembre 1998, 585 p. (ISBN 0-8493-3982-0, lire en ligne)
• Jonathan L. Gross et Jay Yellen (éditeurs), Handbook of graph theory, CRC Press, 2004, 1192 p. (ISBN 978-1-58488-090-5, lire en ligne).
• Frank Harary, Graph Theory, Addison Wesley Publishing Company, janvier 1995 (ISBN 0-201-41033-8)
• Richard J. Trudeau, Introduction to Graph Theory, New York, Dover Publications, 1993, 209 p. (ISBN 978-0-486-67870-2, présentation en ligne)

• Graphe conceptuel
• Graphe dual
• Lexique de la théorie des graphes
• Graphe (type abstrait)
• Base de données orientée graphe
• Tracé de graphes
• Théorie des graphes
• Hypergraphe
• Publications importantes en théorie des graphes
• Théorie des réseaux

• (en) Eric W. Weisstein, « Graph », sur MathWorld
• Notice dans un dictionnaire ou une encyclopédie généraliste :

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